de thi hsg huyen toan 9 nam 2018 2019 phong gddt tam duong vinh phuc

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MÔN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức: P = x +1 x 2+5 x + + 4− x x −2 x +2 Tìm x để P có giá trị Câu (2,0 điểm) Chứng minh a, b, c số thực thỏa mãn: a + b + c = abc thì: 1 + + = a b c 1 + + = a b2 c2 Câu (2,0 điểm) Tính tổng: S = + 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2018 20192 36 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: x + x + 12 x + = Câu (1,0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n thì: 3n+ − 2n+ + 3n − 2n 10 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x + xy − 2017 x − 2018 y − 2019 = Câu (1,0 điểm) Cho m, n số tự nhiên p số nguyên tố thoả mãn: p m+n = Chứng minh n + số phương m −1 p b Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn = P = biểu thức: a+b c+b + a − b 2c − b 1 + Tìm giá trị nhỏ a c Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O Goïi M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh rằng: ∆ OEM vuông cân b) Chứng minh: ME song song với BN c) Từ C kẻ CH vng góc với BN H Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Câu 10 (2,0 điểm) Cần dùng bìa hình trịn có bán kính để phủ kín tam giác có cạnh 3, với giả thiết không cắt bìa? ==== HẾT ==== Cán coi thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh .SBD: .Phòng thi PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP Năm học: 2018 – 2019 Mơn Tốn Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lơgic, khoa học giám khảo cho điểm tối đa -Các câu hình học, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai phần khơng chấm điểm phần Câu Biểu thức có nghĩa x ≥ 0; x ≠ P= = = = = ( ( x 2+5 x x +1 = + + 4− x x −2 x +2 )( x + )( x x +1 + − x −2 x +2 ) + x ( x − 2) − x − ) ( x + )( x − ) ( x +1 Điểm 0,25 x +2 ( 2+5 x x +2 2+5 x x +2 )( x −2 ( ( ( x +2 )( 3x − x x +2 x ( x +2 )( x −2 x −2 )( ) x −2 x −2 ) x −2 0,25 0,25 ) 0,5 ) 0,25 ) 0,25 ) x x +2 0,25 Do đó: P= ⇔ x = ⇔ x = x + ⇔ x = ⇔ x = 16 (t/m) x +2 1 1 1 + + = ⇒  + +  = a b c a b c 1 1   ⇒ + + + 2 + +  = a b c  ab bc ca  1  a+b+c  ⇒ + + + 2 (*) = a b c  abc  Từ 0,25 0,25 0,25 0,25 mà a + b + c = abc a+b+c ⇒ =1 abc 1 Nên từ (*) ⇒ + + + = a b c 1 ⇒ 2+ 2+ = a b c 0,25 0,25 0,5 n ( n + 1) + ( n + 1) + n 1 = Với ∀ n ∈ N ta có: + + n ( n + 1)2 n ( n + 1) )( x + x + + 2x − x − − x = Nội dung * 0,25 0,25 n ( n + 1) + 2n ( n + 1) + = n ( n + 1) (n = + n + 1) n ( n + 1) Suy + 2   = 1 + −   n n +1  1 1 1 + = 1+ − (do + − > ∀ n ∈ N* ) 2 n n + n n + n (n + 1) Áp dụng kết với n = 1; 2;……… ;2019 ta có: 1   1  1  S = 1 + −  + 1 + −  + + 1 + −   2  3  2018 2019  2018 = 2019 − = 2018 2019 2019 Điều kiện : x ≥ -1 Đặt t = x + (ĐK: t ≥ 0) ⇔ x = t2 - Phương trình cho trở thành : t4 - t2 + 12t - 36 = ⇔ t4 – ( t – )2 = ⇔ ( t - ) ( t + ) ( t2 – t + ) = −2 = t= t (t / m) ⇔ ⇔ t + =0 t =−3 < (loai) 23 (Vì t2 – t + = ( t- )2 + > với ∀ t) Với t = ⇒ x = ( thỏa mãn ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Chứng minh: 3n + − 2n + + 3n − 2n 10 với n nguyên dương Ta có: 3n + − 2n + + 3n − 2n= ( 3n + + 3n ) − ( 2n + + 2n ) = 3n ( 32 + 1) − 2n−1 ( 23 + ) = 3n.10 − 2n−1.10 = ( 3n − 2n−1 ) 10 10 với n nguyên dương 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 Ta có: x + xy − 2017x − 2018y − 2019 = ⇔ x + xy + x − 2018x − 2018y − 2018 = ⇔ x(x + y + 1) − 2018(x + y + 1) = 1 ⇔ (x − 2018)(x + y + 1) = Vì 1=1.1=(-1).(-1) nên ta có TH sau: TH 1: TH 2:  x − 2018 =  x = 2019 ⇔   y = −2019 x + y + = −1  x − 2018 =  x = 2017 ⇔   x + y + =−1  y = −2019 KL: PT có nghiệm nguyên (x;y) là: (2019;-2019) (2017;-2019) p m+n Theo ra: = ⇔ p2 = (m-1)(m+n) m −1 p Vì m, n số tự nhiên nên m+n > m-1 Mặt khác p số nguyên tố nên có trường hợp: p2 = 1.p2 = p.p 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 m = ⇔  ⇒ n + 2= p2 m + n = p m + n = p m − = Do suy ra:  Vì p số nguyên tố nên n+2 số phương Vậy có đpcm 1 2ac + nên b = Vì = b a c a+c 2ac a+ a+b a + 3ac a + 3c + a c = = Do đó:= 2a − b 2a − 2ac 2a 2a a+c 2ac c+ c+b c + 3ac c + 3a a c + = = Và:= 2c − b 2c − 2ac 2c 2c a+c a+b c + b a + 3c c + 3a ac + 3c + ac + 3a = + = + = P Suy ra: a − b 2c − b 2a 2c 2ac 2 a + c + 2ac 3.2ac + 2ac 8ac = ≥ = = 2ac 2ac 2ac Vậy P ≥ với a, b, c thỏa mãn đề Dấu xẩy khi: a=b=c Vậy GTNN P a=b=c ( 0,25 0,25 0,25 0,25 ) E A 0,25 B 1 O M D a) Xét ∆OEB ∆OMC, ta có: OB = OC(vì ABCD hình vng) C H' H N = = B C 45Ο 1 BE = CM (gt) Suy ∆OEB = ∆OMC (c.g.c) 1 = O 3 ⇒ OE = OM O  +=  BOC  Lại có O = 90Ο (vì tứ giác ABCD hình vng) O 2 + O 1 =  = 90Ο kết hợp với OE = OM ⇒ ∆OEM vuông cân O ⇒ O 900 ⇔ EOM AM BM (Theo ĐL Ta- lét) (*) = MN MC Mà BE = CM (gt) AB = BC ⇒ AE = BM thay vào (*) AM AE Ta có : = MN EB ⇒ ME // BN (theo ĐL Ta-lét đảo) b) Vì AB // CD ⇒ AB // CN ⇒ c) Gọi H’ giao điểm OM BN 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 =  (cặp góc đồng vị) Từ ME // BN ⇒ OME OH'B  = 45Ο ∆OEM vng cân O Mà OME =  ⇒ ∆OMC ∆BMH’ (g.g) ⇒ MH'B 45Ο = C OM MC  = CMH'  (hai góc đối đỉnh) = , kết hợp với OMB OB MH'  = OBM  = 45Ο ∆CMH’ (c.g.c) ⇒ MH'C ⇒ ∆OMB  = BH'M  + MH'C  = 90Ο ⇒ CH' ⊥ BN H’ Vậy BH'C ⇒ 10 Mà CH vng góc với BN H ⇒ H ≡ H’ hay ba điểm O, M, H thẳng hàng (đpcm) Giả sử ∆ ABC tam giác có cạnh Chia cạnh tam giác ABC thành ba phần Nối điểm chia đoạn thẳng song song với cạnh Tam giác ABC chia thành tam giác có cạnh hình vẽ Gọi I, J, K điểm cạnh BC, CA, AB cho BI = CJ = AK = Ba đường trịn bán kính 1, tâm tương ứng I, J, K phủ kín tam giác ABC (mỗi hình trịn phủ kín ba tam cạnh 1) Như dùng ba bìa hình trịn bán kính phủ kín tam giác ABC * Số bìa phải dùng 3, ngược lại có hai ba đỉnh tam giác ABC thuộc hình trịn bán kính Điều khơng thể xảy cạnh tam giác ABC bẳng Hết - 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 ... (n + 1) Áp dụng kết với n = 1; 2;……… ;20 19 ta có: 1   1  1  S = 1 + −  + 1 + −  + + 1 + −   2  3  2018 20 19  2018 = 20 19 − = 2018 20 19 20 19 Điều kiện : x ≥ -1 Đặt t = x + (ĐK:... − 2018y − 20 19 = ⇔ x + xy + x − 2018x − 2018y − 2018 = ⇔ x(x + y + 1) − 2018( x + y + 1) = 1 ⇔ (x − 2018) (x + y + 1) = Vì 1=1.1=(-1).(-1) nên ta có TH sau: TH 1: TH 2:  x − 2018 =  x = 20 19. .. 2018 =  x = 20 19 ⇔   y = −20 19 x + y + = −1  x − 2018 =  x = 2017 ⇔   x + y + =−1  y = −20 19 KL: PT có nghiệm nguyên (x;y) là: (20 19; -20 19) (2017;-20 19) p m+n Theo ra: = ⇔ p2 = (m-1)(m+n)