PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II QUẬN TÂY HỒ NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức A = 2) Rút gọn biểu thức B = x −1 x = x +1 x +5 − + với x ≥ 0, x ≠ x +1 − x x −1 3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: 3 x − y = x + y = a) 2 x + − y − = b) 17 4 x + + y − = Câu (2,0 điểm) Giải toán cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau 12 đầy bể Nếu người ta mở hai vòi chảy khóa vịi hai lại để vịi chảy tiếp 14 đầy bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường tròn Từ điểm M thuộc đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường trịn Hạ OH vng góc với đường thẳng d H Nối AB cắt OH K, cắt OM I Tia OM cắt đường tròn (O; R) E a) Chứng minh AOBM tứ giác nội tiếp b) Chứng minh OI.OM = OK.OH c) Chứng minh E tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB d) Tìm vị trí M đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có giá trị lớn Câu (0,5 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + + y + x y 2 _ HẾT _ HƯỚNG DẪN Câu (2,0 điểm) x −1 x = x +1 1) Tính giá trị biểu thức A = x +5 − + với x ≥ 0, x ≠ x +1 − x x −1 2) Rút gọn biểu thức B = 3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên Hướng dẫn x −1 x = x +1 1) Tính giá trị biểu thức A = Điều kiện: x ≥ Ta có: x = (thỏa mãn) −1 Thay x = vào A : = A = +1 Vậy x = giá trị A x +5 − + với x ≥ 0, x ≠ x +1 − x x −1 2) Rút gọn biểu thức B = B= = x +5 x +1 + x +1 + ( )( x −1 ) x +1 x + )( x − 1) + x + + x + x − + x + + (= ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)( x + 4) x + x+5 x +4 = = ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) x − 3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ P = A.B = x −1 x +1 x +4 x −1 x +4 = x +1 = 1+ Ta có: x ≥ 0, x ≠ ⇒ x + ≥ > ⇒ x +1 ≥ > ⇒ x +1 ≤ ⇒ 1+ x +1 x +1 > ⇒ 1+ x +1 x +1 ≤4⇒ P≤4 >1⇒ P >1 Vậy: < P ≤ Do P ∈ Z ⇒ P ∈ {2;3; 4} TH1: P = ⇒ + TH2: P = ⇒ + TH3: P = ⇒ + Vậy: x +1 x +1 x +1 = 2⇔ = 3⇔ = 4⇔ x +1 x +1 x +1 = 1⇔ x +1 = ⇔ = 2⇔ x +1 = = 3⇔ x +1 = ⇔ ⇔ x = ⇔ x = (t / m) x= 1 ⇔x= (t / m) x = ⇔ x = (t / m) 1 x ∈ 0; 4; 4 Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: 3 x − y = x + y = a) 2 x + − y − = b) 17 4 x + + y − = Hướng dẫn 6 x − y = 10 3 x − y = x = 14 x= x= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2y 2y 2y 2y = x + = x + = 2 + = y x += a) Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: ( x; y ) = ( 2;1) 2 x + − y − = b) 17 4 x + + y − = Điều kiện: x ≥ −1; y ≥ 2 x + − y − = x + − y − = 2 x + − y − = 5 ⇔ ⇔ 12 x + + y − = 51 14 x + 56 = 4 x + + y − 17 2 x + − = 2.4 − = y−2 y−2 ⇔ ⇔ x +1 x +1 = = − y= −2 y= y = ⇔ ⇔ ⇔ 16 x + = x + = x = 15 (t / m) (t / m) Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: ( x, y ) = (15;3) Câu (2,0 điểm) Giải toán cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau 12 đầy bể Nếu người ta mở hai vòi chảy khóa vịi hai lại để vịi chảy tiếp 14 đầy bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể Hướng dẫn Gọi thời gian vòi vòi hai chảy đầy bể x, y (giờ) (x > 0, y > 0) Mỗi vòi vòi hai chảy 1 , (bể) x y Do hai vịi chảy sau 12 đầy bể nên ta có phương trình: 1 + = x y 12 (1) Vì mở hai vịi sau khóa vịi hai để vịi chảy tiếp 14 đầy bể nên ta có phương trình: 1 + 14 = ( 2) x 1 1 x + y = 12 x = 21 ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: ⇔ y = 28 + 14 = x (t / m) (t / m) Vậy thời gian vòi chảy đầy bể 21 giờ, vịi hai chảy đầy bể 28 Câu (3,5 điểm) Cho đường trịn (O; R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường trịn Từ điểm M thuộc đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường trịn Hạ OH vng góc với đường thẳng d H Nối AB cắt OH K, cắt OM I Tia OM cắt đường tròn (O; R) E a) Chứng minh AOBM tứ giác nội tiếp b) Chứng minh OI.OM = OK.OH c) Chứng minh E tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB d) Tìm vị trí M đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có giá trị lớn Hướng dẫn a) Chứng minh AOBM tứ giác nội tiếp Xét tứ giác AOBM có: ∠MAO + ∠MBO =180o Mà hai hóc vị tró đối nhay Suy AOBM tứ giác nội tiếp b) Chứng minh OI.OM = OK.OH Ta có: ∆OIK ∆OHM ( g − g ) OI OK = ⇒ OI OM = OH OK (đpcm) OH OM c) Chứng minh E tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB ∠BOE (t/c tiếp tuyến cắt nhau) - Xét (O) có ∠AOE = Sđ cung AE = sđ cung BE ⇒ ∠BAE = ∠MAE - Xét ∆ABM có: +) MO phân giác thứ (t/c tiếp tuyến cắt nhau) +) AE phân giác thứ hai (cmt) +) MO cắt AE E ⇒ E tâm đường tròn nội tiếp ∆AMB (đpcm) d) Tìm vị trí M đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có giá trị lớn R2 OH Có: OH OK =OI OM =OB =R ⇒ OH OK =R ⇒ OK = Mà OH không đổi, nên OK không đổi Ta có: SOIK = 1 OI IK ≤ ( OI + IK )= OK = const 4 OI IK Để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn OI = IK Khi đó:= = OH HM Suy OH = HM Vậy điểm M nằm đường thẳng (d) cho OH = HM diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn Câu (0,5 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + + y + x y 2 Hướng dẫn Ta có: x + y ≥ xy ⇒ < xy ≤ 1 1 1 1 15 + A = x + + y + = x + y + + + ≥ xy + + = xy + +4 16 xy 16 xy x y xy x y 15 15 25 ⇒ A ≥ xy + + + +4 = = 16 xy 16 xy 16 4 Vậy Amin = 25 x= y= 2 _ HẾT _ ... + 14 = ( 2) x 1 1 x + y = 12 x = 21 ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: ⇔ y = 28 + 14 = x (t / m) (t / m) Vậy thời gian vòi chảy đầy bể 21 giờ, vịi hai chảy đầy bể 28 Câu (3,5... vòi vịi hai chảy đầy bể x, y (giờ) (x > 0, y > 0) Mỗi vòi vòi hai chảy 1 , (bể) x y Do hai vòi chảy sau 12 đầy bể nên ta có phương trình: 1 + = x y 12 (1) Vì mở hai vịi sau khóa vịi hai để vịi... 4 Câu (2, 0 điểm) Giải hệ phương trình sau: 3 x − y = x + y = a) ? ?2 x + − y − = b) 17 4 x + + y − = Hướng dẫn 6 x − y = 10 3 x − y = x = 14 x= x= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2y 2y 2y 2y = x