de vao 10 mon toan chuyen toan 2022 2023 truong chuyen hung vuong phu tho

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi có: 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Cho phương trình x  x   8m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  x1  x2 2 b) Gọi a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  Tính giá trị biểu thức A  a   3bc Câu (2,0 điểm) a) Xác định hệ số a, b, c đa thức P  x   x  ax  bx  c Biết P  2   29, P  1  5 P  3  b) Cho n số nguyên dương cho 4n  13 5n  16 số phương Chứng minh 2023n  45 chia hết cho 24 Câu (2,0 điểm)  17 x     x  x  3 x   x  x  22  a) Giải phương trình: b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A  146;2022  Gọi H hình chiếu vng góc A trục Ox Tìm số điểm nguyên nằm tam giác OAH (Điểm nguyên điểm có hồnh độ tung độ số nguyên)  O; R cắt hai điểm A B ( R  R Câu (3,0 điểm) Cho hai đường tròn  O; R  O, O thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ AB ) Đường thẳng AO cắt  O   O  C M , đường thẳng AO cắt  O   O  N D ( C , D, M , N khác A ) Gọi K trung điểm CD; H giao điểm CN DM a) Chứng minh năm điểm M , N , O, K , B thuộc đường tròn b) Gọi  I  đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E điểm đối xứng C qua B; P giao điểm AE HD; F giao điểm BH với  I  ( F khác H ); Q giao điểm CF với BP Chứng minh BP  BQ · c) Chứng minh IBP  90 Câu (1,0 điểm) Cho x, y , z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x4  y4  z4  x  y  y  z  z  x HẾT Họ tên thí sinh:………………………………………………… Số báo danh:……………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: TỐN (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC Hướng dẫn chấm có 06 trang Lưu ý chấm - Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm hướng dẫn chấm - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số Câu (2,0 điểm) x, x a) Cho phương trình x  x   8m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn  x1  x2 2 b) Gọi a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  Tính giá trị biểu thức A  a   3bc Nội dung a) Cho phương trình phân biệt x  x   m   1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  x1  x2     12  8m   m   Phương trình   có hai nghiệm phân biệt Vì x1 , x2 nghiệm  1 nên Điểm  x1  x2    x1 x2   8m   x1  x2   x1  1   x2  1   x1  x2      x1 x2   x1  x2     x1  1  x2  1  Ta có 8    8m    m     8m    0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy  3 m giá trị cần tìm 2 b) Gọi a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  Tính giá trị biểu thức A  a   3bc 1,0 2 2 2 Ta có a  b  c  ab  bc  ca  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca 0,25   a  b    b  c    c  a    a  b  c 0,25 Mà a  b  c   a  b  c  0,25 Suy A  0,25 2 a   3bc  11 Câu (2,0 điểm) P 2  29, P  1  5 P x  x  ax  bx  c c) Xác định hệ số a, b, c đa thức   Biết   P  3  d) Cho n số nguyên dương cho 4n  13 5n  16 số phương Chứng minh 2023n  45 chia hết cho 24 Nội dung a) Xác định hệ số a , b, c đa thức Điểm P  x   x3  ax  bx  c biết P  2   29, P  1  5, P    1,0 Vì P  2   29 nên ta có 8  4a  2b  c  29  4a  2b  c  21 Vì P  1  5 nên ta có  a  b  c  5  a  b  c  6 Vì P  3  nên ta có 27  9a  3b  c   9a  3b  c  26 0,5 4a  2b  c  21 a  3    b   a  b  c  6 9a  3b  c  26 c  5  Ta có hệ phương trình  0,25 Vậy a  3; b  2; c  5 0,25 b) Cho n số nguyên dương cho 4n  13 5n  16 số phương Chứng minh 2023n  45 chia hết cho 24 Giả sử 4n  13  a 5n  16  b Từ 4n  13  a  a số lẻ  a, b ¥  * 1,0 0,25 4n  13  a   n  3  a    n  3   a  1  a  1 Ta có a Vì số lẻ nên a 1  a  1  a  1 M8   n  3 M2  n a 1 hai số chẵn liên tiếp, số lẻ Suy b  5n  16 số lẻ Lại có Mà a  b2  9n  29   mod 3 a   0;1  mod 3 ; b2   0;1  mod 3  a  b2   mod 3 4n  13   mod 3    n  3   mod 3 5n  16   mod 3 Vì 0,25  5;8     n  3 M8  1 Ta có mà 5n  16  b2   n  3   b  1  b  1 M8 0,25  2  3;8   nên từ (1) (2) suy  n  3 M24 0,25 2023n  45  2016n   n  3  24 M24 (đpcm) Từ Câu (2,0 điểm) c) Giải phương trình:  17 x     x  x  3 x   x  3x  22  d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A  146;2022  Gọi H hình chiếu vng góc A trục Ox Tìm số điểm nguyên nằm tam giác OAH (Điểm ngun điểm có hồnh độ tung độ số nguyên) Nội dung a) Giải phương trình Điểm  17 x     x  x  3 x   x  x  22   1 2x    x   + Điều kiện Phương trình  1  x  34 x  44 x  12   x  x  3 2x   0,25   x  3 6 x  16 x    x  1 x    x   6 x  16 x    x  1 x     0,25 2  x    x     x  1     Phương trình 2x    3  3 + Khi x  1: Không thỏa mãn phương trình   2x  2x   x  1,  3      x 1   x  1   + Khi 2x   x 1 2x   2 x 1  x  2x  13  67   x x 1 9 x  26 x  11   x  2x  5  29  2   x x 1  x  10 x   0,25 0,25  13  67  29  x  3; ;    Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình A 146;2022  Gọi H hình chiếu vng b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm  góc A trục Ox Tìm số điểm nguyên nằm tam giác OAH (Điểm ngun điểm có hồnh độ tung độ số nguyên) 1,0 H 146;0  Vì H hình chiếu vng góc A trục Ox nên  B 0;2022  Gọi B hình chiếu vng góc A trục Oy , suy  C 73;2011 Gọi C trung điểm đoạn OA, suy  Điểm M  x0 ; y  M   x0 ; y0   x0 ; y0  ¢   x0 ; y0  ¢  0,25 điểm nguyên nằm OAH điểm đối xứng với điểm M qua C nằm OAB Suy số điểm nguyên nằm OAH số điểm nguyên nằm OAB Do số điểm nguyên nằm tam giác OAH (số điểm nguyên nằm hình chữ 0,25 nhật ABOH trừ số điểm nguyên nằm đoạn thẳng OA) Số điểm nguyên nằm hình chữ nhật ABOH 145.2021  293045 1011 x 73 Phương trình đường thẳng OA Từ kiểm tra số điểm nguyên đoạn thẳng OA (trừ điểm O A ) y 293045   146522 Vậy số điểm nguyên OAH Câu (3,0 điểm) Cho hai đường tròn  O; R   O; R 0,25 0,25 cắt hai điểm A B ( R  R O, O thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ AB ) Đường thẳng AO cắt  O   O  C M , đường thẳng AO cắt  O   O  N D ( C , D, M , N khác A ) Gọi K trung điểm CD; H giao điểm CN DM d) Chứng minh năm điểm M , N , O, K , B thuộc đường tròn e) Gọi  I  đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E điểm đối xứng C qua B; P giao I điểm AE HD; F giao điểm BH với   ( F khác H ); Q giao điểm CF với BP Chứng minh BP  BQ · f) Chứng minh IBP  90 Nội dung Điểm (Xét hình vẽ Các hình khác chứng minh tương tự) a) Chứng minh năm điểm M , N , O, K , B thuộc đường tròn 1,0 ·  O  )  AD  CH Ta có ANC  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn 0,25 · CMD  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O  )  AC  DH Suy A trực tâm tam giác HCD  HA  CD  H , A, B thẳng hàng · · Dễ có tứ giác CDMN nội tiếp đường tròn tâm K  MKN  MCN (góc nội tiếp góc 0,25 · · ¼ HCM  HDN  1 tâm chắn MN ) » · · Ta có tứ giác ABCN nội tiếp  ACN  ABN (góc nội tiếp chắn cung AN ) · · ¼ Tứ giác ABDM nội tiếp  ADM  ABM (góc nội tiếp chắn cung AM ) Kết hợp với Ta có  1 suy · · · · · ABN  ·ABM  ACN  MKN  MBN  ACN ·MON  2·ACN  ·MBN 0,25  2  3 0,25  2  3 b) Gọi  I đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E điểm đối xứng C qua B; P Từ suy điểm M , N , O, K , B thuộc đường tròn I giao điểm AE HD; F giao điểm BH với   ( F khác H ); Q giao 1,0 điểm CF với BP Chứng minh BP  BQ CE Xét tứ giác ACFE có hai đường chéo CE  AF trung điểm B  1 0,25 · · · · · » Ta có DCM  BHD (cùng phụ với CDH ) Mà BHD  DCF (góc nội tiếp chắn DF ) · ·  DCM  DCF (2) 0,25 Từ (1) (2) suy ACFE hình thoi · · · · Xét hai BPE BQC có BEP  BCQ (so le trong), BE  BC , EBP  CBQ (đối đỉnh) 0,5 Suy BPE  BQC (g-c-g)  BP  BQ (đpcm) · c) Chứng minh IBP  90 1,0 I Gọi S , T giao điểm BQ   (như hình vẽ) · · · Xét tứ giác ADEH có AED  AHD (cùng ACE ), suy tứ giác ADEH nội tiếp 0,25  PD PH  PA.PE  PT PS Từ BPE  BQC  PE  QC  PA  QF  PA.PE  QF QC  QS QT Vậy 0,25 QS QT  PT PS  QS  PQ  PT   PT  PQ  QS   QS PQ  QS PT  PT PQ  PT QS  QS PQ  PT PQ  QS  PT  B trung · điểm ST  IB  ST  IBP  90 (đpcm) 0,5 Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x4  x  y  y4  y  z  z4  z  x Nội dung P Ta có a Đặt P y    1 x   z   y  1    x   1  z  y z x , b  , c   a, b, c  x y z abc  1 1    a  1  b  1  c  1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Tương tự có P Điểm  a  1 1 1   ,  b  1 16  b  1  1 1 2  16 16  a  1  a  1 0,25 1 1    c  1 16  c  1 1 1       2 16   a  1  b  1  c  1  Ta chứng minh 1    a  1  b  1  ab Thật vậy:  a  1   b  1  0,25 với a , b  1  ab 2 2   a  1   b  1    ab    a  1  b  1     a  b2  2a  2b     ab    ab  a  b  1   a  b2  2a  2b     ab    ab  a  b    ab  a  b     ab  a  b2   2ab  a 2b2  ab  a  b    ab  1  (luôn đúng) Dấu “=” xảy a  b  2 1 1 ab      c  1   1  c  ab  ab Tương tự có 0,25 Khi P 1 1  1 ab 1 3 3                a  1  b  1  c  1  16   ab ab   16 16 16 Vậy giá trị nhỏ P 16 Dấu “=” xảy a  b   x  y  z -HẾT - 0,25 ... thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: TỐN (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH... 0,25 2023n  45  2016n   n  3  24 M24 (đpcm) Từ Câu (2,0 điểm) c) Giải phương trình:  17 x     x  x  3 x   x  3x  22  d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A  146 ;2022. .. x  2x  5  29  2   x x 1  x  10 x   0,25 0,25  13  67  29  x  3; ;    Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình A 146 ;2022  Gọi H hình chiếu vng b) Trong mặt phẳng