Qua đó, giúp các em học sinh tham khảo, so sánh với bài thi vào lớp 10 năm 2022 2023 của mình thuận tiện hơn. Kỳ thi tuyển sinh vào 10 năm học 2022 2023 ... Các dạng toán xuất hiện trong bài thi gồm: giải hệ phương trình, giải phương trình, tính giá trị biểu thức ... de thi vao lop 10 mon toan chuyen ... ĐỀ Tuyển sinh vào LỚP 10 MÔN TOÁN chuyên năm 2022 2023 Trường THCS Chuyên Hùng Vương Phú Thọ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 – 2023 Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi chun Tin) Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi có 01 trang Câu (2,0 điểm) a) Cho phương trình x − ( m − ) x + 2m − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 1 biệt x1 , x2 thỏa mãn + = x1 x2 b) Chứng minh P = + Câu (2,0 điểm) 10 3 10 + 2− số nguyên 9 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x − xy + x + ( y − ) = b) Chứng minh m, n hai số tự nhiên thỏa mãn 2022m += m 2023n + n 2022 ( m + n ) + số phương Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x − 3x + 15 − 3x + = b) Cho hai số thực a, b phân biệt Quanh đường tròn viết n số thực đôi khác (n ≥ 3) cho số tổng hai số đứng liền kề Tìm n số viết hai số viết a b Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( O ) có đường cao AA1 , đường trung tuyến BB1 đường phân giác CC1 Gọi D, E , F giao điểm AA1 , BB1 , CC1 với ( O ) Biết A1 B1C1 tam giác a) Chứng minh tam giác ABC b) Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE , N trung điểm đoạn thẳng CD, I giao điểm AN FM Tính AIF c) Tia CI cắt AF ( O ) J K Chứng minh I trung điểm CK JA Tính tỉ số JF Câu (1,0 điểm) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a 2b + ab2 − ( a + b + ab ) = Tìm giá ( a 3b + ab3 ) + (1 + 2ab ) − trị nhỏ biểu thức P = 2ab HẾT -Họ tên thí sinh:………………………………………………………….……… Số báo danh:……………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi chun Tin) HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 06 trang) I Một số ý chấm tự luận - Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm hướng dẫn chấm - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số II Đáp án – thang điểm Câu (2,0 điểm) a) Cho phương trình x − ( m − ) x + 2m − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 1 biệt x1 , x2 thỏa mãn + = x1 x2 10 3 10 + 2− số nguyên 9 Nội dung a) Cho phương trình x − ( m − ) x + 2m − = Tìm m để phương trình có hai 1 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn + = x1 x2 b) Chứng minh P = + Tính ∆=′ ( m − 3) Điểm 1,0 m ≠ ∆′ > Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ≠ ⇔ m ≠ 2m − ≠ x + x = (m − 2) Theo Vi-et có x2 2m − x1= 1 x +x 11 + =3 ⇔ =3 ⇔ x1 + x2 =3x1 x2 ⇔ ( m − ) =3 ( 2m − ) ⇔ m = x1 x2 x1 x2 11 Kết hợp điều kiện kết luận m = giá trị cần tìm 10 3 10 + 2− số nguyên 9 10 10 10 10 10 3 10 2+ +2− + 33 + + 2− Ta có P = 2 − 2+ 9 9 b) Chứng minh P = + 10 10 ⇔ P =4 + 3 + 2 − P ⇔ P =4 + P P = ⇔ P − P − =0 ⇔ ( P − ) ( P + P + ) =0 ⇔ P + 2P + = Vì P + P + = ( P + 1) + > 0, ∀P nên phương trình P + P + = vô nghiệm Vậy P = 2, hay P số nguyên (đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 1/6 Câu (2,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x − xy + x + ( y − ) = b) Chứng minh m, n hai số tự nhiên thỏa mãn 2022m += m 2023n + n 2022 ( m + n ) + số phương Nội dung Điểm 1,0 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x − xy + x + ( y − ) = (1) 2 Phương trình (1) ⇔ x − ( y − ) x + ( y − ) = (2) Coi phương trình (2) phương trình bậc hai ẩn x, ta cần tìm điều kiện y để phương trình (2) có nghiệm ⇔ ∆′ ≥ 2 0,25 ⇔ ( y − ) − ( y − ) =−3 ( y − ) ≥ ⇔ y =4 Với y = phương trình (2) có nghiệm x = 0,25 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên ( x; y ) = ( 0;4 ) 0,25 b) Chứng minh m, n hai số tự nhiên thỏa mãn 2022m += m 2023n + n 2022 ( m + n ) + số phương 2 2022m = + m 2023n + n ⇔ 2022m − 2022n + m= − n n2 1,0 0,25 ⇔ ( m − n )( 2022m + 2022n + 1) = n (1) + TH1: Với m = n từ (1) suy m = n = ⇒ 2022 ( m + n ) + = số phương + TH2: Với m ≠ n ⇒ m − n > Gọi ( m − n; 2022m + 2022n + 1) = d m − n d ⇒ ⇒ n d ⇒ n d ⇒ m d 2022m + 2022n + d ⇒ 2022m + 2022n d ⇒ 1 d ⇒ d = ⇒ ( m − n; 2022m + 2022n + 1) = hay m − n 2022m + 2022n + hai số nguyên tố Mặt khác ( m − n )( 2022m + 2022n + 1) = n số phương nên suy 2022 ( m + n ) + số phương (đpcm) 0,25 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x − 3x + 15 − 3x + = b) Cho hai số thực a, b phân biệt Quanh đường trịn viết n số thực đơi khác (n ≥ 3) cho số tổng hai số đứng liền kề Tìm n số viết hai số viết a b Nội dung a) Giải phương trình Phương trình Điểm x − 3x + 15 − 3x + = (1) 1,0 3x − ≥ x − 3x + 15 = 3x − ⇔ 4 x − 3x + 15 = x ≥ ⇔ 4 x − 3x + 15 = x − x + ( 3x − 1) 0,25 0,25 Trang 2/6 ≥ x x ≥ ⇔ ⇔ x = ⇔ x = 5 x − 3x − 14 = x = − Vậy nghiệm phương trình x = 0,25 0,25 b) Cho hai số thực a, b phân biệt Quanh đường tròn viết n số thực đôi khác (n ≥ 3) cho số tổng hai số đứng liền kề Tìm n số viết hai số viết a b Đánh số số viết a1 ; a2 ; an với= a1 a= ; a2 b Ta có a1 = a ; a2 = b; a3 = b − a ; a4 = −a; a5 = −b; a6 = a − b; a7 = a ≡ a1 Suy n ≤ Mà n ≥ nên n ∈ {3;4;5;6} TH1: n = Ta có a1= a; a2= b; a3= b − a Vì a3 = a1 + a2 ⇒ b − a = b + a ⇒ a = ⇒ a2 = a3 (Loại) TH2: n = Ta có a1 = a ; a2 = b; a3 = b − a ; a4 = − a Vì a4 = a1 + a3 ⇒ −a = b ⇒ a2 = a4 (Loại) TH3: n = Ta có a1 = a ; a2 = b; a3 = b − a ; a4 = −a; a5 = −b Vì a5 = a1 + a4 = ⇒ b = ⇒ a2 = a5 (Loại) TH4: n = Ta có a1 = a ; a2 = b; a3 = b − a ; a4 = −a; a5 = −b; a6 = a − b Dễ thấy a= a1 + a5 thỏa mãn ( ) Để số i = 1,6 phân biệt ab ≠ 0; a ≠ b; a ≠ 2b; b ≠ 2a 1,0 0,25 0,25 0,25 (*) Vậy n = số viết a1 = a ; a2 = b; a3 = b − a ; a4 = a − b −a; a5 = −b; a6 = Trong a, b thỏa mãn điều kiện (*) 0,25 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( O ) có đường cao AA1 , đường trung tuyến BB1 đường phân giác CC1 Gọi D, E , F giao điểm AA1 , BB1 , CC1 với ( O ) Biết A1 B1C1 tam giác a) Chứng minh tam giác ABC b) Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE , N trung điểm đoạn thẳng CD, I giao điểm AN FM Tính AIF c) Tia CI cắt AF ( O ) J K Chứng minh I trung điểm CK JA Tính tỉ số JF Trang 3/6 a) Chứng minh tam giác ABC Nội dung Xét tam giác AA1C vuông A1 có B1 trung điểm cạnh AC nên A1B1 = Điểm 1,0 AC AC ⇒ ∆AC1C vuông C1 , mà CC1 đường phân giác góc C nên C1 trung điểm cạnh AB Lại có A= B= AC nên A1C1 đường trung bình tam giác ABC , suy A1 1C1 1C1 trung điểm cạnh BC Vậy A1 , B1 , C1 trung điểm cạnh BC , CA, AB Suy ∆ABC (đpcm) b) Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE , N trung điểm đoạn thẳng CD, I giao điểm AN FM Tính AIF Suy B= 1C1 Vì ∆ABC nên AFBDCE lục giác Do sđ EA= 60° FB = sđ DC = sđ CE = sđ AF = sđ BD = sđ Xét ∆FCM ∆ADN có FC= AD, CM= DN , FCM= ADN= 60° Suy ∆FCM = DAN = CFM ∆ADN (c-g-c) ⇒ AIF = AOF = 60° ⇒ OAI = OFI ⇒ OIAF tứ giác nội tiếp ⇒ 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,5 0,25 Trang 4/6 c) Tia CI cắt AF ( O ) J K Chứng minh I trung điểm JA CK Tính tỉ số JF Ta có ∆OCE ∆OCD hai tam giác suy OM = ON = 1,0 DE Lại có MN đường trung bình tam giác CED ⇒ MN = DE Suy ∆OMN ⇒ MON= MIN= 60° ⇒ M , I , O, N thuộc đường trịn 0,25 Lại có OMC= ONC= 90° ⇒ O, N , C , M thuộc đường trịn đường kính OC Vậy điểm O, I , M , C , N thuộc đường trịn đường kính OC 0,25 Từ O kẻ OG ⊥ FM , OH ⊥ AN Gọi L giao AN CF Ta có ∆AOH = ∆FOG (trường hợp đặc biệt tam giác vuông) ⇒ OG = OH ⇒ ∆OGI = ∆OHI ⇒ GIO = HIO OL IL ⇒ OI phân giác góc FIL ⇒ = OF IF OL IL Mà L trọng tâm ∆ADC ⇒ = = ⇒ IF =3IL (1) OF IF Gọi bán kính ( O ) R ⇒ CE = R 0,25 Suy OIC= OMC= 90° ⇒ OI ⊥ CK ⇒ I trung điểm CK Xét ∆ECF vng E có = EF CE tan= ECF R tan = 60° 3R R R 13 = Mà tứ giác OIMC nội tiếp nên FI = FM FO = FC R R 13R IF 13R ⇒ IF = = ⇒ IL = = FM 13 39 Vì tứ giác OIAF nội tiếp nên 13R 13R 13R LO LF = IL AL = R ⇒ AL = ⇒ AI + IL = ⇒ AI = 3 13 Dễ có NIC= NOC= 30°= NIM ⇒ IJ đường phân giác góc I ∆AIF ⇒ FM = EF + EM = 3R + 0,25 Trang 5/6 JA IA Suy = = JF IF Câu (1,0 điểm) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a 2b + ab2 − ( a + b + ab ) = Tìm giá ( a 3b + ab3 ) + (1 + 2ab ) − trị nhỏ biểu thức P = 2ab Nội dung Ta có a 2b + ab2 − ( a + b + ab ) = ⇔ ab ( a + b ) = ( a + b ) + 2ab 2 ⇔ a+b = + +2≥ + ⇔ ( a + b ) − ( a + b ) − ≥ ⇒ a + b ≥ a b a+b 2 1 Lại có a 2b + ab2 − ( a + b + ab ) = ⇔ = + ⇔ = − ab a + b ab a + b 2 ( a 3b + ab3 ) + (1 + 2ab ) − 2ab ( a + b2 ) + (1 + 2ab ) − P = 2ab 2ab (1 + 2ab ) + −3 2ab ab 2 1 = (a + b) + − − + =( a + b ) + a+b 2 a+b Điểm 0,25 0,25 +2− 0,25 64 64 127 64 64 127 71 + − + ≥ 33 ( a + b ) − + = a+b a+b a+b a+b a+b 4 71 Vậy giá trị nhỏ P Dấu “=” xảy a= b= 0,25 = a +b = (a + b) 2 = (a + b) + -Hết - Trang 6/6 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi chun Tin) HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH... luận m = giá trị cần tìm 10 3 10 + 2− số nguyên 9 10 10 10 10 10 3 10 2+ +2− + 33 + + 2− Ta có P = 2 − 2+ 9 9 b) Chứng minh P = + 10 10 ⇔ P =4 + 3 + 2... mãn 2022m += m 2023n + n 2022 ( m + n ) + số phương 2 2022m = + m 2023n + n ⇔ 2022m − 2022n + m= − n n2 1,0 0,25 ⇔ ( m − n )( 2022m + 2022n + 1) = n (1) + TH1: Với m = n từ (1) suy m = n = ⇒ 2022