Đang tải... (xem toàn văn)
Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức 2 3 9 1 ( 0; 1; 4) 3 2 6 2 3 x x xA x x x x x x x x x − − − = + − ≥ ≠ ≠ + − + − + − 1 Rút gọn biểu thức A 2 Tìm tất cả các giá trị của x để 2A > − Câu II (2,0 đ. ĐỀ Tuyển sinh vào LỚP 10 MÔN TOÁN chuyên năm 2022 2023 Trường THCS Hà Nam
UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN Năm học 2022-2023 Mơn: Tốn (Đề chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức: x −2 x −3 9− x = + − A ( x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4) : x +3 2− x x+ x −6 x+ x −3 Rút gọn biểu thức A Tìm tất giá trị x để A > −2 Câu II (2,0 điểm) Cho đường thẳng ( d ) có phương trình y = ( m − ) x + 2m − (với m tham số) điểm A ( −1;2 ) Tìm tất giá trị m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ( d ) đạt giá trị lớn ( x − y − 1) ( x + y + 1) = x + y − x + y + Giải hệ phương trình: x + + y + =− x + x + Câu III (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có góc nhọn nội tiếp đường trịn ( O; R ) Các đường cao AK , BE , CF tam giác ABC cắt H ( O; R ) điểm M , N , P ( M khác A , N khác B , P khác C ) cắt đường tròn Chứng minh EF // PN Chứng minh diện tích tứ giác AEOF EF R AM BN CP + + AK BE CF Gọi S Q chân đường vng góc kẻ từ điểm K đến cạnh AB, AC Đường Tính giá trị biểu thức thẳng QS cắt BC G , đường thẳng GA cắt đường tròn ( O; R ) điểm J ( J khác A ) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS Chứng minh ba điểm I , K , J thẳng hàng Câu IV (1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x − x3 + 18 x − y − 32 x + y + 20 = 2 Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c + ab − 2bc − 2ca = a + b2 + c2 c2 ab + + ≥ Chứng minh: 2 a +b (a + b − c) a + b - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, người coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………… Số báo danh: Người coi thi số 1:………………………………Người coi thi số 2:…………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2022-2023 (Hướng dẫn chấm thi có 05 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (ĐỀ CHUN) Ghi chú: - Điểm tồn khơng làm tròn - Các cách giải khác mà cho điểm tương đương Nội dung Điểm Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức: x −2 x −3 9− x = A + − ( x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 1) : x +3 2− x x + x −6 x + x −3 (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức A ( x − 2) − ( x − 3)( x + 3) − + x A= : ( x + 3)( x − 2) x +3 x −1 ( = ( x − 2) − ( x − 9) − + x : ( x + 3)( x − 2) = ( x − 2) : ( x + 3)( x − 2) ( ( x +3 x +3 )( )( )( 0,5 ) 0,25 ) x −1 0,25 ) x −1 x −2 x +3 ( x + 3) ( x − 1) =( x − )( x − 1) = x − x + = 0,25 0,25 ( 0,5 điểm) Tìm tất giá trị x để A > −2 A = x − x + > −2 (∀x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 1) 0,25 3 ⇔ x − x + > ⇔ x − + > (∀x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 1) 2 Vậy A > −2 với ∀x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 0,25 Câu (2,0 điểm) ( 1,0 điểm) Cho đường thẳng ( d ) có phương trình y = ( m − ) x + 2m − điểm A ( −1; ) Tìm tất giá trị m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ( d ) đạt giá trị lớn Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định nằm đường thẳng d ⇔ y0 = ( m − ) x0 + 2m − có nghiệm với ∀m ⇔ m ( x0 + ) − x0 − y0 − = ( ∀m ) 0,25 x0 + =0 x0 =−2 ⇔ ⇔ ⇒ M ( −2;3) y0 − = −2 x0 −= y0 Gọi H hình chiếu A d ⇒ AH ≤ AM Khoảng cách AH lớn AM H ≡ M ⇔ AM ⊥ d Phương trình đường thẳng AM : y =− x + 0,25 0,25 AM ⊥ d ⇔ ( m − ) ( −1) =−1 ⇔ m =3 ( x − y − 1).( x + y + 1) = x + y − x + y + ( 1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x + + y + =− x + x + ( ) 0,25 (1) x ≥ −6 ĐK: y ≥ −3 0,25 ( x − y − 1).( x + y + 1) = x + y − x + y + ⇔ ( x − y − ) ( x + y + ) = 0,25 ( x + y + > ∀x, y ) ⇔ x − y −= Thay y= x − vào phương trình ( ) x + + x + = − x + x + 8, ( x ≥ −1) ⇔ x + − + x + − + x2 − x − = x−3 x−3 ⇔ + + ( x − 3)( x + 1) = x+6 +3 x +1 + 1 ⇔ ( x − 3) + + x + 1 = + + + + x x 1 ⇔ x + + x + > 0, ∀x ≥ −1 x+6 +3 x +1 + x =3 ⇒ y =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 3;1) Câu III (4 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) 0,25 0,25 có góc nhọn nội tiếp đường trịn ( O; R ) Các đường cao AK , BE , CF tam giác ABC cắt H cắt đường tròn ( O; R ) điểm M , N , P ( M khác A , N khác B , P khác C ) ( 1,0 điểm) Chứng minh EF //PN BEC = BFC = 900 ⇒ tứ giác BCEF nội tiếp đường trịn đường kính BC ) = ( góc nội tiếp chắn cung EC ⇒ CBE CFE ) = CPN ( góc nội tiếp chắn cung CN Mà CBE = CPN ⇒ EF / / PN ⇒ CFE 0,25 0,25 0,25 0,25 ( 1,0 điểm) Chứng minh diện tích tứ giác AEOF ) ABN = ACP (cùng phụ với BAC ⇒ AN = AP ON = OP = R ⇒ A, O nằm đường trung trực PN ⇒ AO ⊥ PN EF R Mà EF / / PN ⇒ AO ⊥ EF ⇒ S AEOF = AM BN CP ( 1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức + + AK BE CF ) = BCM ( góc nội tiếp chắn cung BM BAM = BCF (cùng phụ với BAM ABC ) EF R 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = ⇒ BCF BCM ∆MCH có CK vừa đường phân giác vừa đường cao ⇒ ∆MCH cân C ⇒ K trung điểm MH AM BN CP AK + KM BE + EN CF + FP + += + + AK BE CF AK BE CF 0,25 KM EN FP = + + 3+ AK BE CF KM KH S ∆BHC = = AK AK S ∆ABC 0,25 EN S ∆AHC FP S ∆AHB Chứng minh tương tự: = = ; BE S ∆ABC CF S ∆ABC S + S ∆AHC + S ∆AHB AM BN CP + ∆BHC +1 = + + = = 0,25 AK BE CF S ∆ABC ( 1,0 điểm) Gọi S Q chân đường vng góc kẻ từ điểm K đến cạnh AB, AC Đường thẳng QS cắt BC G , đường thẳng GA cắt đường tròn ( O; R ) điểm J ( J khác A ) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS Chứng minh ba điểm I , K , J thẳng hàng ASK + AQK = 900 + 900 = 1800 nên ASKQ tứ giác nội tiếp ⇒ ASQ = AKQ 0,25 (cùng phụ với CKQ ) AKQ = BCQ ASQ = BCQ Do Suy BSQC tứ giác nội tiếp = ⇒ GBS GQC GB GS ∆GBS ∽ ∆GQC ( g g ) = > == > GB.GC = GS GQ (1) GQ GC = BAK Vì ASKQ tứ giác nội tiếp nên: GQK = GKS (cùng phụ với SBK ) Mà BAK = GKS nên GQK GQ GK ∆GQK ∽ ∆GKS ( g g ) = > == > GK = GS GQ (2) GK GS Từ (1) (2) ⇒ GK = GB.GC =GCA => ∆GJB ∽ ∆GCA => GJ = GB GJB GC GA = > GJ GA = GB.GC GK GJ ⇒ GK= GJ G A ⇒ = GA GK = 900 = GKA ⇒ ∆GKJ ∽ ∆GAK ⇒ GJK 0,25 ⇒ AJ ⊥ JK JK cắt ( O ) D ( D khác K ) AD đường kính ( O ) Gọi I trung điểm KD , L trung điểm QC Khi OI đường trung bình ∆AKD ⇒ OI //AK ⇒ OI ⊥ BC Mà OB = OC nên OI trung trực BC (3) Vì KQ //DC (cùng vng góc AC ) nên KQCD hình thang ⇒ IL đường trung bình hình thang KQCD ⇒ IL //KQ ⇒ IL ⊥ QC ⇒ IL trung trực QC (4) 0,25 0,25 Từ (3) (4) ⇒ I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BSQC Vậy I , K , J thẳng hàng Câu IV (1 điểm) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x − x3 + 18 x − y − 32 x + y + 20 = x − x3 + 18 x − y − 32 x + y + 20 = x − x3 + 18 x − 32 x + 24 = y − y + 0,25 ( x − 2) ( x − x + 6) = ( y − 2) Với y = ⇒ x = Với y ≠ ta có (y – 2)2 (x – 2)2 số phương khác nên x − x + số phương Đặt x − x + = m (m ∈ N * ) 0,25 m2 ( x − 1) + = (x − − m)(x − + m) =−5 x − + m =5 x − − m =−1 ( x-1+ m > x-1-m) x − + m = x − − m =−5 x = m = x = −1 m = 0,25 • x = ⇒ (y – 2)2 = ⇒ y = y = –1 0,25 • x = –1 ⇒ (y – 2)2 = 81 ⇒ y = 11 y = –7 Vậy (x;y) nguyên thỏa yêu cầu toán (2;2), (3;5), (3;-1), (–1;11),(–1;-7) Câu V (1 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn thỏa mãn: a + b + c + ab − 2bc − 2ca = Chứng minh : a + b2 + c2 c2 ab + + ≥3 2 a +b (a + b − c) a + b a + b2 + c2 c2 ab c2 c2 ab + + ≥3 ⇔ 2 + + ≥2 2 2 a + b (a + b − c) a + b a +b (a + b − c) a + b Đặt x = a b , y = (x, y >0) c c 0,25 a + b + c + ab − 2bc − 2ca = ⇔ x + y + + xy − x − y = ⇔ ( x + y − 1) = xy Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: xy ≤ ( x + y)2 ( x + y)2 ⇒ 3 ( x + y ) − − ( x + y ) ≥ ⇔ ≤ x + y ≤ Do đó: ( x + y − 1) ≤ 0,25 c2 c2 ab P= + + 2 a + b (a + b − c) a + b = xy xy 1 1 + + = + + 2 x +y ( x + y − 1) x+ y x + y xy x + y xy 1 = + + +2 ≥ + 2 xy xy x + y ( x + y ) 2( x + y ) xy x +y P≥ +2 = 2 2.2 Dấu xảy x = y =1 ⇔ a=b=c 0,25 0,25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2022- 2023 (Hướng dẫn chấm thi có 05 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (ĐỀ CHUN) Ghi chú: - Điểm tồn... 1) = x + y − x + y + ⇔ ( x − y − ) ( x + y + ) = 0,25 ( x + y + > ∀x, y ) ⇔ x − y −= Thay y= x − vào phương trình ( ) x + + x + = − x + x + 8, ( x ≥ −1) ⇔ x + − + x + − + x2 − x − = x−3 x−3 ⇔ +... J ( J khác A ) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS Chứng minh ba điểm I , K , J thẳng hàng ASK + AQK = 900 + 900 = 1800 nên ASKQ tứ giác nội tiếp ⇒ ASQ = AKQ 0,25 (cùng phụ