ĐỀ Tuyển sinh vào LỚP 10 MÔN TOÁN chuyên năm 2022 2023 Trường THCS Chuyên Hùng Vương Phú Thọ

Qua đó, giúp các em học sinh tham khảo, so sánh với bài thi vào lớp 10 năm 2022 2023 của mình thuận tiện hơn. Kỳ thi tuyển sinh vào 10 năm học 2022 2023 ... Các dạng toán xuất hiện trong bài thi gồm: giải hệ phương trình, giải phương trình, tính giá trị biểu thức ... de thi vao lop 10 mon toan chuyen ...ĐỀ Tuyển sinh vào LỚP 10 MÔN TOÁN chuyên năm 2022 2023 Trường THCS Chuyên Hùng Vương Phú Thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi có: 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Cho phương trình x  x   8m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  x1  x2 b) Gọi a , b, c số thực thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  Tính giá trị biểu thức A  a   3bc Câu (2,0 điểm) a) Xác định hệ số a , b, c đa thức P  x   x  ax  bx  c Biết P  2   29, P 1  5 P  3  b) Cho n số nguyên dương cho 4n  13 5n  16 số phương Chứng minh 2023n  45 chia hết cho 24 Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 17 x     x  x  3 x   x  3x  22  b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 146;2022  Gọi H hình chiếu vng góc A trục Ox Tìm số điểm ngun nằm tam giác OAH (Điểm nguyên điểm có hồnh độ tung độ số ngun) Câu (3,0 điểm) Cho hai đường tròn  O; R   O; R  cắt hai điểm A B ( R  R O , O  thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ AB ) Đường thẳng AO cắt  O   O  C M , đường thẳng AO cắt  O   O  N D ( C , D, M , N khác A ) Gọi K trung điểm CD; H giao điểm CN DM a) Chứng minh năm điểm M , N , O , K , B thuộc đường tròn b) Gọi  I  đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E điểm đối xứng C qua B; P giao điểm AE HD; F giao điểm BH với  I  ( F khác H ); Q giao điểm CF với BP Chứng minh BP  BQ   90 c) Chứng minh IBP Câu (1,0 điểm) Cho x, y , z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x4  x  y  y4  y  z  z4  z  x HẾT -Họ tên thí sinh:………………………………………………… Số báo danh:……………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: TỐN (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC Hướng dẫn chấm có 06 trang Lưu ý chấm - Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm hướng dẫn chấm - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số Câu (2,0 điểm) a) Cho phương trình x  x   8m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  x1  x2 b) Gọi a , b, c số thực thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  Tính giá trị biểu thức A  a   3bc Nội dung a) Cho phương trình x  x   8m  1 Điểm Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  x1  x2 0,25 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt     12  8m   m    x1  x2   x1 x2   8m Vì x1 , x2 nghiệm 1 nên   x1  1   x2  1   x1  x2    x1  1 x2  1   x1 x2   x1  x2    Ta có  x1  x2   8     8m    m    m     3 Vậy   m   giá trị cần tìm 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Gọi a , b, c số thực thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  Tính giá trị biểu thức A  a   3bc 1,0 Ta có a  b  c  ab  bc  ca  a  2b  c  ab  2bc  ca 0,25   a  b    b  c    c  a    a  b  c 0,25 Mà a  b  c   a  b  c  0,25 Suy A  a   3bc  11 0,25 2 Câu (2,0 điểm) c) Xác định hệ số a , b, c đa thức P  x   x  ax  bx  c Biết P  2   29, P 1  5 P  3  d) Cho n số nguyên dương cho 4n  13 5n  16 số phương Chứng minh 2023n  45 chia hết cho 24 Nội dung a) Xác định hệ số a , b, c Điểm đa thức P  x   x3  ax  bx  c biết P  2  29, P 1  5, P  3  1,0 Vì P  2   29 nên ta có 8  4a  2b  c  29  4a  2b  c  21 Vì P 1  5 nên ta có  a  b  c  5  a  b  c  6 0,5 Vì P  3  nên ta có 27  9a  3b  c   9a  3b  c  26 4a  2b  c  21 a  3   Ta có hệ phương trình  a  b  c  6  b  9a  3b  c  26  c  5   0,25 Vậy a  3; b  2; c  5 0,25 b) Cho n số nguyên dương cho 4n  13 5n  16 số phương Chứng minh 2023n  45 chia hết cho 24 1,0 Giả sử 4n  13  a 5n  16  b2  a, b   * Từ 4n  13  a  a số lẻ 0,25 Ta có 4n  13  a   n  3  a    n  3   a  1 a  1 2 a số lẻ nên a  a   a  1 a  18   n  3  n số lẻ Vì hai số chẵn liên tiếp, Suy b  5n  16 số lẻ Lại có 5n  16  b2   n  3   b  1 b  1  Mà  5;8     n  3 0,25 1 Ta có a  b2  9n  29   mod 3 mà a  0;1 mod 3 ; b2  0;1 mod 3  a  b2   mod 3 4n  13  1 mod 3    n  3   mod 3 5n  16  1 mod 3 0,25  2 Vì  3;8   nên từ (1) (2) suy  n  3  24 0,25 Từ 2023n  45  2016n   n  3  24  24 (đpcm) Câu (2,0 điểm)     c) Giải phương trình: 17 x   x  x  x   x  3x  22  d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 146;2022  Gọi H hình chiếu vng góc A trục Ox Tìm số điểm nguyên nằm tam giác OAH (Điểm ngun điểm có hồnh độ tung độ số nguyên) Nội dung     a) Giải phương trình 17 x   x  x  Điểm x   x 3x  22  1 + Điều kiện x    x    Phương trình 1  x  34 x  44 x  12  x  x   2x   0,25   x  3 6 x  16 x    x  1 x    x   6 x  16 x    x  1 x     Phương trình     x  1   x     x  1 x   + Khi x  1: Khơng thỏa mãn phương trình  3  3 0,25   2x  2x   + Khi x  1,  3      x 1   x  12   2x   x 1 2x   2 x 1  x  2x  13  67   x x 1 9 x  26 x  11   x  2x  5  29  2   x x 1 4 x  10 x   0,25 0,25  13  67  29  ; Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình x  3;    b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 146;2022  Gọi H hình chiếu vng góc A trục Ox Tìm số điểm nguyên nằm tam giác OAH (Điểm ngun điểm có hồnh độ tung độ số ngun) 1,0 Vì H hình chiếu vng góc A trục Ox nên H 146;0  Gọi B hình chiếu vng góc A trục Oy , suy B  0;2022  Gọi C trung điểm đoạn OA, suy C  73;2011 Điểm M  x0 ; y0   x0 ; y0    điểm nguyên nằm OAH M   x0 ; y0   x0 ; y0    đối xứng với điểm M qua C nằm OAB 0,25 điểm Suy số điểm nguyên nằm OAH số điểm nguyên nằm OAB (số điểm nguyên nằm hình chữ nhật ABOH trừ số điểm nguyên nằm đoạn thẳng OA) Do số điểm nguyên nằm tam giác OAH 0,25 Số điểm nguyên nằm hình chữ nhật ABOH 145.2021  293045 1011 Phương trình đường thẳng OA y  x Từ kiểm tra số điểm nguyên đoạn 73 0,25 thẳng OA (trừ điểm O A ) Vậy số điểm nguyên OAH 293045   146522 0,25 Câu (3,0 điểm) Cho hai đường tròn  O; R   O; R  cắt hai điểm A B ( R  R O, O thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ AB ) Đường thẳng AO cắt  O   O  C M , đường thẳng AO  cắt  O   O  N D ( C , D, M , N khác A ) Gọi K trung điểm CD ; H giao điểm CN DM d) Chứng minh năm điểm M , N , O , K , B thuộc đường tròn e) Gọi  I  đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E điểm đối xứng C qua B; P giao điểm AE HD; F giao điểm BH với  I  ( F khác H ); Q giao điểm CF với BP Chứng minh BP  BQ   90 f) Chứng minh IBP Nội dung Điểm (Xét hình vẽ Các hình khác chứng minh tương tự) a) Chứng minh năm điểm M , N , O , K , B thuộc đường trịn 1,0   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O  )  AD  CH Ta có ANC   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O  )  AC  DH CMD 0,25 Suy A trực tâm tam giác HCD  HA  CD  H , A, B thẳng hàng   2MCN  (góc nội tiếp góc Dễ có tứ giác CDMN nội tiếp đường tròn tâm K  MKN 0,25  ) HCM   HDN  1 tâm chắn MN   ABN  (góc nội tiếp chắn cung  AN ) Ta có tứ giác ABCN nội tiếp  ACN   ABM  (góc nội tiếp chắn cung  AM ) Tứ giác ABDM nội tiếp  ADM    MKN   MBN   ACN  ABM  ACN Kết hợp với 1 suy ABN Ta có  MON  2 ACN   MBN 0,25  2  3 0,25 Từ    3 suy điểm M , N , O , K , B thuộc đường tròn b) Gọi  I  đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E điểm đối xứng C qua B; P giao điểm AE HD; F giao điểm BH với  I  ( F khác H ); Q giao 1,0 điểm CF với BP Chứng minh BP  BQ Xét tứ giác ACFE có hai đường chéo CE  AF trung điểm B CE 1 0,25 )   DCF  (góc nội tiếp chắn DF  ) Mà BHD   BHD  (cùng phụ với CDH Ta có DCM   DCF  (2)  DCM 0,25 Từ (1) (2) suy ACFE hình thoi Xét hai BPE BQC có  BEP   BCQ (so le trong), BE  BC ,  EBP   CBQ (đối đỉnh) Suy BPE  BQC (g-c-g)  BP  BQ (đpcm) 0,5   90 c) Chứng minh IBP 1,0 Gọi S , T giao điểm BQ  I  (như hình vẽ) 0,25  (cùng  Xét tứ giác ADEH có  AED  AHD ACE ), suy tứ giác ADEH nội tiếp  PD PH  PA PE  PT PS Từ  BPE  BQC  PE  QC  PA  QF  PA PE  QF QC  QS QT 0,25 Vậy QS QT  PT PS  QS  PQ  PT   PT  PQ  QS   QS PQ  QS PT  PT PQ  PT QS  QS PQ  PT PQ  QS  PT  B trung   90 (đpcm) điểm ST  IB  ST  IBP 0,5 Câu (1,0 điểm) Cho x, y , z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x4  x  y  y4  y  z  z4  z  x Nội dung Ta có P  Đặt a  P y    1 x   z   y  1    x    1 z  Điểm y z x , b  , c   a, b, c  abc  x y z  a  1   b  1   c  1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  a  1  1 1 2  16 16  a  1  a  12 0,25 Tương tự có P  b  1  1  , 16  b  1  c  1  1  16  c  1 1 1       2 16   a  1  b  1  c  12  Ta chứng minh Thật vậy:  a  1  a  1    b  1  b  1   với a , b   ab 1  ab 2 2   a  1   b  1  1  ab    a  1  b  1   0,25   a  b  2a  2b   1  ab    ab  a  b  1   a  b  2a  2b   1  ab    ab  a  b    ab  a  b     ab  a  b2   2ab  a 2b2  ab  a  b    ab  1  (luôn đúng) Dấu “=” xảy a  b  Tương tự có  c  1  1  1  1 ab   1 c 1 ab  ab 0,25 Khi 1 1  1 ab 1 3 3 P              2 2   a  1  b  1  c  1  16   ab ab   16 16 16 Vậy giá trị nhỏ P Dấu “=” xảy a  b   x  y  z 16 -HẾT - 0,25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: TỐN (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH... Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác... 0,25 Từ 2023n  45  2016n   n  3  24  24 (đpcm) Câu (2,0 điểm)     c) Giải phương trình: 17 x   x  x  x   x  3x  22  d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 146 ;2022 