Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Để thức KỲ THI TUYỂN SINH VẢO LỚP 10 THPT NÃM HỌC 2022-2023 Mơn thỉ chun: TỐN (CHUN TỐN) Ngày thi: 11/6/2022 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thởi gian phát đề) Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức: P = x 2022 × x − x 2020 × x + x + 2017 Tính giá trị P x = + − − Cho phương trình x3 + bx + cx + = b, c số nguyên Biết phương trình có nghiệm x0 = + Tìm b, c nghiệm cịn lại phương trình Bài 2: (2,5 điểm) x( x + y ) + y − y + = Giải hệ phương trình: 2 y( x + y) − x − y − = Cho a, b, c số nguyên Đặt S = (a + 2021)5 + (2b − 2022)5 + (3c + 2023)3 ; P = a + 2b + 3c + 2022 Chứng minh S chia hết cho 30 chi P chia hết cho 30 Bài 3: ( 1,0 điểm) Có tất đa thức P( x) có bậc không lởn với hệ số nguyên không âm thỏa mãn điều kiện P(3) = 100 Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) , đường cao AD, BE,CF cắt H Gọi M trung diểm BC a) Chứng minh tứ giác DMEF tứ giác nội tiếp b) Đường tròn tâm I đường kính AH cắt đường trịn (O) điểm thử hai P Kẻ đường kính AK đường tròn (O) Chứng minh bốn điểm P, H, M, K thẳng hàng c) Các tiếp tuyến A P đường tròn (I) cằt N Chứng minh ba đường thẳng MN, EF, AH đồng quy Bài 5: (1,0 điểm) Cho số x, y thỏa mãn: x + y ≤ 2 x + y + xy = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biều thức: T = x + y − xy -HẾT - Đáp án Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức P = x 2022 x − x 2020 x + x + 2017 Tính giá trị P x = 2+ − 2− Cho phương trình x3 + bx + cx + = b, c số ngun Biết phương trình có nghiệm x0 = + Tìm b, c nghiệm cịn lại phương trình Lời giải Ta có x = + − − ⇒ x = (2 + 5) − (2 − 5) − 3 + ×3 − ( + + − ) ⇒ x3 = + 3x ( ) ⇒ ( x − 5) x − x + = 5 Chú ý x − x + = x − ÷ + > nên từ x = ÷ 2020 x x − + x + 2017 = 2022 Thế nên P = x ( ) Bằng tính tốn trực tiếp, ta tính x03 = 38 + 17 5; x02 = + Vì x0 nghiệm phương trình x3 + bx + cx + = nên x03 + bx02 + cx0 + = ⇒ (38 + 17 5) + b(9 + 5) + c(2 + 5) + = ⇒ (39 + 9b + 2c) + (17 + 4b + c) = 39 + 9b + 2c ∈ ¤ b, c số nguyên, 17 + 4b + c điều vơ lí Do 17 + 4b + c = , kéo theo 39 + 9b + 2c = 4b + c + 17 = b = −5 ⇔ Giải hệ phương trình c = 9b + 2c + 39 = Với (b; c) = ( −5;3) phương trình trở thành x − x + 3x + = Ta thấy 17 + 4b + c ≠ ( 5= ) ⇔ x − x − ( x − 1) = x = + ⇔ x = − x = Vậy với (b; c) = (−5;3) , nghiệm x0 = + PT cịn nghiệm x1 = − x2 = Bài 2: ( 2,5 điểm) x( x + y ) + y − y + = Giải hệ phương trinh 2 y( x + y) − x − y − = a, b, c số nguyên Đặt S = (a + 2021)5 + (2b − 2022)5 + (3c + 2023)5 ; P = a + 2b + 3c + 2022 Chứng minh S chia hết cho 30 chi P Cho chia hết cho 30 Lời giải Xét hệ phương trình: x ( x + y ) + y − y + = ( 1) 2 y ( x + y ) − x − y − = ( ) Nhân hai vố phương trình (1) với , ta x + xy + y − y + = ( ) Cộng theo vế phương trình (2) (3) ta y ( x + y )2 + xy + y − 15 y = ⇔ y ( x + y ) + 2( x + y ) − 15 = ⇔ y ( x + y − 3)( x + y + 5) = y = ⇔ x = − y x = −5 − y - Nếu y = thay vào phương trình (1) ta x + = , khơng có nghiệm thực - Nếu x = − y , thay vào phương trình (1) ta (3 − y ) ×3 + y − y + = y = ⇔ y − y + 10 = ⇔ ( y − 2)( y − 5) = ⇔ y = Với y = x = ; với y = x = −2 - Nếu x = −5 − y , thay vào phương trình (1) ta (−5 − y ) ×(−5) + y − y + = ⇔ y + y + 26 = , khơng có nghiệm thực 103 y + y + 26 = y + ÷ + > 2 Vậy hệ phương trình ban đầu có hai nghiệm ( x; y ) = (1; 2) ( x; y ) = (−2;5) Đặt x = a + 2021; y = 2b − 2022; z = 3c + 2023 S = x + y + z P = x + y + z 5 Ta có S − P = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) Xét A = x − x = x( x − 1)( x + 1) ( x + 1) Ta thấy ( x − 1) x( x + 1) tích ba số ngun liên tiếp nên có tích chia hết cho , A chia hết cho Theo định lý Fermat, ta có x = x( mod 5) nên A chia hết cho Mà ƯCLN (5, 6) = nên A = x − x chia hết cho 30 Hoàn toàn tương tự ( y − y ) ( z − z ) chia hết cho 30 Do ( S − P ) chia hết cho 30 Điều cho biết S chia hết cho 30 chi P chia hết cho 30 5 Bài 3: ( 1,0 điểm ) Có tất đa thức P( x) có bậc không lớn với hệ số nguyên không âm thỏa mãn điều kiện P(3) = 100 Lời giải - Xét đa thức P( x) = C số có đa thức P(x) = 100 thỏa mãn - Xét đa thức P( x) = ax + b với a > 0; b ≥ 0; a, b ∈ ¢ Ta có P(3) = 100 hay 3a + b = 100 , mà a ∈ ¥ * ; b ∈ ¥ nên ≤ a ≤ 33 Với a ta tìm b = 100 − 3a thỏa mãn điều kiện nên trường hợp có tất 33 đa thức thỏa đề Xét đa thức P( x) = ax + bx + c với a ∈ ¥ * ; b, c ∈ ¥ Theo đề ta có 9a + 3b + c = 100 , mà a, b, c số nguyên nên c = 3k + với k ∈ ¥ (với giá trị k ta tìm giá trị c ) Khi 3a + b + k = 33 hay b + k = 33 − 3a ≥ , suy ≤ a ≤ 11 Với giá trị a vậy, có (34 − 3a) giá trị nguyên b nhận từ đến ( 33 − 3a) có giá trị k = 33 − 3a − b thoả mãn sau chọn a b Vậy trường hợp có 11 12 ×11 = 176 cặp ∑ (34 − 3a) = 34 ×11 − × a =1 (a; b; k ) thoả mãn, ứng với 176 cặp (a; b; c) thoả mãn đề Trường hợp có 176 đa thức thoả mãn Từ ba trường hợp trên, có tất + 33 + 176 = 210 đa thức P( x) với hệ số nguyên không âm P(3) = 100 Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB 0; b ≥ 0; a, b ∈ ¢ Ta có P(3) = 100 hay 3a + b = 100 , mà a ∈ ¥ *... 2 y( x + y) − x − y − = a, b, c số nguyên Đặt S = (a + 2021)5 + (2b − 2022) 5 + (3c + 2023) 5 ; P = a + 2b + 3c + 2022 Chứng minh S chia hết cho 30 chi P Cho chia hết cho 30 Lời giải Xét... trình ban đầu có hai nghiệm ( x; y ) = (1; 2) ( x; y ) = (−2;5) Đặt x = a + 2021; y = 2b − 2022; z = 3c + 2023 S = x + y + z P = x + y + z 5 Ta có S − P = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) Xét
Ngày đăng: 04/12/2022, 08:12
Xem thêm:
