de tuyen sinh lop 10 mon toan chuyen nam 2022 2023 so gddt quang ngai

LỜI GIẢI ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH Q UẢNG N GÃI 2022 − 2023 MATHCS − Toán THCS Phan Huy Hào − Phạm Ngọc Tuấn NGÀY 26 THÁNG NĂM 2022 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NGÃI ĐỀ THI Bài 1: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức P = √ x x− x+2 √ √ − x− x−2 x−2 x √ x−1 :√ với x > 0, x ̸= 1, x ̸= x−2 Tìm m để ba đường thẳng (d1 ) : y = 2x + 1, (d2 ) : y = −x + (d3 ) : y = mx + m − đồng quy Bài 2: (1,5 điểm) Chứng minh n4 + 2n3 − n2 − 2n chia hết cho 24 với số nguyên n Tìm tất số nguyên dương n cho 25n2 + 10n + 48 tích hai số nguyên dương chẵn liên tiếp Bài 3: (2,5 điểm) Giải hệ phương trình x2 − 2x − xy + 2y = x + y = xy − Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − = ( m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn (x21 − 2mx1 + m2 ) (x22 − 2mx2 + m2 ) = Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 10 a2 + b2 + c2 + d2 = 28 Tìm giá trị lớn biểu thức T = ab + ac + ad Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O, bán kính R hai điểm B, C cố định (O), BC = R Điểm A thay đổi cung lớn BC (O) cho AB < AC Đường thẳng qua B vng góc với AC K cắt đường trịn (O) P (P khác B) Kẻ P Q vng góc với đường thẳng BC Q Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC D Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC M a) Chứng minh ABK = KQP MB = MC DB DC b) Khi A đối xứng với C qua O, tính diện tích tứ giác AM DO theo R c) Tia AD cắt đường tròn (O) E (khác A ) Lấy điểm I đoạn thẳng AE cho EI = EB Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) L (khác B ) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với LE cắt đường thẳmg LC F Xác định vị trí điểm A để độ dài BF lớn Bài 5: (1,0 điểm) Một số nguyên dương gọi "số đặc biệt" thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i) Các chữ số khác MATHCS − TOÁN THCS PHAN HUY HÀO − PHẠM NGỌC TUẤN ii) Số chia hết cho 12 đổi chỗ chữ số cách tùy ý, ta thu số chia hết cho 12 a) Chứng minh "số đặc biệt" chứa chữ số b) Có tất "số đặc biệt" có chữ số? LỜI GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NGÃI LỜI GIẢI √ √ x x−1 x− x+2 √ √ :√ − Bài 1 Rút gọn biểu thức P = x− x−2 x−2 x x−2 Tìm m để ba đường thẳng (d1 ) : y = 2x + 1, (d2 ) : y = −x + (d3 ) : y = mx + m − đồng quy 1,5 điểm ✍ Lời giải Điều kiện xác định: x > 0; x ̸= 1; x ̸= Ta có P = (x − √ √ √ √ x + 2)(x − x) − (x − x − 2)x x−2 √ √ ·√ (x − x − 2)(x − x) x−1 √ √ √ √ −2 x( x − 2)( x − 1) x−2 √ √ = √ √ = ·√ x( x − 1)( x − 2) x−1 1− x 2.Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d1 ) (d2 ) ta có: 2x + = −x + ⇔ 3x = ⇔x=2 ⇒y=5 Để (d1 ), (d2 ) (d3 ) đồng quy (d3 ) : y = mx + m − phải qua điểm (2; 5), đó: = 2m + m − ⇔ m = Vậy m = (d1 ), (d2 ) (d3 ) đồng quy ■ MATHCS − TOÁN THCS PHAN HUY HÀO − PHẠM NGỌC TUẤN Bài Chứng minh n4 + 2n3 − n2 − 2n chia hết cho 24 với số nguyên n Tìm tất số nguyên dương n cho 25n2 + 10n + 48 tích hai số nguyên dương chẵn liên tiếp 1,5 điểm ✍ Lời giải Ta có: n4 + 2n3 − n2 − 2n = (n3 − n)(n + 2) = (n − 1)n(n + 1)(n + 2) Ta thấy (n − 1)n(n + 1)(n + 2) tích bốn số nguyên liên tiếp nên chứa số chia hết cho số chia hết cho 4, từ suy tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho Đồng thời, bốn số nguyên liên tiếp ln chứa tích ba số ngun liên tiếp, đồng nghĩa với việc tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho Mà (3, 8) = 1, hay hai số nguyên tố Vì vậy, tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.8 hay 24 (đpcm) Vậy n4 + 2n3 − n2 − 2n chia hết cho 24 với số nguyên n Gọi hai số chẵn liên tiếp 2k 2k + với k ∈ Z+ Theo đề bài, ta có phương trình sau 25n2 + 10n + 48 = 2k(2k + 2) ⇔ 5n(5n + 2) + 48 = 4k(k + 1) (1) Vì k(k + 1) tích hai số ngun liên tiếp nên | k(k + 1) hay | 4k(k + 1) Suy | 5n(5n + 2) + 48 mà | 48 nên ta có | 5n(5n + 2), mà 5n 5n + cách hai đơn vị nên chẵn lẻ, nên để chia hết cho chẵn Do 5n chẵn hay n chẵn Đặt n = 2m (m ∈ Z+ ) Từ ta có (1) tương đương với 10m(10m + 2) + 48 = 4k(k + 1) ⇔ 5m(5m + 1) + 12 = k(k + 1) ⇔ 25m2 + 5m + 12 = k + k ⇔ (5m − k)(5m + k) + (5m − k) + 12 = ⇔ (5m − k)(5m + k + 1) = −12 Vì 5m − k < 5m + k + nên ta có trường hợp sau  5m − k = −4 1) 5m + k + =  m = − (loại) ⇔ k = LỜI GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NGÃI   m = − (loại) 10 ⇔  k =   m = (nhận) 5m − k = −1 ⇔ 3) k = 5m + k + = 12  5m − k = −2 2) 5m + k + = Trong ba trường hợp có trường hợp thỏa mãn, n = 2m = Vậy n = 25n2 + 10n + 48 tích hai số nguyên dương chẵn liên tiếp ■ MATHCS − TOÁN THCS PHAN HUY HÀO − PHẠM NGỌC TUẤN Bài Giải hệ phương trình x2 − 2x − xy + 2y = x + y = xy − Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − = ( m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn (x21 − 2mx1 + m2 ) (x22 − 2mx2 + m2 ) = Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 10 a2 + b2 + c2 + d2 = 28 Tìm giá trị lớn biểu thức T = ab + ac + ad 2,5 điểm ✍ Lời giải x2 − 2x − xy + 2y = (1) x + y − xy = (2) Xét phương trình (1), ta thấy: x2 − 2x − xy + 2y = ⇔ (x − y)(x − 2) = ⇔ x=y x=2 Từ ta xét trường hợp sau Trường hợp Với x = y, vào phương trình (2), ta 2x = x2 − ⇔ √ x=y =1+ √ x=y =1− Trường hợp Với x = 2, ta vào phương trình (2) tìm y: + y = 2y − ⇔ y = Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: (x; y) = 1− √ 6; − √ √ √ ; + 6; + ; (2; 7) Ta có x2 − 2(m − 1)x + m2 − = (1) ′ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 ∆(1) = −2m + > ⇔ m <  x + x = 2(m − 1) Theo hệ thức Viète ta có x1 · x2 = m2 − Vì x1 x2 hai nghiệm phương trình nên ta có:   x2 − 2(m − 1)x + m2 − = x2 − 2mx + m2 = − 2x 1 1 ⇔ x2 − 2(m − 1)x2 + m2 − = x2 − 2mx2 + m2 = − 2x2 2 Theo đề bài,ta có: LỜI GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NGÃI x21 − 2mx1 + m2 x22 − 2mx2 + m2 = ⇔ (3 − 2x1 )(3 − 2x2 ) = ⇔ − 6(x1 + x2 ) + 4x1 x2 = ⇔ − 12(m − 1) + 4(m2 − 3) = ⇔ m2 − 3m + = ⇔ (m − 1)(m − 2) = ⇔ m = (nhận) m = (loại) Vậy với m = thoả mãn yêu cầu đề Xét b2 + c2 + d2 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwartz, ta được: (b + c + d)2 ⩽ b2 + c2 + d2 (Dấu "=" xảy b = c = d) ⇔ (10 − a)2 ⩽ 28 − a2 ⇔ a2 − 5a + = (a − 1)(a − 4) ⩽ ⇔ ⩽ a ⩽ Mặt khác, ta thấy T = ab + ac + ad = a(b + c + d) = a(10 − a) = 10a − a2 = (10a − a2 − 24) + 24 = (a − 4)(6 − a) + 24 Vậy Tmax ⩽ (4 − 4)(6 − 1) + 24 = 24 (Dấu "=" xảy a = 4) = 24 a = 4; b = c = d = ■ MATHCS − TOÁN THCS PHAN HUY HÀO − PHẠM NGỌC TUẤN Bài Cho đường tròn tâm O, bán kính R hai điểm B, C cố định (O), BC = R Điểm A thay đổi cung lớn BC (O) cho AB < AC Đường thẳng qua B vng góc với AC K cắt đường tròn (O) P (P khác B) Kẻ P Q vng góc với đường thẳng BC Q Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC D Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC M a) Chứng minh ABK = KQP MB = MC DB DC b) Khi A đối xứng với C qua O, tính diện tích tứ giác AM DO theo R c) Tia AD cắt đường tròn (O) E (khác A ) Lấy điểm I đoạn thẳng AE cho EI = EB Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) L (khác B ) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với LE cắt đường thẳmg LC F Xác định vị trí điểm A để độ dài BF lớn 3,5 điểm ✍ Lời giải a) LỜI GIẢI ĐỀ THI CHUN TỐN QUẢNG NGÃI Ta có P Q⊥QC P K⊥KC (giả thiết) nên tứ giác P QCK nội tiếp Suy KQP = P CK (cùng chắn cung P K) (1) Ta thấy tứ giác ABCP nội tiếp (O; R) nên ABP = ACP (cùng chắn cung AP ) (2) Từ (1) (2) suy KQP = ABK = P CK (đpcm) Dễ chứng minh △M AB ∼ △M CA (g.g) nên ta có : MA AB M A2 AB MB · MC DB MB = ⇔ = = ⇔ = ⇔ 2 2 MC AC MC AC MC DC MC DB DC Bài toán chứng minh b) Khi A đối xứng với C qua O AC đường kính (O), ta có AC = 2R, AO = OC = CB = R Áp dụng định lý Pytago vào △ACB vuông B ta có AB = √ AC − CB = √ √ 4R2 − R2 = R Đồng thời AC = 2R = 2BC ⇒ ACB = 60◦ ⇒ ACB = M AB = 60◦ (cùng phụ BAC) Biến đổi tỷ lệ thức, ta có DB AB + AC BC AB = ⇔ = AC DC DC √AC R + 2R BC ⇔ = 2R DC √ DC =√ ⇔ =4−2 BC 3+2 √ ⇔ DC = R(4 − 3) Gọi DN đường cao △COD (N ∈ OC) Ta biến đổi diện tích sau: AB · M B + SABC − SODC AB · tanM AB AB · BC DN · OC = + − 2 √ 2 ◦ 3R · tan60 R sinDCN · DC · R = + − 2 √ √ 22 √ √ ◦ 3R R sin60 · R(4 − 3) · R 3+3 = + − = R 2 2 SAM DO = SAM B + SABDO = Vậy SAM DO √ 3+3 = R c) Ta có BAE = BLE (cùng chắn cung EB), EAC = ELC (cùng chắn cung EC) Mà BAE = EAC (AE phân giác BAC) nên BLE = ELC EB = EC (1) Do LE phân giác BLF mà theo giả thiết ta có LE vng góc BF Từ ta LE đường trung trực BF hay EB = EF (2) 10 MATHCS − TOÁN THCS PHAN HUY HÀO − PHẠM NGỌC TUẤN Từ (1) (2) giả thiết EI = EB ta EB = EI = EC = EF Do điểm B, I, C, F nội tiếp đường tròn (E; EB) nên BF dây cung (E; EB) Vì để BF đạt giá trị lớn BF đường kính (E; EB) Điều xảy BP đường kính (O; R) Khi K thuộc OB, mà AKB = 900 (giả thiết) nên OB⊥AC (3) Xét (O; R) ta thấy AC dây cung không qua O, nên K trung điểm AC (4) Từ (3) (4) suy B điểm nằm cung AC hay AB = BC Vậy với AB = BC hay B điểm cung AC BF đạt giá trị lớn 11 ■ LỜI GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NGÃI Bài Một số nguyên dương gọi "số đặc biệt" thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i) Các chữ số khác ii) Số chia hết cho 12 đổi chỗ chữ số cách tùy ý, ta thu số chia hết cho 12 a) Chứng minh "số đặc biệt" chứa chữ số b) Có tất "số đặc biệt" có chữ số? 1,0 điểm ✍ Lời giải Lời giải Nguyễn Nhất Huy a) Vì "số đặc biệt" nên chia hết cho Ta thấy số đổi chữ số cho mà chia hết cho chữ số phải số chẵn, mà "số đặc biệt" có chữ số ̸= nên chữ số thuộc {2; 4; 6; 8} (1) Từ số 2; 4; 6; 8, ta lập số có hai chữ số cho đổi chỗ chữ số cho chúng chia hết cho 4, ta thấy lập số thoả mãn số 48 (2) Từ (1) (2) suy ta lập "số đặc biệt từ" số (đpcm) b) Ta thấy "số đặc biệt" chứa số nên ta đặt x số chữ số y số chữ số để tạo nên "số đặc biệt" có năm chữ số (x, y ∈ Z+ ; ⩽ x, y ⩽ 4) Đồng thời, ta suy phương trình nghiệm nguyên: x + y = Cũng từ phương trình trên, ta tìm cặp số nguyên (x, y) (1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1) Vì "số đặc biệt" chia hết tổng chữ số chúng chia hết cho hay: | (4x + 8y) ⇔ | (3x + 9y) + (x − y) Mà | (3x + 9y) nên | (x − y) Từ dễ thu cặp (x, y) (1, 4) (4, 1) Ta xét trường hợp Trường hợp Với x = y = "số đặc biệt" tạo từ số bốn số 8, "số đặc biệt" là: 48888; 84888; 88488; 88848; 88884 (5 số) Trường hợp Với x = y = "số đặc biệt" tạo từ số bốn số 4, "số đặc biệt" là: 44448; 44484; 44844; 48444; 84444 (5 số) Từ trường hợp trên, số số cần tìm là: + = 10 (số) Vậy ta tìm tất 10 "số đặc biệt" có năm chữ số ■ 12 ...LỜI GIẢI ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH Q UẢNG N GÃI 2022 − 2023 MATHCS − Toán THCS Phan Huy Hào − Phạm Ngọc Tuấn NGÀY 26 THÁNG NĂM 2022 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NGÃI... d2 (Dấu "=" xảy b = c = d) ⇔ (10 − a)2 ⩽ 28 − a2 ⇔ a2 − 5a + = (a − 1)(a − 4) ⩽ ⇔ ⩽ a ⩽ Mặt khác, ta thấy T = ab + ac + ad = a(b + c + d) = a (10 − a) = 10a − a2 = (10a − a2 − 24) + 24 = (a − 4)(6... m = − (loại) 10 ⇔  k =   m = (nhận) 5m − k = −1 ⇔ 3) k = 5m + k + = 12  5m − k = −2 2) 5m + k + = Trong ba trường hợp có trường hợp thỏa mãn, n = 2m = Vậy n = 25n2 + 10n + 48 tích