Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2022 2023 Ngày thi 16/02/2023 Môn Toán Thời gian làm[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2022 - 2023 Ngày thi 16/02/2023 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài (4,0 điểm) 1) Tìm số nguyên tố p cho p + 10 p + 14 số nguyên tố 2) Tìm tất nghiệm nguyên x, y phương trình x + xy − x − y − = 3) Cho ba số a, b, c ∈ Z thoả mãn a + b + c = 20222023 Chứng minh a + b3 + c3 chia hết cho Bài (4,0 điểm) x x − , với x ≥ x + + x x x + x + x + 1) Cho biểu thức: M = 1 − : Rút gọn biểu thức M tính giá trị biểu thức M = x 2023 − 2022 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = Bài (4,0 điểm) 1) Giải phương trình x y z + + x +1 y +1 z +1 x + + x x + = x + x + x + 1 + + + x x (1 )= y y 2) Giải hệ phương trình x3 + x + x + =4 ⋅ y y y3 Bài (7,0 điểm) 1) Một học sinh có bìa hình vng ABCD cạnh 20 cm Em muốn cắt bìa thành bốn hình tam giác vng phần cịn lại hình vng MNPQ thỏa mãn M , N , P, Q thuộc cạnh AB, BC , CD, DA Hãy xác định vị trí điểm M , N , P, Q để diện tích hình vng MNPQ nhỏ 2) Cho đường trịn tâm O đường kính AB = R Điểm M di động đoạn OA ( M khác A ), vẽ đường tròn tâm K đường kính MB Gọi I trung điểm đoạn MA, đường thẳng qua I vng góc với AB cắt đường tròn (O) C D Đường thẳng CB cắt đường tròn (K) P a) Chứng minh ba điểm P, M , D thẳng hàng b) Chứng minh PI tiếp tuyến đường tròn (K) c) Tìm vị trí M đoạn OA để diện tích tam giác IPK lớn Bài (1,0 điểm) Người ta làm hộp hình vng để đựng bánh hình trịn có đường kính 6cm, cho khơng có hai bánh chồng lên Hãy tính cạnh nhỏ hộp HẾT Ghi chú: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2022 - 2023 Ngày thi 16/02/2023 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (4,0 điểm) 1) Tìm số nguyên tố p cho p + 10 p + 14 số nguyên tố 2) Tìm tất nghiệm nguyên x, y phương trình x + xy − x − y − = 3) Cho ba số a, b, c ∈ Z thoả mãn a + b + c = 20222023 Chứng minh a + b3 + c3 chia hết cho Tóm tắt cách giải 1.1) Điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm * Với p = p + 10 = 12 hợp số * Với p = p + 10 = 13 p + 14 = 17 số nguyên tố * Với p > mà p số nguyên tố nên p có dạng: p = 3k + p = 3k + (k ∈ N*) - Nếu p = 3k + p + 14 = 3(k + 5) hợp số - Nếu p = 3k + p + 10 = 3(k + 4) hợp số Vậy p = p + 10 p + 14 số nguyên tố 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 1.2) Ta có : x + xy − x − y − = 0,25 điểm ⇔ x − x + xy − y + x − = ⇔ x( x − 3) + y ( x − 3) + x − = ⇔ ( x − 3)( x + y + 1) = 0,25 điểm 0,25 điểm Ta có trường hợp sau: = x − = x ⇔ x + y + =1 y =−4 x − =−1 x =2 TH2: ⇔ x + y + =−1 y =−4 0,25 điểm TH1: 0,25 điểm 0,25 điểm Vậy nghiệm nguyên pt (x; y) = ( 4; −4 ) , ( 2; −4 ) 1.3) Ta có: a + b3 + c3= a3 − a = (a ( a − 1) a ( a + 1) − a ) + ( b3 − b ) + ( c − c ) + ( a + b + c ) 0,25 điểm (tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 2022 Tương tự b − b 6, c − c có 2022 ⇒ a + b + c = 3 Vậy a + b + c 3 2023 6 Bài (4,0 điểm) x x − , với x ≥ x + + x x x + x + x + 1) Cho biểu thức: M = 1 − : Rút gọn biểu thức M tính giá trị biểu thức M = x 2023 − 2022 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 2.1) Với điều kiện x ≥ x y z + + x +1 y +1 z +1 Tóm tắt cách giải x x − x + + x x x + x + x + x − x +1 x = − : x +1 + x (x + 1)(1 + x ) Điểm Ta có: M = 1 − : ( = ( = ) ) x −1 : x +1 x +1− x (x + 1)(1 + x ) x − (x + 1)(1 + x ) (x + 1)( x − 1) = + x Khi x = 2023 − 2022 = ( 2022 − 1) ( 2022 − 1) = 2022 Thì M =+ 2.2) Ta có : x y z = 1− ; = 1− ; = 1− x +1 x +1 y +1 y +1 z +1 z +1 x y z 1 + = + + P= + 3− (*) x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với số dương a, b, c; , , ta có a b c 1 1 a + b + c ≥ 3 abc ; + + ≥ 3 a b c abc Nhân vế hai bđt ta 1 1 1 + + ≥9⇒ + + ≥ a b c a+b+c a b c ( a + b + c ) Dấu “=” xảy a= b= c Áp dụng bđt vào (*) ta 9 = 3− = x +1+ y +1+ z +1 4 1 Dấu “=” xảy x + y + z = ⇔ x=y=z= x +1 = y +1 = z +1 Vậy maxP= x= y= z= P ≤ 3− 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài (4,0 điểm) 1) Giải phương trình x + + x x + = x + x + x + 1 x + x + (1 + )= y y 2) Giải hệ phương trình x3 + x + x + =4 ⋅ y y y3 Tóm tắt cách giải 3.1) ĐK: x ≥ −1 Ta có: x + + x x + = x + ( x + 3)( x + 1) ⇔ ( x + − 2x )( ) x +1 −1 = Điểm 0,25 điểm 0,5 điểm x+3 = x (1) ⇔ 1(2) x + = x ≥ 2 x ≥ ⇔x= (TM) (1) ⇔ ⇔ x x − + = ( )( ) x x − − = (2) ⇔ x=0 (TM) 0,25 điểm Vậy S= {0;1} 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 3.2) Đk: y ≠ x + Hệ tương đương với x3 + 0,5 điểm 1 x + + = y2 y x ( ) =4 ⋅ + x + y3 y y u= x + y Đặt , Ta hệ phương trình: x v = y u + u = − 2v u − 4u= +4 = u ⇔ ⇔ − 2uv + u − 2v u= u = v = 1 x + = y x = u = ⇔ ta (thoả mãn điều kiện) Với x y = v = =1 y Vậy nghiệm hệ phương trình (1;1) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm Bài (7,0 điểm) 1) Một học sinh có bìa hình vng ABCD cạnh 20 cm Em muốn cắt bìa thành bốn hình tam giác vng phần cịn lại hình vng MNPQ thỏa mãn M , N , P, Q thuộc cạnh AB, BC , CD, DA Hãy xác định vị trí điểm M , N , P, Q để diện tích hình vng MNPQ nhỏ 2) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = R Điểm M di động đoạn OA ( M khác A ), vẽ đường trịn tâm K đường kính MB Gọi I trung điểm đoạn MA, đường thẳng qua I vuông góc với AB cắt đường trịn (O) C D Đường thẳng CB cắt đường tròn (K) P a) Chứng minh ba điểm P, M , D thẳng hàng b) Chứng minh PI tiếp tuyến đường trịn (K) c) Tìm vị trí M đoạn OA để diện tích tam giác IPK lớn Tóm tắt cách giải Điểm 0,5 điểm Lấy điểm M ∈ AB; N ∈ BC ; P ∈ CD; Q ∈ DA cho AM = BN = CP = DQ ⇒ BM = CN = DP = AQ ⇒ ∆BMN = ∆CNP = ∆DPQ = ∆AQM (c.g.c) = 900 ⇒ NMQ = MQA ⇒ NMB + QMA = 900 ⇒ MN =NP =PQ =QM NMB Do tứ giác MNPQ hình vng Diện tích MNPQ nhỏ diện tích tam giác vuông lớn Đặt AM = x MB = AQ = 20 – x S AMQ = AQ AM lớn AQ.AM lớn 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Mà AQ + AM = 20 (cm) không đổi nên AQ.AM lớn AQ = AM 0,25 điểm hay x = 20 – x ⇔ x = 10 Vậy chọn M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA ta 0,25 điểm diện tích hình vng MNPQ nhỏ D A I O M P C K B 0,5 điểm a) Ta có: = MPB ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Từ PM / / AC (1) Đường kính AB ⊥ CD nên I trung điểm CD Mà I trung điểm AM nên tứ giác ADMC hình bình hành Vậy DM / / AC (2) Từ (1) (2) suy P, M , D thẳng hàng b) = CDP (cùng phụ với Ta có CBA Do tam giác PKB cân K nên ) DCB = KPB CBA = IPD ( tam giác IPD cân I) Ta lại có CDP = KPB mà DPB =1v, suy IPK = 900 nên IP ⊥ KP Suy IPD Hay PI tiếp tuyến ( K ) c) 1 AM nên= IK = AB R 2 Áp dụng định lý Pytago có PI + PK =IK =R (không đổi ) Mặt khác 4S = PI PK ( S diện tích tam giác IKP ) Do max S ⇔ max S = = R PI PK mà BM = PK ⇒ BM = R Vậy M cách B khoảng R diện tích tam giác IPK lớn Vì KM = MB IM = ( ) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài (1,0 điểm) Người ta làm hộp hình vng để đựng bánh hình trịn có đường kính 6cm , cho khơng có hai bánh chồng lên Hãy tính cạnh nhỏ hộp Tóm tắt cách giải Điểm Giả sử đáy hộp bánh hình vng ABCD Gọi O tâm hình vng ABCD cạnh a>6 chứa bánh hình trịn bán kính 3cm cho khơng có hai bánh chúng có điểm chung Suy tâm năm hình trịn nằm cạnh hình vng MNPQ tâm O có cạnh (a – 6) ( M ∈ OA; N ∈ OB ; MN//AB MN cách AB khoảng 3cm) Các đường trung bình hình vng MNPQ chia hình vng thành hình vng nhỏ 0,25 điểm Theo ngun lí Dirichlet tồn hình vng nhỏ chứa hai năm tâm bánh hình trịn nói trên, chẳng hạn O1 O2 Do 5cái bánh hình trịn khơng có hai bánh có điểm chung nên O1O2 ≥ (1) Mặt khác O1O2 nằm cạnh hình vng nhỏ có cạnh a−6 a−6 nên O1O2 ≤ OM = (2) 2 a−6 (trong đường chéo hình vng nhỏ) a−6 Từ (1), (2) suy ≥6⇔ a ≥6 +6 Vậy cạnh nhỏ hộp bánh hình vng ABCD + (cm) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Ghi : + Mỗi tốn có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa Tổ chấm thảo luận thống biểu điểm chi tiết cho tình làm học sinh + Điểm tồn khơng làm trịn số ... +1 x +1− x (x + 1)(1 + x ) x − (x + 1)(1 + x ) (x + 1)( x − 1) = + x Khi x = 2023 − 2022 = ( 2022 − 1) ( 2022 − 1) = 2022 Thì M =+ 2.2) Ta có : x y z = 1− ; = 1− ; = 1− x +1 x +1 y +1 y +1 z +1... QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2022 - 2023 Ngày thi 16/02 /2023 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (4,0 điểm)... liên tiếp nên chia hết cho 6) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 2022 Tương tự b − b 6, c − c có 2022? ?? ⇒ a + b + c = 3 Vậy a + b + c 3 2023 6 Bài (4,0 điểm) x x − , với x ≥ x + +