Thông tin tài liệu
UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN: TỐN (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (1,5 điểm) Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2022 Tính giá trị 2022 a 2022 b 2022 c biểu thức Q 2 ( a b ) (b c ) ( c a ) Câu (1,5 điểm) Tìm tất giá trị nguyên dương tham số m để phương trình x2 (m 3) x m có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt, khác không thoả mãn giá trị biểu 2 x x thức A số nguyên x2 x1 Câu (1,0 điểm) Cho đa thức P ( x ) có tất hệ số số nguyên Biết a , b, c ba số nguyên phân biệt thỏa mãn P ( a ) P (b ) P (c ) 2022 Hỏi phương trình P ( x ) 2023 có nghiệm ngun khơng? Vì sao? Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên tố a , b, c cho: a b c 54 11abc Câu (1,0 điểm) Cho A tập tập số tự nhiên Tập A có phần tử nhỏ , phần tỉ̛ lón 100 mối phần từ x thuộc A( x 1) biểu diễn đưược đưới dạng x a b a , b thuộc A(a b ) Hãy tìm tập A có số phần tử nhỏ Giải thích cách tìm ? Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB AC ) có ba góc nhọṇ nội tiếp đường trịn (O ) có trực tâm H Gọi D , E , F chân đường cao kẻ từ A, B, C tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC , P giao điểm hai đường thẳng EF BC Đường thẳng DF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm thứ hai K a) Chứng minh PB.PC PE.PF KE song song với BC ; b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm thứ hai Q Chứng minh tứ giác BIQF nội tiếp Câu (2,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C phân biệt theo thứ tự nằm đường thẳng Qua điểm B kẻ đường thẳng d vng góc với đường thẳng AC ; D điềm di động đường thẳng d ( D B ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt đường thẳng d điểm E khác D Gọi P, Q hình chiếu vng góc điểm B đường thẳng AD AE Gọi R giao điểm hai đường thẳng BQ CD , S giao điểm hai đường thẳng BP CE Chứng minh: a) Tứ giác PQSR nội tiếp; b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQSR thuộc đường thẳng cố định điểm D di động đường thẳng d HẾT -Họ tên thí sinh:…………….………… Số báo danh:……… UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TỐN (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ( Bản hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) I Hướng dẫn chung - Giám khảo cần nắm vững yêu cầu hướng dẫn chấm để đánh giá làm thí sinh Thí sinh làm cách khác đáp án cho điểm tối đa - Khi vận dụng đáp án thang điểm, giám khảo cần chủ động, linh hoạt với tinh thần trân trọng làm học sinh - Nếu có việc chi tiết hóa điểm ý cần phải đảm bảo không sai lệch với tổng điểm thống toàn hội đồng chấm thi - Điểm toàn tổng điểm câu hỏi đề thi, chấm điểm lẻ đến 0,25 khơng làm trịn II Đáp án thang điểm Câu (1,5 điểm) Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2022 Tính giá trị biểu thức 2022 a 2022 b 2022 c Q 2 ( a b ) (b c ) ( c a ) Lời giải Ta có: 2022 a a2 ab bc ca (a b)(a c) 2022 b (b a)(b c) Tương tự 2022 c (c a)(c b) Thay vào Q ta Q Câu (1,5 điểm) Tìm tất giá trị nguyên dương tham số m để phương trình x2 (m 3) x m có 2 x x hai nghiệm x1 , x2 phân biệt, khác không thoả mãn giá trị biểu thức A x2 x1 số nguyên Lời giải Ta có: (m 3) 4(m 1) m 2m (m 1)2 2 0, m Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt, khác khơng m 1 x1 x2 m x1 x2 m Áp dụng định lý Viet ta có: 2 2 x x 2 x1 x2 x x x x A 2 2 x1 x2 x2 x1 x2 x1 2 m 4m m 3 2 m 1 m 1 m l m Với m nguyên dương, biểu thức A có giá trị nguyên : (m 1) m m t / m m m t / m Vậy m 1, m thoả mãn yêu cầu toán Câu (1,0 điểm) Cho đa thức P ( x ) có tất hệ số số nguyên Biết a , b, c ba số nguyên phân biệt thỏa mãn P ( a ) P (b) P (c ) 2022 Hỏi phương trình P ( x ) 2023 có nghiệm ngun khơng? Vì sao? Lời giải Ta có P ( a ) P (b) P (c ) 2022 P ( a ) 2022 P (b) 2022 P (c ) 2022 Khi đó: a, b, c nghiệm phân biệt đa thức P( x) 2022 Do đó, tồn đa thức Q( x) có hệ số số nguyên cho: P x 2022 x a x b x c Q x Giả sử, phương trình P( x) 2023 có nghiệm nguyên x d Khi đó, P(d ) 2023 P(d ) 2022 Ta lại có, P(d ) 2022 (d a)(d b)(d c)Q(d ) Vậy (d a )(d b)(d c)Q(d ) 1.1 (1) (1) (1) d a, d b, d c số nguyên phân biệt Q(d ) số nguyên Do đó, từ (1) suy d a {1;1}; d b {1;1}; d c {1;1} Theo nguyên lý Đi - rich - lê có ba số d a, d b, d c Điều mâu thuẫn với d a, d b, d c số nguyên phân biệt Vậy điều giả sử sai Tóm lại: Phương trình P( x) 2023 khơng có nghiệm nguyên Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên tố a , b, c cho: a b c 54 11abc Lời giải a - TH 1: b c Vì a, b, c số nguyên tố nên a 1( mod3), b4 1( mod3), c 1( mod 3) a4 b4 c4 0( mod3) Ta có: a4 b4 c 54 0( mod3);11abc 1( mod3) 11abc 2( mod 3) Vậy trường hợp không thoả mãn - TH 2: Trong số a, b, c có số Khơng tính tồng qt, giả sử a Ta có: 34 b4 c 54 33bc b4 c 135 33bc * 33bc 0( mod 3) nên b4 c 0( mod3) 135 0( mod 3) Vì Mặt khác b, c số nguyên tố nên b4 0(mod3) b4 1( mod 3); c4 0( mod 3) c4 1( mod3) b 0( mod 3) Vậy từ b4 c 0( mod3) ta có: c 0( mod 3) Do b, c số nguyên tố nên b c Thay b c vào (*) ta thấy thoả mãn Tóm lại a b c số nguyên tố thoả mãn yêu cầu toán Câu (1,0 điểm) Cho A tập tập số tự nhiên Tập A có phần tử nhỏ , phần tỉ̛ lón 100 mối phần từ x thuộc A( x 1) biểu diễn đưược đưới dạng x a b a , b thuộc A(a b ) Hãy tìm tập A có số phần tử nhỏ Giải thích cách tìm ? Lời giải Giả sử A có số phần từ n , ta să̆p xếp chúng theo thứ tự x1 x2 xn 100 (1) Suy với k {1; 2;3;; n 1} ta có xk 1 xi x j xk xk xk , với i, j k (2) Áp dụng kết (2) ta thu x2 2, x3 4, x4 8, x5 16, x6 32, x7 64 Suy tập A phải có phần tử Giả sử n x8 100 Vì x6 x7 32 64 96 100 x8 x7 x7 50 Vi x5 x6 16 32 48 50 x7 x6 x6 25 25 (mâu thuẫn) + Với n ta có tập A {1; 2;3;5;10; 20; 25;50;100} thoả mãn yêu cầu tốn Vậy tập A có phần tử nhỏ Vì x4 x5 16 24 25 x6 x5 x5 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB AC ) có ba góc nhọṇ nội tiếp đường trịn (O ) có trực tâm H Gọi D, E , F chân đường cao kẻ từ A, B, C tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC , P giao điểm hai đường thẳng EF BC Đường thẳng DF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm thứ hai K a) Chứng minh PB.PC PE.PF KE song song với BC ; b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm thứ hai Q Chứng minh tứ giác BIQF nội tiếp Lời giải BFC 90 tứ giác BFEC nội tiếp a) Ta có BEC (l) PFB ~ PCE ( g g ) PB PC PE PF Các tứ giác BFHD , HEKF nội tiếp nên HBD HFD HEK BEK KE //BC EBC b) Hai tam giác PHE PFQ có HPF , PEH PQF PHEá PFQ g g PH PQ PF PE HPE Từ (1) (2) suy PB PC PH PQ Hai tam giác PBQ PHC có HPC , PB PQ PBQ ~ PHC (c.g c ) PQB PCH tứ giác BHQC nội tiếp BPQ PH PC FQH HQB FEH HCB FCB FIB Khi FQB Vậy tứ giác BIQF nội tiếp Câu (2,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C phân biệt theo thứ tự nằm đường thẳng Qua điểm B kẻ đường thẳng d vng góc với đường thẳng AC ; D điềm di động đường thẳng d ( D B ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt đường thẳng d điểm E khác D Gọi P, Q hình chiếu vng góc điểm B đường thẳng AD AE Gọi R giao điểm hai đường thẳng BQ CD , S giao điểm hai đường thẳng BP CE Chứng minh: a) Tứ giác PQSR nội tiếp; b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQSR thuộc đường thẳng cố định điểm D di động đường thẳng d Lời giải D L R M I P N A C B Q S E ABP a) Do tứ giác ADCE nội tiếp nên ADE ACE , từ SBC ACE SBE nên SC SE , suy S trung điểm CE Suy SB SC Tương tự, ta có SEB Chứng minh tương tự, ta có R trung điểm CD CSR BEC BAP BQP Do RB RC , SB SC nên SRB SRC ( c.c.c ) BSR Do tứ giác PQSR nội tiếp b) Gọi ( I ) đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQSR 90 Gọi L trung điểm AD Ta có RL //AC RS //DE , LRS Suy LS đường kính đường trịn ( I ) Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng DE AC Khi N điểm cố định Lại có ML //AE , NS //AE ML NS AE nên tứ giác MLNS 90 nên IN IB hình bình hành, suy I trung điềm MN Mà MBN Vậy I thuộc đường trung trực đoan thằng BN cố định Hết - ... ab bc ca 2022 Tính giá trị biểu thức 2022 a 2022 b 2022 c Q 2 ( a b ) (b c ) ( c a ) Lời giải Ta có: 2022 a a2 ab bc ca (a b)(a c) 2022 b (b... (b) P (c ) 2022 Hỏi phương trình P ( x ) 2023 có nghiệm ngun khơng? Vì sao? Lời giải Ta có P ( a ) P (b) P (c ) 2022 P ( a ) 2022 P (b) 2022 P (c ) 2022 Khi đó: a,...UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN: TỐN (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao
Ngày đăng: 29/10/2022, 20:00
Xem thêm:
