Thông tin tài liệu
Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Lời giải chi tiết đề thi chuyên Toán -Tin TP Hà Nội Nguyễn Khang - Nguyễn Văn Hoàng - Đoàn Phương Khang Câu I 1) Giải phương trình + 2x − x2 = x − 2) Giải hệ phương trình x3 + = 3y y3 + = 3x Lời giải 1) Điều kiện xác định + 2x − x2 ≥ Do V T ≥ ⇒ V P ≥ ⇒ x ≥ Bình phương hai vế, phương trình tương đương với + 2x − x2 = (x − 2)2 ⇔ + 2x − x2 = x2 − 4x + ⇔ 2x2 − 6x = ⇔ x = 0(l) x = 3(n) 2) Lấy phương trình trừ phương trình thu (x − y)(x2 + x y + y2 ) = 3(y − x) ⇔ (x − y) (x2 + x y + y2 ) + = Dễ thấy biểu thức ngoặc vng vơ nghiệm Do x = y Thay vào phương trình (2), ta có: y3 + = 3y ⇔ (y + 2)(y − 1)2 = Từ x = y = x = y = −2 Kết luận (x, y) = (1, 1); (−2; −2) 14/6/2021 Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Câu II 1) Chứng minh với số nguyên n, số n2 + 3n + 16 không chia hết cho 25 2) Tìm tất số nguyên x y thỏa mãn x2 − x y − 2y2 + x + y − = Lời giải 1) Đặt A = n2 + 3n + 16 = (n2 + 3n − 4) + 20 = (n + 4)(n − 1) + 20 Giả sử A chia hết cho 25 ⇒ A chia hết cho 5, mà 20 chia hết cho ⇒ (n + 4)(n − 1) ⇒ n + n − (do số nguyên tố) Mà (n + 4) − (n − 1) = 5 ⇒ n + n − ⇒ (n + 4)(n − 1) 25 Mà A 25 ⇒ 20 25 (vô lý) Vậy A không chia hết cho 25 2) Ta có : x2 − x y − 2y2 + x + y − = ⇔ (x + y)(x − 2y) + (x + y) = ⇔ (x + y)(x − 2y + 1) = Mà x + y, x − 2y + ∈ Z suy trường hợp • Trường hợp 1: x + y = 5; x − 2y + = ⇔ x + y = 5; x − 2y = 10 ; y = (loại) 3 ⇔x= • Trường hợp 2: x + y = 1; x − 2y + = ⇔ x + y = 1; x − 2y = ⇔ x = 2; y = −1 (thỏa mãn) • Trường hợp 3: x + y = −1; x − 2y + = −5 ⇔ x + y = −1; x − 2y = −6 ⇔x= −8 ; y = (loại) 3 14/6/2021 Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Tốn Lim • Trường hợp 4: x + y = −5; x − 2y + = −1 ⇔ x + y = −5; x − 2y = −2 ⇔ x = −4; y = −1 (thỏa mãn) Vậy (x; y) ∈ (2; −1), (−4; −1) Câu III 1) Cho a, b c đôi khác Chứng minh (a + b) (b + c) (b + c) (c + a) (c + a) (a + b) + + = −1 (a − b) (b − c) (b − c) (c − a) (c − a) (a − b) 2) Cho biểu thức P= a + 2bc b + + 2ca + c + 2ab với a, b, c không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P Lời giải 1) Để cho tiện, ta ký hiệu c yc f (a, b, c) = f (a, b, c) + f (b, c, a) + f (c, a, b) Gọi biểu thức bên vế trái P Ta có (c − a)(a + b)(b + c) P= c yc (a − b)(b − c)(c − a) = A B Ta có A= ac2 + b2 c + bc2 − a2 b − a2 c − ab2 (c − a)(a + b)(b + c) = c yc c yc = a2 b − a2 c − ab2 + ac2 + b2 c − bc2 = ab(a − b) + bc(b − c) + ca(c − a) = ab(a − b) − bc(a − b) + ca(c − a) − bc(c − a) = (a − b)b(a − c) − c(a − c)(a − b) = (a − b)(b − c)(a − c) A (a − b)(b − c)(a − c) Từ P = = = −1 B (a − b)(b − c)(c − a) 14/6/2021 Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim 2) Để ý: (a + b + c)2 + 2bc = a + b + c + 2bc = a + (b + c) ≥ 2 2 2 Do VT = a 2a = c yc a + b + c a2 + (b + c)2 Đẳng thức xảy a = b = , c = hoán vị ≤ Nhận xét Thực câu III.1, ta cộng vào phân số vế trái biến đổi đơn giản Nhưng cách “trâu” tốt Câu IV Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AB < AC Gọi I tâm đương tròn nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai M (M khác A) Gọi D, E F hình chiếu điểm I đường thẳng BC, C A AB 1) Chứng minh tam giác MBI tam giác cân 2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai P (P khác A) Chứng minh P, M D điểm thẳng hàng 3) Gọi H giao điểm đường thẳng IP đường thẳng EF Chứng minh HD song song với AM Lời giải: 14/6/2021 CLB Toán Lim Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội A P E H F I O B C D M 1) Ta có: ∠ M IB = ∠ I AB + ∠ IBA = ∠ ABC + ∠BAC 2 ∠ ABC ∠BAC ∠ MBI = ∠ MBC + ∠ IBC = + 2 Do đó, ta có ∠ M IB = ∠ MBI ⇔ M IB cân M 2) Có: ∠PF A = ∠PE A (cùng chắn cung PA (AEF)) ⇒ ∠PFB = ∠PEC Xét tam giác PBF tam giác PCE có: ∠PBF = ∠PCE ( chắn cung PA đường tròn (O)) ∠PFB = ∠PEC (chứng minh trên) PF PB BF = = (1) ∠FPB = ∠EPC PE PC CE ⇒ ∠FPB + ∠FPC = ∠EPC + ∠FPC ⇒ ∠BPC = ∠FPE Vậy PBF ≈ PCE (g.g) ⇒ Xét tam giác PFE tam giác PBC : ∠FPE PF PE = ∠BPC PB = PC 14/6/2021 CLB Toán Lim Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội Vậy PBC (c.g.c) PFE ∼ Vì I tâm đường tròn nội tiép tam giác ABC D, E, F hình chiếu I lên BC, C A, AB nên BD = BF; AF = AE; CE = CD Do đó, ta có: DB BF PB = = (do (1)) DC CE PC Theo định lí đường phân giác đảo ⇒ PD phân giác góc BPC (2) Do AM phần giác góc BAC nên M trung điểm cung BC nhỏ ⇒ MB= MC ⇒ P M phân giác góc BPC (3) Từ (2) (3) ⇒ P, M, D điểm thẳng hàng 3) Vì E, F hình chiếu I lên C A, AB nên ∠ IE A = ∠ IF A = 90◦ ⇒ A, F, E, I thuộc đường trịn đường kính AI , I thuộc (AEF) Vì IE = IF nên I trung điểm cung EF (AEF) ⇒ P I phân giác góc FPE Xét tam giác PF H tam giác PBD : 1 ∠ HPF = ∠FPE = ∠BPC = ∠DPB 2 ∠PF H = ∠PBD P H PF = (*) PD PB Xét tam giác PF I tam giác PBM : Vậy PF H ∼ PBD (g.g) ⇒ ∠P IF = ∠PEF = ∠PCB = ∠P MB 2 ∠PF I = ∠PFE + ∠ IFE = ∠PBC + ∠FPE = ∠PBC + ∠BPC = ∠PBC + ∠ MBC = ∠PBM Vậy PF I ≈ PBM (g.g) ⇒ Từ (*) (**) ⇒ Vậy DH ∥ AM PI PF = (**) P M PB PI PH = ⇒ DH ∥ I M (theo định lí Thales đảo) P M PD Câu V Trên bàn có n viên kẹo Hai bạn An Bình chơi trò chơi sau: Hai bạn luân phiên lấy kẹo bàn, lần lấy 1, 2, 3, viên kẹo phải lấy số viên kẹo khác với số viên kẹo bạn lại vừa lấy 14/6/2021 Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Tốn Lim trước Bạn khơng thể thực lượt chơi người thua Nếu An người lấy kẹo trước, 1) Với n = , chiến thuật Bình khiến An người thua 2) Với n = 22 , chiến thuật An khiến Bình người thua Lời giải: 1) Gọi số kẹo An bốc lần đầu x ∈ {1; 2; 3; 4; 5} • Trường hợp 1: Nếu ≤ x ≤ Dễ thấy x = − x; ≤ − x ≤ nên Bình cần bốc − x viên kẹo, hết số kẹo bàn, dẫn đến An thua lượt • Trường hợp 2: x = Khi Bình bốc viên kẹo, số kẹo bàn cịn viên Khi , An bốc viên, bốc (hoặc 2) viên kẹo ; Bình lượt bốc ngược lại An: (hoặc 1) viên kẹo để bàn khơng cịn viên Và An thua lượt 2) Lượt đầu tiên, An bốc viên, số kẹo lại bàn 19 viên Đến lượt Bình, gọi số kẹo Bình bốc y ∈ {1; 2; 4; 5}(y khác An bốc viên lần trước rồi) An bốc số viên kẹo − y ∈ {1; 2; 4; 5} (6 − y = y), để đảm bảo số kẹo bàn 13 viên Lượt Bình, gọi số kẹo bình bốc z ∈ {1; 2; 3; 4; 5} • Trường hợp 1: z ∈ {1; 2; 4; 5} An bốc − z ∈ {1; 2; 4; 5} (6 − z = z) , để bàn viên kẹo Ta đưa toán tương tự phần a, dễ cách để An thắng, Bình thua • Trường hợp 2: z = An bốc viên kẹo, để bàn viên Tới lúc này, Bình khơng thể bốc viên nữa, bốc 1,2,3 viên; 14/6/2021 Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Dễ thấy, tổng số kẹo ban (là số lẻ), nên số viên Bình bốc số viên cịn lại sau ln khác Nên An bốc hết số viên cịn lại bàn Bình trở thành nguời thua vào lượt 14/6/2021 ...Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Lời giải chi tiết đề thi chuyên Toán -Tin TP Hà Nội Nguyễn Khang - Nguyễn Văn Hoàng - Đoàn Phương Khang Câu I 1) Giải phương... H giao điểm đường thẳng IP đường thẳng EF Chứng minh HD song song với AM Lời giải: 14/6 /2021 CLB Toán Lim Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội A P E H F I O B C D M 1) Ta... nghiệm Do x = y Thay vào phương trình (2), ta có: y3 + = 3y ⇔ (y + 2)(y − 1)2 = Từ x = y = x = y = −2 Kết luận (x, y) = (1, 1); (−2; −2) 14/6 /2021 Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở
Ngày đăng: 04/12/2022, 15:32
Xem thêm:
