sở gdđt hà nội sở gdđt hà nội trường thpt quốc oai đề thi học sinh giỏi cụm môn toán lớp 11 thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề đề bài câu i 4đ giải phương trình tanx sin2 x eq f

Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách trong số sách trên để làm giải thưởng sao cho mỗi loại có ít nhất một cuốn?. Câu IV (5 đ ).[r]

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT QUỐC OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỤMMƠN TỐN - LỚP 11

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI:

Câu I (4 đ ) : Giải phương trình:

tanx = sin2 (x + ) + cos2 (2x + ) + sinx sin (3x + ) Câu II (4 đ ):

Cho dãy số: (Un) xác định sau: () Un = ; n = 1, 2, 3…

Chứng minh rằng: U1 + U2 + U3 + … + U2010 < Câu III (3 đ ):

Người ta sử dụng ba loại sách gồm: sách Toán học, sách Vật lý sách Hoá học Mỗi loại gồm sách đơi khác loại Có cách chọn sách số sách để làm giải thưởng cho loại có cuốn?

Câu IV (5 đ )

Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có đáy tam giác vuông B Cho AB=a, BC = b; AA1= c (a2 + b2 < c2) Một mặt phẳng (P) qua A vng góc với CA1.

- Xác định thiết diện mặt phẳng (P) với lăng trụ ABC.A1B1C1 - Tính diện tích thiết diện theo a; b; c

Câu V (4 đ )

Với x; y; z > thoả mãn: x4 + y4 + z4 = 3 Tìm giá trị lớn biểu thức:

P = x + y + 2z

Họ tên thí sinh:………

L

u ý : Cán coi thi khơng giải thích thêm.

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

I

Áp dụng đẳng thức:

sin(a +b) sin(a - b) = sin2acos2b - cos2asin2b = (1 - cos2a) (1 - sin2b) - cos2asin2b

1đ

 cos2a + sin2b + sin (a+b) sin(a-b) = 1đ

Chọn a = (2x + ); b = (x + ) ta được:

cos2(2x + ) + sin2(x + ) + sinx.sin(3x + ) = 1 1đ PT cho tương đương: tanx =  x = + k; kZ 1đ

II

Ta có: Uk = = 0,5

 Uk < , < = 0,5

 Uk < - 0,5

Do đó:

U1 + U2 + … + Uk < (1 - ) + ( - ) + … + - 0,5

 U1 + U2 + … + Uk < 1- 0,5

Vì 1- = - < - = 1- = 0,5

Vậy: U1 + U2 + U3 + … + Uk < 0,5

Khi k = 2010 : U1 + U2 + … + U2010 < = 0,5

III

Sử dụng cách tính gián tiếp:Số cách chọn số 19 sách cách

19 C

Số cách chọn không đủ ba loại sách là:

Số cách chọn số 11 sách Lý Hố C117 (khơng có sách Tốn)

0,5

Số cách chọn số 13 sách Hoá Toán C137 (khơng

có sách Lý) 0,5

Số cách chọn số 14 sách Toán Lý C147 (khơng

có sách Hố) 0,5

Số cách chọn số sách Tốn C87 (khơng có sách

Lý Hố) 0,5

Vì cách chọn khơng có sách Lý Hố thuộc hai phép chọn: Khơng có sách Lý khơng có sách Hố Nên số cách phải tìm : C197  C117  C137  C147 C87 44918 cách

1đ IV * Từ giả thiết: AA1 = c; AB = a; BC = b

Và có: c2 > a2 + b2

 AA1 > AC

Trong hình chữ nhật ACC1A1 hạ AH  A1C

0,5

A

1 C1

A N C

K H

O B1

B

a b

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM  H OC (O trung điểm A1C)

Suy AH kéo dài cắt CC1 M

 AM  (P)

1,0 * Ta có: AA1 > AC > AB Nên hình chữ nhật ABB1A1 hạ

AK  A1B => AK cắt BB1 N

Chứng minh được: BC  (AA1B) => CB  AK => AK  (A1BC)

=> AK  (P)

1,0

* Vậy thiết diện là: AMN 0,5

* Hình đối xứng lăng trụ ABC.A1B1C1 qua mặt phẳng ACC1A1 hình lăng trụ đứng: ACB'.A1C1B'1 Do mp (P) cắt lăng trụ tứ giác ABCB'.A1B1C1B'1 theo thiết diện tứ giác ANMN' nhận AM làm trục đối xứng => NN'  AM

0,5

Do NB = N'B' => NN'// BB'; NN' = BB' => đường cao  AMN

bằng đường cao  ABC hạ từ B đến AC

Dễ dàng tính đường cao bằng: 0,5

* Trong tam giác MCA có : AM = 2 os MAC os AA

AC a b

c c C

 

 

2 2 2 2

1

AA

A

a b a b a b c c

C

   

 

0,5

* SAMN =

2 2 2

2 2

2

1

2

ab a b a b c ab

a b c

c c

a b

  

  

 0,5

V Ta có: với a > Áp dụng BĐT Bunhiakopsky

P2 =  

2

2 2

1

ax

a

ax a y z ay z

a a                  0,5

=>    

2

4 2 4

1 16

P a x y z

a             2 43 2 16

P a a           0,75

Dấu "=" xảy  2

2 2

ax=2z

x

4

x y x y

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

=> a3x2z2 = 16x2z2

 a = 316 0,5

Vậy dấu "=" xảy 4

4 4

16 x y

z x

x y z

  

  

  



0,5 => x = y = 4 4

3

3

;

2 16 z 2 16 0,75

Do Pmax =  

2

3

3 16

16

 

 

 

 