+ An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bưu ảnh hoa của tôi thì số bưu ảnh của tôi gấp bốn lần số bưu ảnh của bạn.. Tính quãng đường mỗi người đã đi.. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ l[r]
(1)Đề số 1:
đề thi học sinh giỏi huyện Mơn Tốn Lớp
(Thời gian làm 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương:
a) 1.16
n n
; b) 27 < 3n < 243
Bài 2. Thực phép tính:
( 1 )1 49 4.9 9.14 14.19 44.49 89
Bài 3. a) Tìm x biết: 2x3 x2
b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi
Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng
(2)Đề số 2:
Đề thi học sinh giỏi huyện Mơn Tốn Lớp
(Thời gian làm 120 phút)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực phép tính:
12 10
6 9 3
2
2 25 49 A
125.7 14
b) Chứng minh : Với số nguyên dương n :
2
3n 2n 3n 2n
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a 3, 2
3 5
x
b x 7x1 x 7x11 0
Bài 3: (4 điểm)
a) Số A chia thành số tỉ lệ theo 1: :
5 Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A
b) Cho a c
c b Chứng minh rằng:
2
2
a c a b c b
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng:
a) AC = EB AC // BE
b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ EH BC HBC Biết HBE = 50o ;
MEB =25o
Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân A có A 20
, vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC)
Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC
(3)Đáp án đề 1tốn 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm câu điểm)
a) 1.16
n n
; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4
Bài 2. Thực phép tính: (4 điểm)
1 1 1 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
= 1 1( 1 1 (1 49))
5 9 14 14 19 44 49 12
= 1( (12.50 25)) 5.9.7.89
5 49 89 5.4.7.7.89 28
Bài (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: 2x3 x2 Ta có: x + => x - + Nếu x -
2
2x3 x2 => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - x < -
2
Thì 2x3 x2 => - 2x - = x + => x = -
3
(Thoả mãn) + Nếu - > x Khơng có giá trị x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x =
(4)Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng (4 điểm mỗi)
Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đường thẳng, ta có:
x – y = 13 (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
Do đó: :11 331
3 11
y x y 12
x 12 y x
=> x =
11 x ) vòng ( 33 12
(giờ)
Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện đường thẳng 114
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)
Đường thẳng AB cắt EI F ABM = DCM vì:
AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM
=>FB // ID => IDAC
Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) E FA = 1v (4)
Mặt khác EAF = BAH (đđ), D
B A
H C
I F
E
(5)BAH = ACB ( phụ ABC)
=> EAF = ACB (5) Từ (3), (4) (5) => AFE = CAB
=>AE = BC
Đề số 2:
đề thi học sinh giỏi huyện Mơn Tốn Lớp
(Thời gian làm 120 phút)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực phép tính:
12 10
6 9 3
2
2 25 49 A
125.7 14
b) Chứng minh : Với số nguyên dương n :
2
3n 2n 3n 2n
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a 3, 2
3 5
x
b x 7x1 x 7x11
Bài 3: (4 điểm)
c) Số A chia thành số tỉ lệ theo 1: :
5 Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A
d) Cho a c
c b Chứng minh rằng:
2
2
a c a b c b
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng:
a) AC = EB AC // BE
b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ EH BC HBC Biết HBE = 50o ;
MEB =25o
(6)Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân A có A 20
, vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC)
Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD phân giác góc BAC
d) AM = BC
(7)ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN 7
Bài 1:(4 i m):đ ể
a) (2 điểm)
10
12 10 12 12 10
6 9 3 12 12 9 3
2
12 10
12 3
10 12
12
2 25 49 3 7 3 7 125.7 14
2
2
5
2
1 10
6
A
b) (2 điểm)
3n2 2n2 3n 2n
= 3n23n 2n2 2n =3 (3n 1) (2n 1)
=3 10 10 2n n n n1 10
= 10( 3n -2n) Vậy 3n2 2n2 3n 2n
10 với n số nguyên dương Bài 2:(4 i m)đ ể
a) (2 điểm)
1
1 2
3
2 3
1
2
3
1 4 16
3,
3 5 5
1 14
3 5
1
x x x
x
x x
x
x
(8)b) (2 điểm)
1 11
1 10
7
7
x x
x
x x
x x
1 10
1
10
7
1 ( 7)
7
( 7)
7
10
x x x
x
x x
x x
x x
Bài 3: (4 i m)đ ể
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = 1: :
5 (1)
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) Từ (1)
5
a b c
= k ; ;
5
k a k b k c Do (2) 2( ) 24309
25 16 36
k
k = 180 k =180
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237
+ Với k =180, ta được: a = 72; b =135; c =30 Khi ta có só A =72+( 135) + (30) = 237 b) (1,5 điểm)
Từ a c
c b suy
2 .
c a b
22 22 22 a c a a b b c b a b
= a a bb a b(( )) ab
(9)Bài 4: (4 điểm)
a/ (1điểm) Xét AMC EMB có : AM = EM (gt )
AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt )
Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5
điểm
AC = EB
Vì AMC = EMB MAC = MEB
(2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )
Suy AC // BE 0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét AMI EMK có : AM = EM (gt )
MAI = MEK ( AMCEMB ) AI = EK (gt )
Nên AMI EMK ( c.g.c )
Suy AMI = EMK
Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o
Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có
HBE = 50o
HBE
= 90o - HBE = 90o - 50o =40o
HEM
= HEB - MEB = 40o - 25o = 15o
BME góc ngồi đỉnh M HEM
Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác )
Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy DAB DAC
K
H
E M
B
A
C I
200
M A
B C
(10)Do 0
20 : 10
DAB
b) ABC cân A, mà A200(gt) nên ABC (1800 20 ) : 800 ABC nên DBC600
Tia BD nằm hai tia BA BC suy 0
80 60 20
ABD
Tia BM phân giác góc ABD nên ABM 100
Xét tam giác ABM BAD có:
AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ;0 ABM DAB 100
Vậy: ABM = BAD (g.c.g)
(11)ĐỀ SỐ 3:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP (Thời gian làm 120 phút)
Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a 4
Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn
10
nhỏ
11
Câu 3. Cho đa thức
P x = x2 + 2mx + m2 và
Q x = x2 + (2m+1)x + m2
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết:
x y
a / ; xy=84
3
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x1 +5
B =
3 15
2
x x
Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC
a Chứng minh: DC = BE DC BE
b Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME ABC = EMA
(12)ĐÁP ÁN ĐỀ TỐN
Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a 4 0 a 4
=>a = 0; 1; 2; ; * a = => a =
* a = => a = a = - * a = => a = a = - * a = => a = a = - * a = => a = a = -
Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn
10
nhỏ
11
Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có:
9
10 x 11
=> 63 63 63
709x 77
=> -77 < 9x < -70 Vì 9x 9 => 9x = -72 => x =
Vậy phân số cần tìm
Câu 3. Cho đa thức
P x = x2 + 2mx + m2 và
Q x = x2 + (2m+1)x + m2
Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1 Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m
(13)Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết:
x y
a / ; xy=84
3 =>
2 84
4 49 3.7 21 x y xy
=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y dấu nên:
x = 6; y = 14 x = -6; y = -14
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=> 2 12
y y
x x
=> -x = 5x -12
=> x = Thay x = vào ta được:
1
12
y y y
=>1+ 3y = -12y => = -15y => y =
15
Vậy x = 2, y = 15
thoả mãn đề
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau :
A = x1 +5
Ta có : x1 Dấu = xảy x= -1 A
Dấu = xảy x= -1 Vậy: Min A = x= -1.
B =
3 15
2
x x
=
12
2
x x
= + 12
2
x
(14) x2 + ( vế dương )
3 12
2
x
12
3 12
2
x 1+ 12
2
x 1+
B
Dấu = xảy x = 0
Vậy : Max B = x =
Câu 6:
a/
Xét ADC BAF ta có: DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c )
=> DC = BE
Xét AIE TIC I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC
BE
(15)=> D1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt)
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( phía ) mà BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) (3) => ABC = EMA ( đpcm) c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP MH
Xét AHC EPA có:
CAH = AEP ( phụ với gPAE ) AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( ABC = EMA câu b) => AHC = EPA
=> EPA = AHC => AHC = 900
=> MA BC (đpcm)
(16)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Câu ( điểm)
Thực phép tính :
a-
3 ( : 3 b- 2003 12
Câu ( điểm)
a- Tìm số nguyên a để
1 a a a
số nguyên b- Tìm số nguyên x,y cho x-2xy+y=0
Câu ( điểm)
a- Chứng minh a+c=2b 2bd = c (b+d) ba dc với
b,d khác
b- Cần số hạng tổng S = 1+2+3+… để số có ba chữ số giống
Câu ( điểm)
Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD=2CB Tính góc ADE
Câu ( 1điểm)
Tìm số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
(17)CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 1.a Thực theo bước kết -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực theo bước kết 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a Ta có :
1 a a a
= ( 11) 31
a a a a a
a số nguyên nên
1 a a
a số nguyên
1
a số
nguyên hay a+1 ước ta có bảng sau :
a+1 -3 -1
a -4 -2
Vậy với a 4,2,0,2
1 a a
a số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trường hợp sau :
0 0 11 2 12 1 y x x y Hoặc 1 1 11 2 1 21 y x x y
Vậy có cặp số x, y thoả mãn điều kiện đầu
0,25
0,25 0,25 0,25
(18)Hay ad=bc Suy ba dc ( ĐPCM)
0,5 3.b Giả sử số có chữ số aaa=111.a ( a chữ số khác 0)
Gọi số số hạng tổng n , ta có :
a a
n n
37 111
) (
Hay n(n+1) =2.3.37.a
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn )
Do n=37 n+1 = 37
Nếu n=37 n+1 = 38 lúc 703
) (
n n
khơng thoả mãn Nếu n+1=37 n = 36 lúc 666
2 ) (
n n
thoả mãn Vậy số số hạng tổng 36
0,25
0,25
0,5
B C D
H
A
Kẻ DH Vng góc với AC ACD =600 CDH = 300 Nên CH = CD2 CH = BC
Tam giác BCH cân C CBH = 300 ABH = 150 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân H
Do tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450+300=750
0,5
0,5 1,0 1,0 Từ : x2-2y2=1suy x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho x ngun tố nên x=3 lúc y= nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho x2-1 chia hết cho 2y2 chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho x2=19 khơng thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) tìm thoả mãn điều kiện đầu
0,25 0,25
(19)bài (2;3) 0,25
ĐỀ SỐ 5:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài (3 đ ):
1, Tính: P =
1 1 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 3, Cho: A =
3 2
2
3 0, 25
x x xy
x y
Tính giá trị A biết 1;
2
x y số nguyên âm lớn
Bài (1 đ ):
Tìm x biết:
3x + 3x + + 3x + = 117
Bài (1 đ ):
Một thỏ chạy đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ đoạn đường lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy
Hỏi vận tốc thỏ đoạn đường lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ hai đoạn đường ?
Bài (2 đ ):
Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 1200
Bài (3 đ ):
Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm
1, ∆ABC ∆ ? Chứng minh điều
(20)Chứng minh: AE = AB
ĐỀ SỐ 6:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài (4 đ ):
Cho đa thức:
A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 4
16 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị M(x) x = 0, 25 3, Có giá trị x để M(x) = không ?
Bài (4 đ ):
1, Tìm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết:
2x x 2 x
Bài (4 đ ):
Tìm giá trị nguyên m n để biểu thức 1, P =
6 m có giá trị lớn
2, Q = n n
có giá trị nguyên nhỏ
Bài (5 đ ):
Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M trung điểm BC kẻ đường vng góc với đường phân giác góc A, cắt đường thẳng AB, AC D, E
1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD BD theo b, c
(21)Cho ∆ABC cân A, BAC 1000
D điểm thuộc miền ∆ABC cho 10 ,0 200
DBC DCB
Tính góc ADB ?
ĐỀ SỐ 7:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài (3 đ ): Tính: 1,
3
1 1
6 1
3 3
2, (63 + 62 + 33) : 13
3, 1 1 1 1
10 90 72 56 42 30 20 12 2
Bài (3 đ ):
1, Cho a b c
b c a a + b + c ≠ 0; a = 2005
Tính b, c
2, Chứng minh từ hệ thức a b c d
a b c d
ta có hệ thức:
a c b d
Bài (4 đ ):
Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ?
Bài (3 đ ):
Vẽ đồ thị hàm số: y = 2 ;xx ; xx00
Bài (3 đ ):
Chứng tỏ rằng:
(22)Bài (4 đ ):
Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I
(23)ĐỀ SỐ 8:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài (5 đ ):
1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729
2, Tính :
A =
2
2
+
7
2
3 ) ( ,
Bài (3 đ ):
Cho a,b,c R a,b,c thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: ca =
2
) 2007 (
) 2007 (
c b
b a
Bài (4 đ ):
Ba đội cơng nhân làm cơng việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất công nhân Hỏi đội có cơng nhân ?
Câu (6 đ ):
Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE 1, Chứng minh: BE = DC
2, Gọi H giao điểm BE CD Tính số đo góc BHC
Bài (2 đ ):
Cho m, n N p số nguyên tố thoả mãn: 1
m p
(24)ĐỀ SỐ 9:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a, Cho 1,25) 31,64
5 25 , ).( ,
(
A
B (11,819:118,19,25).0,02
Trong hai số A B số lớn lớn lần ? b) Số 101998
A có chia hết cho khơng ? Có chia hết cho không ?
Câu 2: (2 điểm)
Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3:
Tính quãng đường người tới lúc gặp ?
Câu 3:
a) Cho f(x)ax2bxc với a, b, c số hữu tỉ
Chứng tỏ rằng: f(2).f(3) 0 Biết 13ab2c0 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A x
6
có giá trị lớn
Câu 4: (3 điểm)
Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B E nằm hai nửa
mặt phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F C nằm ở hai nửa mặt phẳng khác bờ AB
a) Chứng minh rằng: ABF = ACE
b) FB EC
Câu 5: (1 điểm)
Tìm chữ số tận
9 9 9
5 2
19
(25)ĐỀ SỐ 10:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính 115
2005 1890 : 12 11 5 , 625 , 12 11 3 , 375 , 25 , 5 , 75 , , A
b) Cho 2004 32005
1 3 3 B
Chứng minh
B .
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh ba dc
d c d c b a b a 5 5 (giả thiết tỉ số có nghĩa)
b) Tìm x biết: 2004x 12003x 2 2002x 2001x Câu 3: (2điểm)
a) Cho đa thức f(x)ax2bxc với a, b, c số thực Biết f(0); f(1);
f(2) có giá trị nguyên
Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên
b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đường cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN
c) Đường thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số tự nhiên n để phân số 27 38
n n
(26)ĐỀ SỐ 11:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) a) Tính:
A =
2,75 2,2
13 11 11 : 13 , 75 ,
B =
225 49 : 25 , 22 21 , 10
b) Tìm giá trị x để: x3 x1 3x
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c > Chứng tỏ rằng:
a c c c b b b a a M
không số nguyên
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: abbcca0
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số dương khác x, y biết tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210 12
b) Vận tốc máy bay, ô tô tàu hoả tỉ lệ với số 10; Thời gian máy bay bay từ A đến B thời gian tơ chạy từ A đến B 16
Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ
Chứng minh góc PCQ 450.
Câu 5: (1 điểm)
(27)ĐỀ SỐ 12:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Chứng minh với số n nguyên dương có: A= 5n(5n1) 6n(3n2) 91
b) Tìm tất số nguyên tố P cho 14
P số nguyên tố
Bài 2: ( điểm)
a) Tìm số nguyên n cho
n
n
b) Biết bza cy cxbaz ayc bx
Chứng minh rằng: ax by cz
Bài 3: (2 điểm)
An Bách có số bưu ảnh, số bưu ảnh người chưa đến 100 Số bưu ảnh hoa An số bưu ảnh thú rừng Bách
+ Bách nói với An Nếu tơi cho bạn bưu ảnh thú rừng tơi số bưu ảnh bạn gấp lần số bưu ảnh tơi
+ An trả lời: cịn tơi cho bạn bưu ảnh hoa tơi số bưu ảnh gấp bốn lần số bưu ảnh bạn
Tính số bưu ảnh người
Bài 4: (3 điểm)
Cho ABC có góc A 1200 Các đường phân giác AD, BE, CF
a) Chứng minh DE phân giác ngồi ADB
b) Tính số đo góc EDF góc BED
Bài 5: (1 điểm)
Tìm cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
2
2
5 1997
5 p p q
(28)ĐỀ SỐ 13:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
Tính: 14 12 : 10 10 46 25 230 10 27 13
Bài 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng: 3638 4133
A chia hết cho 77
b) Tìm số nguyên x để B x 1 x đạt giá trị nhỏ
c) Chứng minh rằng: P(x)ax3bx2cxd có giá trị nguyên với x nguyên
khi 6a, 2b, a + b + c d số nguyên
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho tỉ lệ thức
d c b a
Chứng minh rằng:
22 22
d c b a cd ab
2 2
2 2 d c b a d c b a
b) Tìm tất số nguyên dương n cho: 2n chia hết cho
Bài 4: (2 điểm)
Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450
Bài 5: (1 điểm)
(29)ĐỀ SỐ 14:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm số nguyên dương a lớn cho 2004! chia hết cho 7a
b) Tính
2004 2002
2003
2004 2005
1
P
Bài 2: (2 điểm)
Cho y xz t z yt x t xz y xtyz
chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên P xz ty yt xz xz yt yt xz
Bài 3: (2 điểm)
Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11 km để đến C Vận tốc người từ A 20 km/h Vận tốc người từ B 24 km/h
Tính quãng đường người Biết họ đến C lúc A, B, C thẳng hàng
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH BC (H BC) Vẽ AE AB AE = AB (E
và C khác phía AC) Kẻ EM FN vng góc với đường thẳng AH (M, N
AH) EF cắt AH O
Chứng minh O trung điểm EF
Bài 5: (1 điểm)
(30)ĐỀ SỐ 15:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
Tính :
68 52
1
1 51
1 39
1
A ; 2 3 10
2 512 512
512
512
512
B
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y =
b) Tìm x, y, z biết: x y z
y x
z z
x y y
z x
1 (x, y, z 0)
Câu 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có: S 3n 2n 3n 2n
chia hết cho 10
b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7(x 2004)2 23 y2
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, AK trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ AC, kẻ tia Ax vng góc với AC; tia Ax lấy điểm M cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ AB, kẻ tia Ay vng góc với AB lấy điểm N thuộc Ay cho AN = AB Lấy điểm P tia AK cho AK = KP Chứng minh:
a) AC // BP b) AK MN
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c số đo cạnh tam giác vuông với c số đo cạnh huyền Chứng minh rằng:
n n n b c
a2 2
(31)ĐỀ SỐ 16:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) Tính:
24 : 34 34
1 17 14
4 19 16
A
378 270
1 180
1 108
1 54
1
B
Câu 2: ( 2, điểm)
1) Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị biểu thức 2m + b) 3m1 3
2) Chứng minh rằng: 3n2 2n43n 2n chia hết cho 30 với n nguyên dương Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết: 2x 3y ;
5
z y
2 16 y
x
b) Cho f(x)ax2bxc Biết f(0), f(1), f(2) số nguyên
Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên
Câu 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Ở miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH)
a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM
Câu 5: (1 điểm)
(32)ĐỀ SỐ 17:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:
100 99 ) , 21 , 63 ( ) 100 99 ( A 25 10 ) 15 ( 35 14 B
Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức 2
x x
A với
2
x
b) Tìm x nguyên để x 1 chia hết cho x Câu 3: ( điểm)
a) Tìm x, y, z biết 38x 364y 2163z 2 2
y z
x
b) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 15 phút
Tính thời gian tơ từ A đến B
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đường thẳng AB dựng đoạn AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đường thẳng AC dựng đoạn AF vng góc với AC AF = AC Chứng minh rằng:
a) FB = EC b) EF = AM c) AM EF
Câu 5: (1 điểm)
Chứng tỏ rằng: 1991 2001
102 101 200 99
(33)ĐỀ SỐ 18:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
a) Thực phép tính:
7 , 875 , 1
5 25 ,
11 ,
11 ,
M
b) Tính tổng: P1 101 151 13 281 61 211
Câu 2: (2 điểm)
1) Tìm x biết: 2x3 24 x 5
2) Trên quãng đường Kép - Bắc giang dài 16,9 km, người thứ từ Kép đến Bắc Giang, người thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc người thứ so với người thứ hai 3: Đến lúc gặp vận tốc người thứ so với người thứ hai 2:
Hỏi gặp họ cách Bắc Giang km ?
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho đa thức f(x)ax2bxc (a, b, c nguyên)
CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho
b) CMR: ba dc
bd b
bd b
ac a
ac a
5
5 7
5
2 2
2
(Giả sử tỉ số có nghĩa)
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng:
a) AE = AF b) BE = CF c) AE AB2AC
Câu 5: (1 điểm)
Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngày 30/4 cần tiết mục văn nghệ có bạn nam, bạn nữ tham gia
(34)ĐỀ SỐ 19:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức:
50 31 93 14 12 6 19 15 31 11 A
b) Chứng tỏ rằng:
2004 2004 3
1 2 2 2 2
B
Câu 2: (2 điểm)
Cho phân số: 43 52 x x
C (x Z)
a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn
b) Tìm x Z để C số tự nhiên
Câu 3: (2 điểm) Cho
d c b a
Chứng minh rằng: 2
2 ) ( ) ( d c b a cd ab
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB E D
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE
b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh
MAB; MAC tam giác vuông cân
c) Từ A D vẽ đường thẳng vng góc với BE, đường thẳng cắt BC K H Chứng minh KH = KC
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số nguyên tố p cho:
p ; 24
(35)ĐỀ SỐ 20:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
a) Thực phép tính:
3 11 11 , 75 ,
13 , 75 ,
A ;
) 281 ( 251 ) 281 251
(
B
b) Tìm số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000
Câu 2: ( điểm)
a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 a - 11b + 3c 17 (a, b, c Z)
b) Biết bza cy cxbaz ayc bx
Chứng minh rằng: ax by cz
Câu 3: ( điểm)
Bây 10 phút Hỏi sau hai kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng
Câu 4: (2 điểm)
Cho ABC vuông cân A Gọi D điểm cạnh AC, BI phân giác ABD, đường cao IM BID cắt đường vng góc với AC kẻ từ C N
Tính góc IBN ?
Câu 5: (2 điểm)
(36)ĐỀ SỐ 21:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức
75 , , 25 , 5 , 12 11 5 , 625 , 12 11 3 , 375 , : 2005 P
b) Chứng minh rằng:
10 19 2 2 2
2
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh với số nguyên dương n thì: 3n33n12n32n2 chia hết cho 6.
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
x x
D 2004 2003
Câu 3: (2 điểm)
Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tơ tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút
Tính thời gian ô tô từ A đến B
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng khơng chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vng góc với AB, tia lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vng góc với AC Trên tia lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh rằng:
a) DE = AM b) AM DE
Câu 5: (1 điểm)
(37)ĐỀ SỐ 22:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức:
25 13 : ) 75 , ( 53 , 88 , : 25 11 125 505 , 4 : 624 , 81 2 2 A
b) Chứng minh tổng:
2 , 2 2 2 2004 2002 4
2
n n
S
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm số nguyên x thoả mãn
1000 990
101 10
4
2005x x x x x
b) Cho p > Chứng minh số p, p + d , p + 2d số nguyên tố d chia hết cho
Bài 3: (2 điểm)
a) Để làm xong công việc, số công nhân cần làm số ngày Một bạn học sinh lập luận số công nhân tăng thêm 1/3 thời gian giảm 1/3 Điều hay sai ? ?
b) Cho dãy tỉ số nhau:
d d c b a c d c b a b d c b a a d c b
a 2
2
Tính M ac db db ca ca db db ac
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD CE cắt I a) Tính góc DIE góc A = 600
b) Gọi giao điểm BD CE với đường cao AH ABC M
N Chứng minh BM > MN + NC
Bài 5: (1 điểm)
Cho z, y, z số dương
Chứng minh rằng: 2 2 2 43
z x y
(38)ĐỀ SỐ 23:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x biết: 2
x x
x
b) Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = (3 4x x2)2004.(3 4x x2)2005
Bài 2: (2 điểm)
Ba đường cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x số tự nhiên Tìm x ?
Bài 3: (2 điểm)
Cho y xz t z yt x t xz y xtyz
CMR biểu thức sau có giá trị nguyên:
z y
x t y x
t z x t
z y t z
y x P
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vng A có góc B = Trên cạnh AC lấy điểm E cho góc EBA=
3
Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC Chứng minh tam giác CED tam giác cân
Bài 5: (1 điểm)
Tìm số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a3 3a2 5 5b
(39)ĐỀ SỐ 24:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính 3 32 33 34 32003 32004
A
b) Tìm x biết x 1 x3 4
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
Nếu a xb c a yb c a zb c
2 4
Thì x ay z x by z x cyz
2 4
Bài 3: (2 điểm)
Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C đường thẳng) Vận tốc người từ A 20 km/h Vận tốc người từ B 24 km/h
Tính quãng đường người Biết họ đến C lúc
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đường cao AH Vẽ các điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K giao điểm DE với AB AC
Tính số đo góc AIC AKB ?
Bài 5: (1 điểm)
Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức:
1 2006 2006
2006
2006
2006 2004 2003 2002 2005
x x x x x
(40)ĐỀ SỐ 25:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Câu ( 2đ) Cho: ba bc dc
Chứng minh: ba cb dc da
Câu (1đ) Tìm A biết rằng: A = bac acb cba
Câu (2đ) Tìm xZ để A Z tìm giá trị
a) A =
x x
b) A =
x x
Câu (2đ) Tìm x:
a) x = b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650
Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E BC,
BH,CK AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân
(41)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2đ)
Rút gọn A= 2 20 x x x x
Câu 2 (2đ)
Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng
Câu 3: (1,5đ)
Chứng minh 102006 53
là số tự nhiên.
Câu 4 : (3đ)
Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chứng minh
rằng
a, K trung điểm AC b, BH =
2 AC
c, KMC
Câu 5 (1,5 đ)
Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu nửa sai nửa:
a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải
Em xác định thứ tự giải cho bạn
(42)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm 120 phút)
Bài 1: (3 điểm): Tính
1 2
18 (0,06 : 0,38) : 19
6
Bài 2: (4 điểm): Cho a c
c b chứng minh rằng:
a) a22 c22 a
b c b
b)
2
2
b a b a a c a
Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết:
a)
x b) 15
12x 5x
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có
A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh:
e) Tia AD phân giác góc BAC f) AM = BC
Bài 6: (2 điểm): Tìm x y, biết: 25 y2 8(x 2009)2
-ĐỀ SỐ 28:
(43)(Thời gian làm 120 phút) Bài 1. Tính 1
1.6 6.11 11.16 96.101
Bài Tìm giá trị nguyên dương x y, cho: 1 x y 5
Bài 3 Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, 140
Bài 4 Tìm x, y thoả mãn: x 1 x y 3 x = 3
Bài 5 Cho tam giác ABC có góc ABC = 500 ; góc BAC = 700 Phân giác trong góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 400 Chứng minh: BN = MC
ĐỀ SỐ 29:
(44)(Thời gian làm 120 phút)
Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a 4 Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn
10
nhỏ
11
Câu 3: Trong số x, y, z có số dương , số âm số Hỏi số thuộc loại biết:
3
x y y z Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết:
x y
a, ; xy=84
3
1+3y 1+5y 1+7y
b,
12 5x 4x
Câu 5: Tính tổng:
n
*
3
S 14 (n Z )
2
Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngói tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC
d Chứng minh: DC = BE DC BE
e Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME ABCEMA
f Chứng minh: MA BC
ĐỀ SỐ 30:
(45)(Thời gian làm 120 phút)
Câu 1: So sánh số:
a 50
A 1 2 2
B =251+ b 2300 3200
Câu 2: Tìm ba số a, b, c biết a tỉ lệ thuận với 11; b c tỉ lệ nghịch với và 5a - 3b + 2c = 164
Câu 3: Tính nhanh:
1 1 761
3
417 762 139 762 417.762 139
Câu Cho tam giác ACE cho B E hai nửa mặt phẳng đối có bờ AC a Chứng minh tam giác AED cân