Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 12 từ năm 1999 - 2011

Trang 1

SO GD&DT NGHỆ AN KỲ THỊ HỌC SINH GIÚI TỈNH LỨP 12 NĂM HỌC 1999 - 2000 Mơn : Tốn - Bảng A Thời gian : 180 phút ( khơng kể thời gian giao đề ) Đề chính thức

Bài 1 Cho hàm số y =2 1 sing + [sina] - x+l

a).Tìm « dé ham s6 cĩ cực đại, cực tiểu và y„; + y„ = -6

b).Tìm ø để y„ Yet < 0

Bài 2 a).Chứng minh rằng với mợi xe[—i;1] ta c6: {2< ÿI—x+‡+x <2

b).Tìm các giá trị của k để phương trình sau cĩ nghiệm: sin* x + cos" x — #? cos? 4x

as

Bài 3 a).Cho dãy số {a,} xác định như sau: t2

=a, (4a? —10a, +5) ,vn >0

“ải

Tìm số hạng tổng quát a;?

b).Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Xét các số x, y, z thoả mãn x tytr=t

sinx siny sinz b c

Bai 4 a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(-4; 0), B(4; 0).Điểm M di động trong mặt phẳng sao cho tam giác MAB cĩ tan MAB.tan MBA == Chứng minh M luơng thuộc một elip cố định

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ”(x,›,z)=

b).Cho tam giác ABC M là điểm di động trên cạnh BC Hạ MN, MQ tương ứng vuơng gĩc và song song với AB ( ve 4n,o e Ac Gọi P là hình chiếu của Q lên AB và I là tâm hình chữ nhật MNPQ.Tìm quỹ tích [J//-EE4/I0)/00//2)/20/007202000 00 MMMMMMMMMMMMMMM ncnnnnnnccnnanenannnenanenne nanan: — HDG va DS: Bài 1 a) asa +2 b) sina <0

Bai2 a).Sử dụng đạo hàm b) Đưa về tam thức bậc hai ÐS: we

Bai 3 a).Tinh a,, a).Du doan a, = =5e+C yn v3] Chứng minh bằng pp quy nạp

Ta x=-—-œ

2 sin x = cosa

b) Dat: y=2—B thi xtytz=TeatBty=n Va jsiny = cosB

ype? cos A= cosa

Trang 2

SO GD&DT NGHỆ AN KY THI HOC SINH GIOI TINH LỚP 12 NAM HOC 1999 - 2000 Mơn : Tốn - Bảng A Thời gian : 180 phút ( khơng kể thời gian giao đề ) Đề chính thức Bài I 1 Giải hệ phương trình 2xy _ x?+y + 1 +x+ y jx+y= x? -y 2 Chitng minh rằng với mọi số nguyên z phương trình : x* —2001x? + (20004 a)x° -1999x+.a=0 khơng thể cĩ 2 nghiém nguyén Bai IT 4 Cho: xy+ yz+zx =—1 Chứng minh rằng : 1+x17 2 2 Cho x và y là hai số dương thay đổi, cĩ tổng x+ y =1, m là một số dương cho trước Tìm giá trị bé nhất của tổng : 1 +— m x?+ựy? xy x? +2y° +22? > S= Bài 1H Cho dãy số { U,} xác định như sau : _ 2+U, atl —— 1-2U, ?

Chứng minh rằng dãy số { U,} khơng tuần hồn

Bài IV, Cho tứ diện SABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F Biết rằng các mặt

phẳng (ABF), (BCD), (ACE) cắt nhau tại M và đường thẳng SM cat mat phẳng (DEF) tại N, cắt mặt phẳng

(ABC) tại P Chứng minh :

NP _ MP NS MS

U, =2, 1 Vn2l

Bai V

Cho hình hộp ABCDA,B,C,D, cĩ tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng AC, Các gĩc

phẳng ở đỉnh của gĩc tam diện đỉnh A tạo bởi ba mặt của hình hộp đều bằng nhau a Tính số đo các gĩc phẳng ở đỉnh của gĩc tam diện đỉnh A nĩi trên

Trang 3

SO GD&DT NGHỆ AN KY THI HOC SINH GIOI TINH LỚP 12 NAM HOC 2003 - 2004 Mơn : Tốn - Bảng A Thời gian : 180 phút ( khơng kể thời gian giao đề ) Đề chính thức Bài 1 1 Tìm hàm số : f(x)= axÌ+ bà” +ex + đ(a # 0),biết : xf(x~1)=(x=3) tx) với mọixecR £(3)=6 2 Xác định a, b để hàm số : _by (x)= (x+a)e khi x <0 ax?+bx+l khi x>0 cĩ đạo hàm tại x=0 Bài 2

1 Cho day sé {u,} co: „ =—n°+8n°—0,5n?+4n, Với ne NỈ

Tìm số hạng lớn nhất của dãy số đã cho

2 Cho các số thực ø, b, c và số nguyên ø > 0 thoả mãn : 5c(n+2)+6(a+b)=0

Chứng minh phương trình : øsin°x + bcos”x + csinx + = 0luơn cĩ nghiệm trong khoảng É =) Bai 3 1 Nhận dạng tam giác ABC biết rằng : 1 1 1 1 1 1 1+ cos AcosB + 1+cos’B.cosC 3 + 1+cos’'C.cosA 3 = lI+cosA 4 + lI+rcosØ 4 + I+cos C 47°

2 Cĩ 120 quả cầu như nhau xếp sát nhau vừa đầy một hình chĩp tam giác đều cĩ tất cả

các cạnh bằng nhau ( mỗi quả cầu ở lớp trên tiếp xúc đúng với 3 quả lớp dưới ) Hỏi cĩ bao nhiêu quả xếp ở đáy hình chĩp

Trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxy

1 Cho 3 điểm A(1:3); B(7:0); C(2; 5) Tìm phương trình đường trịn ( Z ) cĩ bán kính nhỏ nhất chứa bên trong hoặc trên nĩ cả 3 điểm đã cho

2 Cho Elip (E) cĩ phương trình :

x y

aly 1 (a>b>0) Hai điểm M, N di d6ng trén (E) sao cho MON =90°,

Chứng minh : MN luơn tiếp xúc với một đường trịn cố định và tìm giá trị lớn

nhất và bé nhất của diện tích AMON

Trang 4

SO GD&DT NGHỆ AN KỲ THỊ HỌC SINH GIÚI TỈNH LỨP 12 NĂM HỌC 2003 - 2004 Mơn : Tốn - Bảng B Đề chính thức Thời gian : 180 phút ( khơng kể thời gian giao đề ) Bài 2 Tìm ø để khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên của đồ thị hàm số : — x’cosa + 2xsina +1 ~ x-2 - Đạt giá trị lớn nhất 1 Tìm hàm số : f(x)= ax”+ bx” +cx + đ(a # 0) ,biết : xf(x-1)=(x-3) f(x) £(3)=6 2 Xác định a, b để hàm số : x Khi x<0 axˆ+bx+l— khí x>0 cĩ đạo hàm tại x=0

với mọi x eR

4 Cho dãy số {u,} cĩ: ¡, =—n” +8n°—0,5n+4n.Với ne NỈ

Tìm số hạng lớn nhất của dãy số đã cho

2 Cho các số thỰc a, b, c Và số nguyên ø >0 thoả mãn : 5c(n+2)+6(a+b)=0 Chứng minh phương trình : asin°x + bcos°x + csinx + e = 0luơn cĩ nghiệm

trong khoảng [0 4

Trong hé toa độ trực chuẩn Oxy

1 Cho họ đường cong phụ thuộc tham số m cĩ phương trình :

F(x,y)=x° + — 4m(x—a)= 0, trong đĩ a là số dương cho

trước

a Với giá trị nào của m thì phương trình trên là phương trình đường trịn, ký hiệu

(C,,) la đường trịn tương ứng với giá trị m:

b Gọi A(2a; 0) tìm giá trị của _m để đoạn thẳng OA khơng cắt (C„)

Trang 5

, 1 1 1 1 Chứng minh : +——=—+— 9 OM ON? a P SO GD&DT NGHE AN KỲ THỊ HỌC SINH GIÚI TỈNH LỨP 12 NĂM HỌC 2004 - 2005 Mơn : Tốn - Bảng A Thời gian : 180 phút ( khơng kể thời gian giao đề ) Đề chính thức Bài 1 Bài 2 a Tìm giá trị của ø để phương trình sau cĩ nghiệm : Xx°+x+1-ýx —x+l=m b Giải phương trình : 2003* + 2005* = 4006x +2 a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : 1+cosäx — 6+2cos4x b Tim m để tổn lại cặp số (x, y) khơng đồng thời bằng 0 và thoả mãn phương trình : (4m—3)|x|+(3m—4)|y|+(m—1)A|x + yỶ =0 Tìm tất cả các da thức _P{(x) thoả mãn : P()+P()=2[ P(x+1)+ P(x=U)] ve a Cho a,b,c,d là 4 số thực thoả mãn các điều kiện : a@+b=1 va c-d=3 9+6V2 4 b Trong mặt phẳng Oxy cho họ đường trịn (Cm) : +?+y?—2(m—1)x—(m+6)y+m + 10 = 0 (m #0)

Chứng minh rằng : Các đường trịn (Cm) luơn luơn tiếp xúc nhau tại một điểm cố

định khi m thay đổi

Chứng minh rằng : ac+ bá— cả <

Trang 6

SO GD&DT NGHỆ AN KY THI HOC SINH GIOI TINH LỚP 12 NAM HOC 2005 - 2006 Mơn : Tốn - Bảng A Thời gian : 180 phút ( khơng kể thời gian giao đề ) Đề chính thức Bài 2 được trong 1 10 +sinx +— = — cosx sinx 3 b Tim m để phương trình : ( -1)(x+ 3)(x + 5)= m., cĩ 4 nghiệm phân biệt

a Giải phương trình : cosx +

a Chứng minh tam giác đều là tam giác cĩ diện tích lớn nhất trong các tam giác nội tiếp đường trịn cho trước

b.Tim a,b d6 P=at-a@b+a°b’—ab’-18ab+ b> +2005 dat gia tri nhd nhat

Chứng minh :

33

a siny+sin2x + sin3x < > sin2x sin3x sin nx

b sin + wet >sinnx, trong đĩ n la sé nguyén

h

% ` +

lớn hơn 1và 0<x<—

nh

a Trong mặt phẳng hệ toạ độ Đề — các vuơng gĩc Oxy cho hình chữ nhật ABCD cĩ tâm {50} phương trình đường thẳng ABlà: x—2y+2=0 và AB =2AD Tìm toạ độ các đỉnh A, B, €, D biết rằng đỉnh A cĩ hồnh độ âm

b Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác ACM, và 1 là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh GI vuơng gĩc với CM

Trang 7

SO GD&DT NGHỆ AN KY THI HOC SINH GIOI TINH LỚP 12 NAM HOC 2006 - 2007 Mơn : Tốn - Bảng A Thời gian : 150 phút ( khơng kể thời gian giao đề ) Đề chính thức Bài 1 a Giải phương trình : ` lon, { Vi +3}e2 4=2 b Chứng minh phương trinh: x°—4x*-—4x=1 cĩ đúng một nghiệm và nghiệm đĩ nhận giá trị dương a Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y= x(3+V5—2" }

b Cho các số thực x, y thoả mãn : 0< x<y<Zz Chứng minh (8 —6x)sin y < ( — 6y)sinr

2x = ví + 1)

Gidi hé phuong trinh: ) 3y° = a(y" +y+ 1)

4z =x(2°+z+z2 +1)

a.Trong mặt phẳng toạ độ Đề các vuơng gĩc Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (

# ) cĩ phương trình: (x-1} +(y+2Ÿ =5: ABC = 90°; A(2;0) và diện tích tam giác ABC bằng 4

Tìm toạ độ các đỉnh B; C

b.Trong mặt phẳng toạ độ Đề các vuơng gĩc Oxy cho điểm B(-3;0); C(3;0) Điểm A

di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác ABC thoả mãn : độ dài đường cao kề từ đỉnh A tới BC bằng 3 lần bán kính đường trịn tâm _ ï nội tiếp tam giác ABC Chứng minh khi A thay đổi ( vẫn thoả mãn điều kiện bài tốn ) thì điểm I thuộc một đường cong cố định

Trang 8

SO GD&DT NGHỆ AN KỲ THỊ HỌC SINH GIÚI TỈNH LỨP 12 NĂM HỌC 2006 - 2007 Mơn : Tốn - Bảng B Thời gian : 150 phút ( khơng kể thời gian giao đề ) Đề chính thức Bài 1 Tim a,» đểhàmsố: y=alnx+ðbx°+x+2006 đạt cực tiểu tại x =1 và đạt cực đại tại x=2 a Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y= x(3+V5—2" } b Chứng minh phương trình: x”—4x?—4x=1 cĩ đúng một nghiệm và nghiệm đĩ nhận giá trị dương

a Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn thoả mãn :

5 (e053A+cos3B) — 5 (cos2a +cos2B ) + (cosA + cosB) =

a|t+2

Chứng minh tam giác ABC đều b Cho các số thực x, y thoả mãn : 0< x<y<z

Chứng minh & —6x)sin y < ( —6y)sinx

Bài 4 a.Trong mặt phẳng toạ độ Đề các vuơng gĩc Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn

( Z `) cĩ phương trình : (x-1) +(y+2Ÿ =5; ABC= 900; A(2;0) và diện tích tam giác ABC bằng 4

Tìm toạ độ các đỉnh B; C

c= 2(a + 1)

Tim gia trị nhỏ nhất của :

b Cho các số thực a,b,c,d thoa man |

P=((a+2Ÿ +(2—eŸ + j(b+2Ÿ +(4+6} + j(a+bŸ +(4~eŸ

Trang 9

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHON HOC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2007 - 2008 Đề chính thức

Mơn thi: TỐN LỐP 12 THPT - BẰNG A

Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1 a) Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: (m- 3) Vx +(2-m)x+3-m=0 : 3 b) Chứng minh rằng: (=) >cosx, VỚI Yxe(0.2) xX Bai 2 x20 a) Cho hai số thực x, y thoả mãn: 4y>1 x+y=3 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: P = xỶ + 2y? + 3x? + 4xy - 5x siny b) Giải hệ phương trình: 438x2 +3 +1=6,/2y2 —2y4+1+8y T x,vel 0;— ›4 4 —-xtn=0 = (1) Bài 3 Cho phương trình: 2008* Chứng minh rằng: với mỗi n e NỈ phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất, gọi nghiệm đĩ là xạ Xét day (x,), tim lim(x, +17 x)

Bai 4 a) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cĩ diện tích bằng > Biết A(2; - 3), B(3; - 2) va trong tâm G thuộc đường thẳng d cĩ phương trình: 3x - y - 8 = 0

Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC

b) Trong mặt phẳng cho đường trịn ('Z) cĩ tâm O bán kính R và đường thẳng d tiếp xúc(Ø) tại điểm A cố

định Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (2) kề tiếp tuyến MT tới đường trịn (#} (T là tiếp điểm) Gọi H là

hình chiếu vuơng gĩc của M lên d.,

Chứng minh răng đường trịn tâm M cĩ bán kính MT luơn tiếp xúc với một đường trịn cố định khi M di động trên mặt phẳng sao cho: MT = MH

m Hét

Họ và tên thí sinh: . -ccccceccrer SBD

Trang 10

SO GD&DT NGHE AN Ki THI CHON HOC SINH GIOI TINH LOP 12 NAM HOC 2008 — 2009

Mơn thi : TỐN 12 THPT - BANG A

Thời gian làm bài : 180 phút

Câu 1 (3 điểm) _

ae

Tim mdé phwong trinh sau co 4 nghiém phan biét thuộc đoạn 8 4 Ị

sind fe coste fe cos’ dan = me

Câu 2 ( 3 điểm)

{ vất £ vỗ sẽ 4

Cho hệ Ver it vo > FS #( a là tham số )

Tìma để hệ cĩ nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện : # # Ở Câu 3( 3 điểm) asinex ~ |, ng‡p gẽ Ù 0 eaia = 0 Câu 4 ( 3 điểm) Cho 3 số duong # ® “thay đổi Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : ¬ fea a atavbe b43yee 64 3Vab Câu 5( 3 điểm) Cho n là số tự nhiên , z+ > 3 Chứng minh đẳng thức sau : WOE in 1) + (6= 9) C) ị Ce 2 POOH 1 = (nb 29 * Câu 6 (2 điểm)

Cho khối chĩp § ABE Ded day ABC Dla hinh binh hanh Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm

Trang 11

Sử GD & ĐT Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 oo Năm hoc 2009 — 2010 Đề thi chính thức Mơn thị: Tốn học — thpt bảng a Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đồ Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình: 2009*°(Vx” +l—x)=1 Câu 2 (4,0 điểm) Tìm m đẻ hệ phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt jx+z =m lo +l)x” +xv = m(x+1) Câu 3 (2,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z CMR ae 36 xX y Zz 9+xy + yz? 4x72? Câu 4 (2,0 điểm) Cho dãy số (x„) thoa man dong thời hai điều kiện: i xy > 2 i, x, EPR tHe Gi n là số tự nhiên lớn hơn Í n{m” — T) Tính limu; với uạ = (n†1}Ï.xạ Cau 5 (3,0 điểm)

Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bắt ki nằm trong tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt cdc mat phang (BCD), (ACD), (ABD) tai A’,

B,C’

Tim vj tri diém M sao cho MA’.MB*.MC’ dat gia tri lon nhất Câu 6 (3,0 điểm)

Cho tứ diện đều ABRCD cĩ độ dài các cạnh băng 1 Gọi M, N lân lượt là trung điểm của

BD và AC Trên đường thắng AB lấy điểm P, trên đường thăng DN lấy điểm Q sao cho PQ/CM Tính độ dài đoạn PQ và thể tích khĩi tứ điện AMNP

Câu 7 (2,0 điểm)

Cho hàm số f{x) liên tục trên R thoả mãn: f{x).f{y) — sinx.siny = Đx+y) với mọi số thực x,y CMR 2Đx)+ x”> 2 với mọi số thực x thuộc |-zz|

Trang 12

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 —————— NĂM HOC 2010 - 2014 Câu 1 _ a) Giải phương trình : l+vdz+l+v2=z=z“ˆ+v2 b) Tìm tat ca các giá trị của tham số m để bất phương trình : 4m -L2)x—zm > |x: +] cĩ nghiệm thuộc đoạn L— °: “Ì y`+y=# +33 +4x+2 Câu 2 Giải hệ phương trình : vI=x?—=w=J2—=y—1 Câu 3 a) Cho x,y là các số thực thỏa mãn : /20;Í# + 201 + log,(# = 2Ì = Í, Chứng mỉnh rằng : 2xz-|y|> 5 b) Cho a,b,c là ba số thực khơng đồng thời bằng 0, thỏa mãn : !2 + b+ c]|” = 3a” + bỔ + e”Ì, Tìm ba pe a y

GTLN, GTNN của biểu thức: — (@ +b + ellab + be + ca

Câu 4 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G(1;2) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Bist đường trịn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thắng HA,HB, HC cĩ phương trình :

g —= 2z + lu + 1 = U, Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Câu 5

a) Cho tứ điện ABCD Gọi «là gĩc giữa hai mặt phẳng ee va 4 (ABD) Gọi ở : Sptheo thir tw

là điện tích của các tam giác ABC, ABD Chứng mình ` SAB la = Vases)

b) Cho tứ điện S.ABC cĩ SA=SB=SC=a Mặt phẳng (P) thay đối di qua trọng tâm G của tứ điện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A', B', C'( khác S ) Tìm GTLN của :

1 I 1

Trang 13

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KY THI CHON HOC SINH GIOI TINH LOP 12

Nam hoc 2008 - 2009

HUONG DAN VA BIEU DIEM CHAM DE CHINH THUC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)

Trang 14

Yebt <> bất phương trình (3) cĩ nghiệm t =[3;4] min [Osa fit — t-4 0,50 ~ P27 +7 “Fe —8t+ 23 f'(t)=0@ VP -8t+23.t=(4-t)VP +7 2 2 2 (2 0,50 © lứ-4) + 7 =(4-1) (P +7) o t=2, Taco /(3)= 4+ v8; /(4)= j23+ v7 0,50 Từ đĩ suy ra min f(t) = f(3) = 4+ V8 Vay a> 44+ V8 050 3.0 -#(0 #149) m #@œ)- /() 05 x30 x — Wl+xsinlx-1_ xsin” x _= 2 tin 0.5

° * ela (1+ xsin? x) +: xsin Pe

Trang 15

Ta cĩ với x# 0, (x+1)”=SC/x”* (0) 0.5

vee cece ceeseeseseseseeeenenenenes 1 Ư

Đạo hàm hai vế của (1) ta được ø(x + 1) s (n—k)C}x 1 0.5 t=0 Suy ra nx(x-+1)"" =" (n—k)Céx",(2) 10 " Ơ Đạo hàm hai vế của (2) ta được nl (x41) +(n-1)(x+ 1)! -E-#y CH x1 (3) 05 ‘Thayx=1vao(3)taduccdpem CC C7 777777 7õ! 05 | d(P,(ABC)) = 3 d($,(ABC)) Veo = 5 C1CK sin 7K d(P,(ABC)) _ 9/1 “16 1613 CB.CD.sin BCD d(S;(ABO)) ở in PCIK 16 SABCD + a Mat khac Viena _ IB UIE IM _ tL (2) “me ICIP IK 18 octet Gc

Tuong tu Venor = 35 Vaso

_ Gọi V, là thể tích của khối đa diện giới hạn bởi mặt phẳng (MNP) va mat phang day > V,=Veg.- —

(Visem + Vinoe)

Trang 16

Trang 16 15 _ 9 1 _1

— 1G | SAB00" eg $ASGD — 5 Wsasco 0.25

Vay V; = = Vosaco—> dpem 0 025 20 A D M B c

Dat AD = BC =a, AC = BD =b, AB=CD =c,BAC = A, ABC = B, ACB=C

Ta cĩ AABC nhon va AABC = ADCB = ACDA = ABAD 0.5

Suy ra BCD = ABC = B;ABD = BDC = CAB = A,(1)

Ha CM 1 AB, vi (CAB) L (DAB) nén

0.5

CM |(DAB)=> CM | MD => CM? + DM? =CD*,(2)

áp dụng định lí cosin cho tam giac BMD ta dugc MD? = BM? + BD? — 2BM BD.cos MBD, (3) 0.25

Từ (1), (2), (3) ta duge CM? + BM? + BD? —2BM.BD.0os A=CD* 025

BC? + BD? -2BM BD.cos A=CD* © a? + b?—2abcos A.cos B = c? ,

Trang 17

Cốu 1 a) Đ/kxĩc định: -1<x<2 0,25 8, | Khi đú phương trỡnh © x?—x—vx+1—2-x=-1-x2 (1 0,25 (3.08 | xo: ƒ@)—x?—x—-Jxa1—/2—x với xe|-1;2] 1 1 0,5 x)=2x-l————+——— , PO)= 2x axel 242-x 1 1 © ƒ(x)=(2x-D[l+———————————=—Ì ƒ(x)=€©x=~ (60082 N2 a0Wx1iV2 3) TU 06v 2 | 0ã => Bảng biến thiờn : ` -1 1 2 2 f(x) - 0 + 0,5 2-3 * v3 f(x (x) NN 1 _&

Từ bảng biến thiờn suy ra phương trỡnh (1) cú đỳng 2 nghiệm 0,25 Dê nhận thây x=0; x=1 là 2 nghiệm của phương trỡnh (1) 0,5 Vậy phương trỡnh đĩ cho cú tập nghiệm là ø = {0:1} 0,25

b, b) Bat phuong trénh đĩ cho tương đương với 025 (3,04) Œn+2)x—m>x?+2x+1 © m(x—1)>x?+1 (*) ; Nhận thấy x = 1 khụng nghiệm đỳng bất phương trỡnh (") 0,25 2 Với xe[_ 2:1) Ta cú bpt (#) <7 +! (y 0,25 2 Với x< (12] Ta cú bpt (*) c> m > Ÿ “ x (2) 0,25 x Ấ x? +1 ne Xột hàm số /(x)= x 1” với xe|[_2;I)+¿(2] 0,25 2 _ Ay , =l-v2 cú £6)=*—?”,fœ=0=|” v2 05 (x=D x=1+42 (loại) Bảng biến thiờn: X -2 I-v2 — Í 2 f(x) + 0 - - 0,5 2-22 Ho f(x) — 2 — we % Ns

Bpt(*) cli nghiệm thuộc đoạn [- 2: 2| hoặc bpt (1) cú nghiệm thuộc|- 2;1) 025

hoặc bpt (2) cú nghiệm thuộc (1;2] ,

|” 2-22

m>5 0,5

Vậy me(—œ;2— 2x/2]©2[5:+s) là tất cả cốc giỏ trị cần tớm

COuUZ | x ne sờ ca epi, |~isxsl,

(2,04) Điều kiện xĩc định của hệ phương trỡnh là {0 <y<2 0,25

Trang 18

Hệ phương trỡnh đĩ cho tương đương với: 3*+z=Œ+Dl+(x+D @ 0,25 vl-x+1=Jfy+J2-» @ ` , x+1e[0;2] Từ() ta cú XộI: ƒ()=f ` +? ƒ{) =3 +1>0 Ví 0,5 yel|0:2] Hàm số ƒ() = ? +¿ đồng biến trờn đoạn [0:2] nờn pt(1)= »= x+1, 05

thế vào pt(2) ta được: v1- x? +1=x1+x+xI—x ,

&x=0> y=1 (thda mén (*)) 05

Vậy hệ phương trỡnh đĩ cho cú nghiệm duy nhất (x; y) là (0:1) ,

“ 3 a)Điều kiện + — 8uy ra x > 2\y|> x >0 0,25

25 x>2y

(2.5 Ta cú : log,„ (x+2y)+log„ (X-2y)=1 <> log „ (x? -4y?)=1 0,25

Suy ra: 2x- |y|= 2/4|yÏ+4- |y|, đặt: r=|y|, ¿>0 0,25 ˆ A : 8t 8-V4e744 Xột ƒŒ)=2N4+4-r,vớit>0./@)= -l=————, 0,5 V4?+4 V42?+4 : f=0<>f=-—— (do >0) 1 £@ Ti ( ) 0,25 Bảng biến thiờn: t 0 — 1 + vis “ f(t) - 0 + 0,5 4 to f(t) NN 4 N15 Từ bảng biến thiờn suy ra Z@)> v15 = 2x-|y|> v15 (đpem) Ấ 3 „ > 8 1

Dâu đăng thức xảy ra © x=-—— ,y=+-= 0,25

ka b) Từ giả thiết và ab+ be + ca = sla b+c)°—a?—b?—c?] 0,25

Trang 19

a oD 1 3 3 3\_ 1 3 3 Ta cu Pa—(x +y+Z j=l" +(y+z) —3y2(y+ 2)| 1 0,25 > P= ee® ~12x? + 12x + 16) XOt f(x) =3x)—12x?+12x+16 , VỚI: xe [0:5] x=2 8 0,5 => f(x) = 9x? —24x4+12 > ƒ'{x)=0 © 2 thỏa mĩn xe[9:.] mm ⁄ 2 176 8 176 Cú: ƒ(0) =16 f(0) » £2) 2)=16 » IG) Ấỳ=—— 9 » IG) ¬ 9 0,25 => Trờn [0:5] ; min f(x)=16 , Max tin = mỉnP = 1, chẳng hạn khi: =0, ư=e #0 0,25

Max P = % , chẳng hạn khi: a=b,c=4a,a#0

Céu 4, Goi trung điêm của HA,HB,HC,BC,CA,AB 025

(2,08) lần lượt là: I,E,F,M,N,P

2 Ta cú: EH.L AC=EH.LIE 025

Ma MF//EH > MF LIF => IFM=lv

7 N Tương tự — IEM=1v nénM thuộc 025

đường trũn ngoại tiếp tam giốc IEF , e Tương tự ta cú N,P cũng thuộc đường trũn 025

" ngoại tiép tam gidc IEF ,

+ Dễ thay: A4BC la anh của _AAZAP qua phộp vị tự tơm G tỷ số k =-2 0,25 = đường trũn ngoại tiếp A.12C là ảnh của đường trũn ngoại tiếp Al⁄MP

Ta cú đường trũn ngoại tiêp AAZWP cú phương trốnh:

2 2 0,25

x+y —-2x+4y+4=0

Cú tõm K(1;-2), R =1 Gọi K;,R, là tõm và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp

AABC tho: GK; =-2GK , R, =2R >K,(1:10) , Ri=2 0,25

Trang 20

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN = 05 34B Goi S'la trong tõm tam giốc ABC 5g _ 3 0,5 4 £ Gọi V,V' lần lượt là thể tớch cdc khối tứ diện SABC, SABCŒ 0,25 Ta cl: dt(AS' AB) = dt(AS' BC) = dt(AS'CA) V — Vssan = Vssnc = VsgcA = 3 0,25 ` up — SGŒ.Š⁄SP! 1 SA' SB' mà:_—2# = ——————— —= Weam=— Vooag SS'SA.SB sone’ 4° SA’ SB 0,5 _ TSB SC' 1 SA' SC' Tương tự:— 1, —— le =S— ——:

NP lam 7 SB SC *0A" 4 SA’ SC 05

Mà: ` = gang + sgge +Ƒ que

vio 1{ SA' SB" SB! SC" SA' SC' vo 4l sa’ SB SB “sc SA’ SC 0,25 ` 1( 81 SB" SB! SC" SA’ SC' = SA, SB SC -4 0.25 848B.SC 4\ SA “SB SB’ sơ ` SA’ SC SA' SB’ SC' 1 1 14 =— (do SA =SB =SC=a — SP! ma | ) 0,25 _ ol 1 1 l1 1 1Y 16 Q= Sa'sB Ì SE SƠ Ì SCSA' “l_'m') ~ 3a? 0,25 i = 16 i — = r.3g = minQ = ; khi 8A SB’ =SC 1 0,25 < (P) qua G và song song với mp (ABC) HẾ - - -

Ghi chỳ: - Học sinh giải cơch khỏc đỳng cho điềm phân tương ứng - Khi chấm Giỗm khảo khung làm tran điềm

Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối da

KY THI CHON DOI TUYEN HOC SINH GIOI TINH LAN 1

TRƯỜNG THPT ĐĂNG THÚC HỨA Năm học 2008 - 2009

Đề chính thức Mơn thi: TỐN LỐP 12 THPT

Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao để)

Trang 21

Bài 1 (6 điểm) a Tìm m để bất phương trình sau cĩ nghiệm vXx+l1-4-x>m b Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta luơn cĩ: a p c a ? c? + + > + + +e của a+p, Pìc Cte G+ Bài 2 (6 điểm) (+ )s 9 = 1+2"

a Giải hệ phương trình: y`+4x+l+ m(y + 2x) =0 b Giải phương trình: sin z+ cos x— sỉn xcos x = “ 3" <082) 4+ sin xcosx Bài 3 (2,5 điểm) Cho [Ror ° Tim giá tị nhỏ nhất của biểu thức: x+y+z=3 x+l , y+l, z+H P= ysl 241 #41 Bài 4 (5,5 điểm)

Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD Trên cạnh SC lấy một điểm E

a Xác định vị trí của mặt phẳng đi qua AE cắt SB, SD tại F và G sao cho thiết diện AFEG cĩ diện tích nhỏ nhất

b Tính diện tích thiết diện nhỏ nhất đĩ khi cạnh đáy hình chĩp bằng 1, cạnh bén bang V3 va cz= wi

Hét

Họ và tên thí sinh: ec eeeccccecettsssssesccsceesecsessensetsutenseeceeceeceeneeceenesets SBD

Trang 22

$6 GD&DT NGHE AN ` ˆ ˆ Ta KY THI CHON DOI TUYEN HOC SINH GIOI TINH LAN 2 TRUONG THPT DANG THUC HUA Nam hoc 2008 - 2009

Tnhh thế Mơn thi: TỐN LỐP 12 THPT

Để chính thức Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1 (6 điểm) a Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm (3m~2)AJx—1+(2m~—3)AJ2~ x+m—1=0 b Giải phương trình: sin x + cos x + 1 + =32 smx COSX Bài 2 (6 điểm) Ân tồi ˆ + ` 2 P(x) ; a Tén tai hay khơng đa thức P(x) và Q(x) thoả mãn Ol 7 x’ +2008, VxeR x b Cho trước hai số dương a, b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x? y z

(ay+ bz)(az+ by) * (az+ bx)(ax + bz) * (ax + by)(ay+ bx)

Trong đĩ x, y, z là ba số thực dương tuỳ ý

x.= vã

Xa =\l3—Aj3+x„ với neNĐ Chứng minh dãy số (x„ ) cĩ giới hạn hữu hạn khi 2 — +00 Tìm giới hạn đĩ

Bài 4 (5 điểm)

Cho gĩc tam diện vuơng Oxyz

a Tia Ot bất kỳ nằm trong gĩc tam diện Gọi œ,,y theo thứ tự là gĩc hợp bởi tia Ot và các tia Ox, Oy, Oz

Bài 3 (3 điểm) Cho dãy số (x,) được xác định bởi

Chứng minh rang: cot a.cotB.cot y < ~

b Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C tuy ¥ sao cho: OA+ OB +OC + AB+ BC+ CA=kkhong

đổi

Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện OABC

Họ và tên thí sinh: . cxkee SBD

Trang 23

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SĨ BÀI TỐN TRONG ĐÈ THỊ CHỌN ĐỌI TUYẾN HSG LÀN 2 Bài 2 a.Tồn tại hay khơng đa thức P(x) và Q(x) thoả mãn aa =x +2008, VxeR x Giải Giá sử tồn tại đa thức P(x) và Q(x) thoả mãn hệ thức: PO) _ £2008 = P?(x)=0" (x)[° +2008] Q(x) Suy ra: bac P(x) = bac Q(x) + 1 P Mặt khác từ (1) suy ra (x) xác định với moi x ER O(x Do dé O(x)# 0,VxelR

Suy ra: bậc Q(x) là số tự nhiên chẵn nên bậc P(x) là bậc lẻ

Vi thé tén tai x, @R: P(x, )=0 (Vơ lí),bởi x? + 2008 > J2008 > 0, Vx eR

Vậy khơng tổn tại các đa thức P(x) và Q(x) thoả mãn yêu cầu bài tốn

Lưu ý:- Đa thức bậc lẻ luơn cĩ nghiệm

-Nếu một đa thức vơ nghiệm thì äa thức đĩ cĩ bậc phải là một sé chan

nas

Xa =\l3—Aj3+x„ với neNĐ Chứng minh dãy số (x„ ) cĩ giới hạn hữu hạn khi 2 — +00 Tìm giới hạn đĩ Bài 3 Cho dãy số (+, ) được xác định bởi

Giải *) Chứng minh dãy số (+x„) cĩ giới hạn hữu hạn khi ø —› +œ Nhận xét rằng: x„Š 43, VneRĐ Xét hàm số ƒ(x)=3—-x3+x trên [0] -I Ta cĩ: £ = re) 4A43-43+xaA3+x Và Pele}: vx] 0:3] <0 nén f(x) là hàm nghịch biến Mặt khác ta xét hàm ø(x)= ƒ(x)—x thìta cĩ: ø'(x)= ƒ (x)~1<0,Vxe[0; 3 | Và z(0)>0;z(v3)<0 suy ra phương trình g(x)=0<> ƒ(+)=+x cĩ nghiệm duy nhất ae[0,3] Áp dụng định lí Lăgrăng, ta cĩ: x„=a|=|Z(x,)= /(4)|=|Z'(4) x, ~al 3s, -4| (vi a= f(a) nore | 2 n-l nl

Suy ra: 0< bad =( 4) |M-4 mà: lim (+ |M-a|=0

Do đĩ theo nguyên lý quy nạp ta cĩ: lim x,,,=a@ hay lim x, =a *) Tìm giới hạn đĩ

Trang 24

a=x3-3+a_ (*®) (Vì lim x,,,=4 hay lim x, =a)

Ta cần tìm a là nghiệm của phương trinh: x = /3—V3+x Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình

Mặt khác hàm số y= x là hàm đồng biến cịn hàm y=/3—+x/3+x là hàm nghịch biến trên [x3]

Do đĩ phương trình x=/3— 3+ x cĩ nghiệm duy nhất là 1 Vay lim x,=a=1

Cĩ thể giải bằng phép biến đối tương đương như sau:

(Với ae[0;v3] thì:

BAI TAP BO SUNG

1 Cho f(x) là đa thúc bậc n (» >1) với hệ số thực và thộ mãn điều kiên: /)=-Tvk= 1,2,3, 2 Biét f (0) = 0 Tinh (2008) 1 (n+1)! HDG: Xét đa thức: ø(x)= x+ ay" x(x—1)(-2) (x—n) Dat h(x) = a) Hãy nghiên cứu cách chọn đa thức Đáp số: ƒ(2008)=1 2 Ching minh rằng với mọi số nguyên a phương trình x* —2007x° +(2008 +a) x* — 2009x +a=0

khơng thể cĩ hai nghiệm nguyên (phân biệt hoặc trùng nhau)

Giải: Nhận xét rằng: Nếu x, là nghiệm của phương trình thi x, chan That vay

xe (xạ —2007)-+ 2008xj” —2009x, +a (3 + 1) =0 Nếu x, lẻ thì về phải lẻ ,cịn về phải chẵn (vơ lí)

Giả sử phương trình P(z)= x° — 2007+) +(2008-Ƒa)x” —2009x-+a=0_ cĩ hai nghiệm x,„x, vàx, =x, Thế thì ta cĩ: 0= Poss)" Pls) = (2) +abx, +4,23 +23) 2007(27 +.x,2, +23) + (2008 +.a)(x, +x,)— 2009

2 1

Đẳng thức này khơng xảy ra,vì x,,x, chin nén về phải là số lẻ

Giả sử phương trình cĩ nghiệm kép +, (chẵn).Khi đĩ x,cũng là nghiệm của P(x) Ta cĩ:

O= P'(x,) = 4x3 — 602113 + 2(2008 +a) x—2009

Vi x,chin nén dang thre nay cling khéng xay ra Vậy với mọi số nguyên a phương trình

Trang 25

x* —2007x° +(2008 +a) x” —2009x +a=0

khơng thể cĩ hai nghiệm nguyên (phân biệt hoặc trùng nhau) -

DE TU LUYEN ĐỘI TUYẾN HSG TỐN Bài 1 (6 điểm) x+lny= y+lnx Vx? —2+./y? -2 =2V2 b Giải phương trình: sin x+ cos x—sinxcosx =1+In a Giải hệ phương trình: | 3+ sin x + cos x 4+sinxcosx ` Bài 2 (6 điểm) 1 Giả sử P(%) là tam thức bậc hai thoả mãn P(-1),P(0), P(1) đều thuộc đoạn [01]: Chứng minh ring: P(x) < = vx [0,1] 2.Cho hàm số f: [0:1] => [0: 1] là hàm số liên tục và cĩ đạo hàm f'(x) thoả min: |f'(x)| <m, Vx €(0;1)

m là số thực đương cho truée va m < 1

a) Chứng minh rằng phương trình f(x) =x cĩ đúng một nghiệm trên [0:1] gọi nghiệm đĩ là +

b).Với x, e[0;1] là số thực cho trước Xét đấy số (x„)cho bởi x„ = ƒ(x„), Y# nguyên đương

Hay tim lim x,

Bài 3 (3 điểm)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Xét các số x, y, z thoả mãn xtytz=E

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức p(x,;„,z)~ Ÿh*„ say Sinz a b ce Bài 4 (5 điểm)

Cho gĩc tam diện vuơng Oxyz Trên Oz lấy điểm A cĩ định khác O, biết OA = a Gọi (P) là mặt phẳng thay

đổi chứa điểm A và cắt Ox, Oy lần lượt tai các điểm B, € sao cho TL, 2=" v2

a

1 Ching minh ring mit phang (P) luén chira mot dudng thẳng cĩ định

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ điện O.ABC

Họ và tên thí sinh: . cxkLeree SBD

Trang 26

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI KHĨ TRONG ĐÈ THỊ TỰ LUYỆN CỦA ĐỘI TUYỂN Bài 2 (3 điểm) Gia si P(x) là tam thức bậc hai thoả mãn P(~—1),P(0), P(1) đều thuộc đoạn [0;1] Chứng minh ring: P(x) < = vx [0,1] P(1)+P(-1 2 POPC p49) P(-1)=a-b+e 2 Giải Giá sử P(x)= ax” + bx+ c,Khi đĩ ta cĩ: 4 P(0)=c > p= Pay PO) P()=a+b+c c=P(0) Từ đĩ ta cĩ thể viết lại đưới đạng: P(x)= & +bxz+e =[ ——————-P(0) |x”+ PU) P(-l) = É?+>)+—= !—*)+P(0)[1-* | Vì P(-1),P(0), P(1) đều thuộc đoạn [0:1] Và VỚI x€ [0:1]thì x —x <0, do do: 2 P(x)= ar + beve<t(x4a)ele =X 4241, 2 2 2 xx a 1 1 Xét P(x)=-—+—+1 voi xe[0;1].Ta cĩ: P (x)=-x+==00x=-¢[0;1] 2 2 2 2 Ma: P(O0)=1, P 1 =) P(1)=1.Suy ra: Max P(x) =~ khi xe1 2 8 I0 8 2 Vậy: P(x)<%: vzx [0:1] Ta

Bài 3 (3 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Xét các số x, y, z thoả mãn x + y+z— 7

Trang 27

cos A= cosa 2 2 4 6? 2 4 2 tuya Ab? kh? pc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi lcosø= cos9 “ức cosC = cosy a 2 4b? 4¢7 + wT wT Vay p= 2 TP Fo pep yp = ®_ 4 ya ®_ zac AY Fos 2abe 2 ay 2 2

DE TU LUYEN DOI TUYEN HSG TỐN

Bài 1 (5 điểm) a Giải phương trình: (8coœ' 6x+ iy =162cos6x—27 dex? " 27-2 =-xy- b Giải hệ phương trình: 2 ( y+ 2x} -2*# y+l—4x=0 Bài 2 (5 điểm)

a Chứng minh rằng: (sinx)”” < (cosx)”” VỚI mỢI x C)

b.Cho các số thực đương x, y,z thoả mãn điều kiện x+ y+z=l Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: #?(y+z) y(z+x) ZỞ(x+ parts) yŒ+z) 2 (x+y) + mx xy ‘ x, Bai3 (4 diém) a.Cho a>1 Xét day s6 (x,) xdc dinh béi: | r * Tìm điều kiện của a để day số cĩ giới hạn hữu hạn 2 x Lo ——_—m b Tìm m để phương trình: 3 2 3 x x`———m 2 logy, (x -2x+ 5) + 3° Jog, 3 + $ =0 cĩ đúng ba nghiệm phân biệt Bài 4 (6 điểm) Cho hình chĩp tam giác đều S ABC, canh đáy bằng a và các mỗi mặt cĩ gĩc tam diện đỉnh S đều bằng œ (0<ơ<90!)

a) Hỏi phải cắt hình chĩp bằng một mặt phẳng đi qua A như thế nào để thiế điện AB’C’

(B' € SB,SC' € SC) thu được cĩ chu vi nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ theo a biết œ = 30°

b) Với cosœ =5 Gọi H là tâm đáy ABC và giá sử mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SA, SB, SC, SH lần

lwot tai M, N, P, G Chứng minh rang: J, J, +_ 1

SM SN SP SG’

Trang 28

Hướng dẫn và đáp số một số bài tốn trong đề tự luyện: 3 3 3 Bải 1 a) Đặt ;= 2cosĩx đưa phương trình về: (+1) mx~0elf +1) =3r-1 al Lai dat 7° = 5 tacé ref > y=t 3 Tv d6 taco: +! =i©`—3¡+1=0

Do đĩ: 8cos”6x— 6cos6x + l =0 <> co18x=—L x=+ TRO

b).Điều kiện: Từ phương trình thứ (2) rút ra: y = ! 2x thay vào (1) biến đổi về phương trình: x Eˆ 1 cự F2 1 2y í 3 2# +——=2# +——— Xét ƒ(¡)=2'+— ĐS: (x;y)=| 2;—— | 2x? 2x? f ) 2 ( ») ( ;)

Bai 2.a).Vi sin’ x08? x< 4 với x<(0.%)

Xét hàm số: f(z) = 1 +7 với í€ OF St dung bang bién thiên suy ra: ƒ(7)}< 1

Thay ?=sin” xvới xe [ot] sin? x -[s;) ta cĩ:

Do đĩ:

sin? x sie? x

a2 2 n2 2 a2 2 2

SIIH XCOS X +SINˆ x< 7 +sin” x< l |sin“ xcos“ x <COS” x

sin? x.cos? x 2 sin? x 2 \€9/x , 2 À8 Z 2 \€9/x

: 2sia? x 2cos? x : sie? x cos? x

© (sinx) < (cos x) © (sinx) <(cos x) dd) " Vì (05 )->sin-< cos va O<sinx <1 Do đĩ: (sinx yer <(sinx)" * (2) 2 Co: Từ (1) và (2) suy ra: (sinx} 9” < (cosx}"” "2S (sin x)" < (cos x) „ (đpem) b) DS: MinP=3 ¬¬-

Bài 3 (4 điểm) a Nhận xét rằng vì ø >1 nên (x,) la day tang va x, >1

Trang 29

li wae A L v 4” =ưC =a 0 nghiệm Ta đi tìm điêu kiện của a để phương trình —¬._- nghiệm băng khảo a x sát hàm số: ƒ)= PŠvớix>1 cĩ tập giá trị là: Cr do: 0<Ina<1, x e e Điều kiện đủ: Với điều kiện 0 < Ina < i ta chứng tơ (x„) bị chặn trên bởi œ bằng phương pháp quy e nap (v6 a=a") 1 Đáp số: 0< ø<e°, x=—-ml+4 A R Ạ qx -2x

b).Biến đổi phương trình về: 3” ®”'*.log, (x°=2x+5)=3! * | log,

Xét hàm số: ƒ(¡)= 3.log,? đồng biến với />l1 2 34 2x-1=m Do do phuong trinh trong duong véi: x’ —2x+5=|x° som 42 #*+—*°-2x+l=m 2 Sử dụng vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ toạ độ hoặc khảo sát biến thiên hai hàm số trên cùng một bảng biến thiên Dap sé: me > 1 3Ì, 27°22 .Bài 4 (6 điểm) Cho hình chĩp tam giác đều S ABC, canh đáy bằng a và các mỗi mặt cĩ gĩc tam diện đỉnh S đều bằng œ (0<œ<901)

a) Hỏi phải cắt hình chĩp bằng một mặt phẳng đi qua A như thế nào để thiế điện AB’C’ (B' <SB,SC' < SC ) thu được cĩ chu vi nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ theo a biết œ = 30°

Sử dụng phương pháp trải tứ diện Xem lại vở học thêm hình học lớp 11) Đáp số: 24a

2+43

b) V6i cosa = -Š Gọi H là tâm đáy ABC và giả sử mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SA, SB, SC, SH lần

Trang 30

2V2b _„ 4 _ 8 3 3 9 2 Theo Pitago: SH = ,/b° 2 Ma f= b.cosBo a= 3 2 2 2 Do d6: SH = |b? -“ 3 = p82 2 9 3

CHÚ Ý: Các em cần cĩ gắng học lại tất cả các vấn đề về hình học khơng gian từ lớp 11 đến hết chương TT của hình hoc 12

-Các vấn để thiết diện, gĩc, khoảng cách

-Thê tích khối đa diện Ứng dụng cơng thức tỉ số thể tích -Mặt cầu ngoại tiếp ( Xác định tâm và bán kính)

-Các cơng thức về thê tích với diện tích tồn phần và bán kính mặt cầu nội tiếp: V=S8,:

Trang 31

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KY THI CHON HOC SINH GIOI TINH Nam hoc 2007 - 2008 Đề chính thức

Mơn thi: TỐN LỐP 12 THPT - BẰNG A

Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao để)

Bài 1

a) Tim m để phương trình sau cĩ nghiệm: (m-3) Vx +(2-m)x+3-m= 0 b) Chứng minh rang: (=) >cosx, với Vxe(0; 2): X Bài 2 a) Cho hai số thực x, y thoả mãn: 4 y>1 x+y=3 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: P = xỶ + 2y? + 3x? + 4xy - 5x ey =o sin y b) Giai hé phuong trinh: {sin 2y—cos2y=sin x+cosx—l T x,vel 0;— 4 1) Bài 3 Cho phương trình: -x4+n=0 (1) 2008* Chứng minh rang: véi méin © N’ phuong trinh (1) cé nghiém duy nhất, gọi nghiém dé la x, Xét day (x,), tim lim(x, +ị "Xu: Bài 4 a) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cĩ diện tích bằng * Biết A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d cĩ phương trình: 3x - y - 8 = 0 Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC

b) Trong mặt phẳng cho đường trịn (@} cĩ tâm O bán kính R và đường thẳng d tiếp xúc('#} tại điểm A cố định Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (} kể tiếp tuyến MT tới đường trịn (#} (T là tiếp điểm) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của M lên d

Chứng minh rằng đường trịn tâm M cĩ bán kính MT luơn tiếp xúc với một đường trịn oố định khi M di động trên mặt phẳng sao cho: MT = MH

Trang 37

SO GIAO DUC VA DAO TAO KI THI CHON DOI TUYEN DU THI

NGHE AN HOC SINH GIOI QUOC GIA LOP 12 THPT Nam hoc 2011 — 2012 Mén thi: TOAN Thời gian làm bài: 180 phút (khơng k thời gian giao đê) Ngày thi: 11/10/2011 8 x+y? 4 “Y =16 x+y Cau 1 Giai hé phvong trinh: x 2x x x oy ——+: — = — — — 8y 3 3y 4 2

Cau 2 Tim tat ca cdc s6 nguyên dương x, y thoa man: x7 +.07° + + x+ 2= yÌ

Câu 3 Cho tam giác nhọn ABC cĩ trực tâm H Phân giác ngồi của gĩc BHC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại DE Gọi K là giao điểm của phân giác gĩc A của tam giác ABC và đường trịn ngoại tiệp tam giác ADE (K khác A) Chứng minh rằng hai tam giác BHK va CHK cĩ diện tích băng nhau

Câu 4 Tìm tất cá các hàm số ƒ': R -> Rthỏa mãn: ƒ(x+ ƒ(y))= ƒ(x+ y)+ fy), Vx, yER

Câu 5 Cho số nguyên tổ p >3 và Ä⁄ = {1; 2; 5 p} Voi méi s6 nguyén k thoa man 1<k < p, ta

đặt 1, ={A CÀ :|Al =k} va x, => (minA+ maxA) voi AE E,

Trang 38

SO GIAO DUC VA DAO TAO KI THI CHON DOI TUYEN DU THI

NGHE AN HOC SINH GIOI QUOC GIA LOP 12 THPT

Năm học 2011 — 2012 Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút (khơng k thời gian giao để) Ngày thị: 12/10/2011 Bài 1 Giải phương trình A4xŸ -x+10 + 2x= 3ÄJ2x? —x + 49x? —4x+4 Bài 2 Cho ba số dương a,b,c thoa man abc <1.Tim giá trị lớn nhất của biểu thức ata yi atata Bai 3

Cho tam giác ABC nội tiếp (O).M năm trong tam giác.AM,BM,CM cắt đường trịn (O)

tai 4,B,,C, Duong thang BC, cat BC tại 44 Tương tự ta cĩ Ư,,C, Chứng minh răng A,,B,,C, thang hang Bai 4 Cho hàm số thực f(x) thỏa mãn với mỗi số thực c luơn tổn tại đa thức P(x) sao cho |/#(x)—Đ()|<c.x” với moi x Ching minh rang f(x) là một đa thức hệ số thực Bài 5

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	3,52 MB