Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá

3.Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BD1... Tìm tập hợp các điểm M trong không gian có tổng bình phơng các khoảng cách đến mặt của một tứ diện đều ABCD cho trớc bằng một

Năm học 2007-2008 Câu 1.(5 điểm)

1

x y x

−

= + 2.Xác định điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách đến 2 trục tọa độ là ngắn nhất;

Câu 2.(4 điểm )

1.Cho hàm số y x= + 1 −x2 −m Xác định m để y≤ 0 trên tập xác định của nó

2.Trong mặt phẳng Oxy cho Hypepol (H) có phương trình chính tắc

là: x22 y22 1

a −b = Biết tâm sai e=2; hình chữ nhật cơ sở của nó cắt các trục tọa độ Ox ở A,C và trục Oy ở B,D Đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD có bán kính bằng 2 Tìm phương trình (H)

Câu 3.(4 điểm)

1.Giải phương trình: 4cos2x - 4cos2xcos2x-6sinxcosx+1=0

2.Cho a≥ 0,giải biện luận theo a: a x3 4 + 6a x2 2 − +x 9a+ ≥ 3 0.

3.Giải hệ phương trình:

2 2

x y xy

 + =



 + =



Câu4.(6 điểm)

Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1.Biết

A1(0,0,0),B1(a,0,0),D1(0,a,0),A(0,0,a) với a>0 Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,B1C1

1.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN,BD1

2.Tính thể tích của tứ diện ANBD1.

3.Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BD1.

Cõu 5.(1 điểm) Cho 2 (2 2) ,n 1, 2,3

n n

n n

a b

→∞

Năm 2006-2007

Câu1(7.0 điểm).

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : 2 1(1)

1

y x

+ +

= +

2.Tìm k để đờng thẳng :(2-k)x-y+1=0 cắt đồ thị(1)tại hai điểm phân biệt A,B sao cho các tiếp tuyến với đồ thị(1) tại A,B song với nhau

3.CMR:Phơng trình :x2+x+1=(x+1) 9 x- 2 có đúng hai nghiệm

Câu2(5.0 điểm).

1.áp dụng khai triển nhị thức niu tơn (x2+x)100.CMR:

2.Cho tích phân :

0

sin2

,

2 os2x

n

nx

p

-ũ Tìm a sao cho I2006, I2007, I2008 theo thứ

tự lập thành cấp số cộng

Câu3(7.0 điểm).

1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn

2 2

( ) :C x +y - 4x+ 6y- 3 = 0 tâm I và đờng thẳng (d) có phơng trình :x+by-2=0 CMR:(d) và (C) luân cắt nhau tại hai điểm phân biệt P,Q với mọi b.Tìm b để tam giác PIQ có diện tích lớn nhất

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm

A(2;0;0),B(0;8;0),C(0;0;3) và N là điểm thoả mãn :ONuuur=OA OBuuur+uuur+OCuuur.Mặt phẳng (P) thay đổi cắt các đoạn OA,OB,OC,ON lần lợt tại các điểm A1, B1,

C1, N1.Hãy xác định toạ độ diểm N1 sao cho :

2007

Câu4(1.0 điểm).

Tìm tập hợp các điểm M trong không gian có tổng bình phơng các khoảng cách đến mặt của một tứ diện đều ABCD cho trớc bằng một số dơng k lhông

đổi

(Năm 2005-2006)

Bài1:(2,0 điểm)

Chứng minh rằng : ∀ ≠x 0 : osxc >1-x2

2 .

Bài 2:(2,0 điểm)

Tớnh I= 4

3

0 os

dx

c x

π

Bài 3:(2,0 điểm)

Tìm m để : 4x − 2 2m x −m2 + > ∀ 2 0, x.

Bài 4:(2,0 điểm).

Giải hệ phơng trình:

7 21

x y xy

x y x y

 + + =







Bài 5:(2,0 điểm).

Giải phơng trình: 3 sin( ) sin( ) 2sin(5 ) 0

x−π + x+π + x+π = .

Bài 6:(2,0 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn có ∠ =B 45 0 Tìm GTNN của biểu thức T = cotgA+ cotgC.

Bài 7:(2,0 điểm)

Tính giới hạn sau: 2

0

os( osx) 2 lim

x sin

2

x

c π c

→

Bài 8:(2,0 điểm).

Giải phơng trình : log 2 1 1 log 3 2 8 2

9

9

x− =x+ − x .

Bài 9:(2,0 điểm).

Trong mặt phẳng Oxy,cho A(-3,4);B(-3,0);C(1,1) Hãy lập phơng trình đờng thẳng d qua

A và chia miền tứ giác ABOC thành 2 phần có diện tích bằng nhau.

Bài 10:(2,0 điểm).

Cho góc tam diện vuông Oxyz,trên oz lấy điểm Acố định , biết OA=a Gọi (P) là mặt

phẳng thay đổi chứa điểm A và cắt Ox,Oy lần lợt tại B,C sao cho: 1 1 2

OB OC+ = a CMR: (P) luân chứa một đớng thẳng cố định và tính thể tích nhỏ nhất của tứ diện OABC

có thể đợc

(Năm 2004-2005)

Bài 1:(5,0 điểm )

Cho hàm số y=x4-6x2+5

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(C)

2)Cho điểm M ∈(C) có hoành độ là a.Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) ở 2 điểm phân biệt ≠M

Bài 2:(5,0 điểm)

2

2 1

sin 2

x

x x

−

− − 2)Tính 1 2

0

2

I =∫ x − x mdx+

Bài 3:(4,0 điểm)

1)Xác định m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:x2 − 2x= 2 x m− − 1 2) Xác định m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

2

4− −x m log (x − 2x+ + 3) 2 − +x xlog (2 x m− + = 2) 0.

Bài 4:(4,0 điểm)

Cho hai đờng tròn (C1):x2+y2-10x-2y+25=0 và (C2):x2+y2-4x+4y+4=0

Viết phơng trình các đờng thẳng tiếp xúc vứi cả 2 đờng tròn trên

Bài 5:(2,0 điểm)

Cho α,β,γ là 3 góc tạo bởi đờng thẳng d theo thứ tự với 3 đờng thẳng chứa 3 cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC đều

CMR: 16(sin 2 α sin 2 β sin 2 γ + cos os os ) 1 2 α c 2 βc 2 γ =

(Năm 2003-2004)

Bài 1:(6,0 điểm)

1)Cho đờng cong (C) có phơng trình :y=sinx+1,x∈ ,3

2 2

π π

 .Tìm GTNN của hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với (C) và trục hoành

Bài 2:(3,0 điểm)

Tìm a để hệ có 2 nghiệm :

2

 − + + + − − =





Bài 3:(7,0 điểm )

1)Xác định số nghiệm của phơng trình : 2sinx+2cosx=π,x∈[0,

2

π ] 2)Cho 1<a+1<b+1<c CMR: logc(a+c)<logc-bc

Bài 4:(4,0 điểm )

Cho góc tam diện Oxyz

1)Alà điểm trên Oz sao cho :OA=25a (a>0).khoảng cách từ A đến Ox,Oy là 7a ,20a Tính khoảng cách từ A đến (Oxy) biết ∠xoy= 60 0

2)Cho gó∠xoy= ∠yoz= ∠xoz= 60 o.Điểm A≠0 cố định trên Oz ,với OA=d không đổi

M và N là hai điểm chuyển động trên Ox,Oy sao cho : 1 1 1

OM +ON =d (1) CMR:Đờng thẳng MN luân đi qua 1 điểm cố định

(Năm 2002-2003)

Bài 1:(4,0 điểm)

Cho hệ phơng trình : log (3x x ay+ ) log (3 = y y+ ax) 2 =

1)Giải hệ phơng trình khi a=2

2)Tìm a để hệ có 3 nghiệm phân biệt

Bài 2:(4,0 điểm)

Cho hàm số: y= x2 1

x a

+ + 1) Với a=1.CMR : Luân tìm đợc 2 điểm và chỉ có 2 điểm trên đờng cong sao cho tiếp tuyến tại đó // với đờng thẳng 2x-2y+1=0

2)Tìm GTNN của a tập giá trị cảu hàm số đã cho chứa đoạn [0,1]

Bài 3:(4,0 điểm )

1)Giải phơng trình : 2 os(x- ) os(x- ).sin 2 3sin 2 4 0

2)Cho ABCV ,O l điểm trong tam giác sao cho : à ∠OCA=∠OAB=∠OBC=α.

CMR: cotgα=cotgA+cotgB+cotgC

Bài 4:(2,0 điểm)

Với x là góc cho trớc ≠kπ,tìm giới hạn : lim(1 12 2 1 )

n

Bài 5:(6,0 điểm )

Cho hình tứ diện ABCD có CD⊥(ABC),CD = CB, ABC V vuông tại A.Mặt phẳng qua C vuông góc với DB,cắt DB,DA lần lợt tại M,I.Gọi Tlà giao điểm của 2 tiếp tuyến tịa Avà C của đờng tròn đờng kính BC trong mặt phẳng (ABC).

1)CM:C,T,M,I đồng phẳng

2)CM:IT là tiếp tuyến của mặt cầu đờng kính CD,và mặt cầu đờng kính CB.

3)Gọi N là trung điểm của AB ,K là điểm trên CD sao cho :CK=1

3CD.

CM: d(BK,CN)=d(AM,CN)

(Năm 2001-2002)

Bài 1:

Cho bất phơng trình : 2 os3x+(m-1)cos2x+10cosx+m-1 0(1)c ≥

1)Giải khi m=-5

2)Tìm m để (1) thoả mãn 0;

3

x  π 

∀ ∈  

Bài 2:

Giải phơng trình : log ( osx-sinx)+log ( osx+cos2x)=0x 1

x

B i 3: à

Giải phơng trình : 1 2 4 2 2

x x x

x

Bài 4:

Biết đa thức : 2001 2000

( )

f x =x +a x +a x a+ có 2001 nghiệm phân biệt , ,và a1996 =1996,a1998=1998.CMR: a1997 >1997.

Bài 5:

1)Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O vuông Đờng cao

2)Có thể chia đa giác lồi đã cho thành một số tứ giác không lồi đợc không?

Hãy chứng minh điều khẳng định của mình

(Năm 2000-2001)

Bài 1:(5,0)

Cho phơng trình sin 4 x+(1-sinx) 4 =m

1)Giải khi m=1

8 2)Tìm m để phơng trình có nghiệm

Bài 2: (6,0)

1)Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác ,còn x,y,z là 3 số thoả mãn : ax+by+cz=0.

CM:xy+yz+zx≤0

2)Cho x≥0, CM: log (1 2 ) log (3 2 + x > 3 x+ ( 2) )x

Bài 3:(4,0)

Cho a1,a2, ,an(n>3)là các số thực thoả mãn : 2 2

;

CM: Max{a a1 , , , 2 a n} ≥ 2, với n≤ 3 thì kết luận trên cò đúng không ?

Bài 4:(4,0)

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' với AA'=2AB=8a, E là trung điểm của cạnh AB và

M là điểm trên cạnh DD' sao cho :DM= (1a AD)

AC

+ ,F là điểm di động trên cạnh AA' 1)Tìm vị trí điểm F trên cạnh AA'sao cho CF+FM có GTNN

2)Với điểm F thoả mãn điều kiện câu1.

Hãy tính góc hợp bởi mặt phẳng (D,E,F) và (D,B,C).

3)Với giả thiết điểm F thoả mãn câu1, và AàCD.Tính VABCDA'B'C'D'

Bài 5:(1,0)

Tìm các số nguyên dơng a,b,c và k thoả mãn : c b a 1

ab bc ca a b c kabc

> > ≥



 + + + + + =



(Năm 1999-2000)

Bài 1:

1)Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có nghiệm là cos720 và

cos1440

2)Tìm m sao cho ∀a>0 thì phơng trình : 2

2 8

(1 ) log x x 2 3log (1 )

a m+ − − = − −x x ,có

nghiệm dơng <1

2 Bài 2:

Cho 0<x1<x2<π CMR:

sinx sinx

> . Bài 3:

Tìm hàm số y=f(x) biết rằng f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1,∀x,y∈R Bài 4:

Cho hình chóp đều (P),đáy là đa giác đều n cạnh có diện tích bằng diện tích mỗi mặt bên

Đối với mỗi điểm M ở bên trong hình chóp (P) ngời ta đựng (n+1) hình chóp

đồng dạng với (P) mà mỗi đáy của chúng tơng ứng thuộc một mặt của (P) còn đỉnh là M Hãy tìm vị trí M để tổng diện tích các mặt của (n+1) hình chóp đó nhỏ nhất

Bài 5:

Xét tập hợp E={2001,2002,2003, ,2000+n}.Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất để tập hợp E có tính chất sau: "với mỗi tập hợp con tuỳ ý của E thì trong hai tập hợp A và E\A bao giờ cũng có ít nhất một tập hợp chứa ba phần tử

(Năm1998-1999) Bài1:

Cho Elíp (E) có phơng trình : 2 2 1

x + y = Xét các điểm A(-3,0); B(3,0);

M(-3,a);N(3,b) trong đó a,b là số dơng thay đổi

1)Xác định toạ độ giao điểm I=AN∩BM

2)CMR:Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng MN tiếp xúc (E)là ab=4

3)Khi a,b thay đổi nhng sao cho đờng thẳng MN tiếp xúc với (E) thì giao

điểm I nằm trên đờng thẳng nào?

Bài 2:

Tìm miền giá trị của hàm số f:R→R,f(x)= 3 2sinx

1 cosx 1 cosx

+

Bài 3:

Giả sử k Là số nguyên và P(x) là đa thức : P(x) = x1999-x1997+x2-3kx+3k+1 1)CMR:đa thức P(x) không có nghiệm nguyên

2)CM: các số P(n) và P(n)+3 là nguyên tố cùng nhau đối với ∀n∈Z

Bài 4:

Giả sử S là điểm nằm nhoài mặt phẳng hình bình hành ABCD sao cho các tam giác :SAB,SBC,SCD,SAD tơng đơng >

1)CM:ABCD là hình thoi

2)Nếu khoảng cách từ S đến mf(ABCD) là 12,BD=30,AC=40.Tính khoảng cách từ hình chiếu ⊥ của điểm S trên (ABCD) tới mf(SBC)

Bài 5:

Trong mf cho VABCvà một điểm M thay đổi ở trong tam giác Gọi A,B,C lần lợt là hình chiếu ⊥ của điểm M trên các đờng thẳng BC,CA,AB Hãy xác

định vị trí của điểm M khi :MA.MA=MB.MB=MC.MC

(Năm 1997-1998)

Bài1 :

Cho (P) có phơng trình : y2=6x

1)Tìm tiêu điểm và đờng chuẩn của (P)

Cho điểm K(1,-1).Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua K cắt (P)tại A,B sao cho K là trung điểm của đoạn thẳng AB

Bài 2:

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Xét các số x,y,z thoả mãn

x+y+z=

2

π .Tìm GTLN của biểu thức :F x y z( , , )= sinx sin sin

a

B i 3 à :

Giải và biện luận phơng trình :ax4+(a+1)x3+(a2+2)x2+(a+1)x+a=0

Bài 4:

Giả sử 0<α≤2 và a1,a2, ,là dãy số thực dơng thoả mãn:

a nα≥ an-1+an-2+ +a1,∀n≥2

Bài 5:

ChoVABC,gọi G là điểm ∉(ABC),M là điểm ∈miền tam giác ABC

Các đờng thẳng đi qua M//GA,GB,GC theo thứ tự cắt các mặtphẳng(GBC), (GCA),(GAB) tại A1,B1,C1.CMR: GM đi qua trọng tâm của tam giác A1B1C1