Thị học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 12 đề thi và đáp án chi tiết trung học phổ thông Nông Cống II

Thị học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 12 đề thi và đáp án chi tiết trung học phổ thông Nông Cống II

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A

(Thời gian làm bài 180 phút)

Bài 1: (7 điểm)

1) Xét tính đơn điệu của hàm số: y=3 2

) x 3 2 (  (x-5)

2) Cho hàm số y=

2 x

c bx

ax 2







Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 và đờng tiệm cận

xiên của đồ thị vuông góc với đờng thẳng y=

2

x

1 

3)Giải bất phơng trình:

2

x x

2   +2x > 2x.3x 2

x x

2   + 4x2.3x

Bài 2: (4 điểm)

Trong tất cả các nghiệm của bất phơng trình: log x 2 y 2 ( x  y )  1



Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất

Bài 3(5 điểm)

Giải phơng trình:

x 1 2 ) x 1 ( ) x 1 ( x 1

2) sin3x.(1- 4sin2x) =

2 1

Bài 4:(4 điểm)

ABC là tam giác đều cạnh a Trên đờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S với AS = h

1) Hy là đờng thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax thì đờng thẳng Hy luôn luôn đi qua một điểm cố định

2) Hy cắt Ax tại S' Xác định h theo a để SS' ngắn nhất

Hớng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi

Lớp 12

Bài 1:

Câu 1: (2 điểm)

điểm

y'= (-3)

3

2

3 1

) x 3 2 (   (x-5) + 3

2

) x 3 2

điểm

=

3

x 3 2

3

30 x

6







+ 3(2-3x) =

3

x 3 2

12 x 5







0,25

điểm

Điểm tới hạn: x=

3

2

; x=

5

12

0,25

điểm

x - 2/3 12/5 +

điểm

Hàm số đồng biến trong khoảng (-; 2/3) (12/5; +) 0,25

điểm

Hàm số nghịch biến trong khoảng (2/3; 12/5) 0,25

điểm

Câu 2: (2 điểm)

Đờng tiệm cận xiên có hệ số góc k =

2 x

c bx ax lim

2





điểm

Đờng tiệm cận xiên vuông góc với đờng thẳng y=

2

1 x 2

1





điểm

Xét y=

2 x

c bx

x 2







2

) 2 x (

c b 2 x x

2









0,25

điểm

Để hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 điều kiện cần là:

 y ( 1 )   ( 2  b  c )  1 0,5

điểm

=> 







 0 c

3 b

0,25

điểm

Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số

y=

2 x

x 3 x

2 2



điểm

điểm

Câu 3: (3 điểm)

Bất phơng trình trở thành:

x x

2   +2x)(1-2x.3x)>0 (*) 0,5

điểm

Tập xác định: -2 x

3

1

0,25

điểm

(*) 



























0 3 x 2 1

0 x 2 x 3 x 5 2 ) II (

0 3 x 2 1

0 x 2 x 3 x 5 2 ) (

x 2 x 2

0,5

điểm

Xét hệ (I): Giải (1) ta đợc -1< x  1/3 0,5

điểm

Đặt f(x) = 1-2x.3x ta thấy:

điểm

Khi 0<x 1/3  3 3

1 x

3 3 3

3 1

3

1 2 3 x 2

Do đó f(x) =1-2x.3x > 0

Nghiệm của (I) là:

3

1 x

1  

điểm

Xét hệ (II): Giải (3) ta đợc  2x1 0,25

điểm

Nhng f(x) = 1-2x.3x > 0 x 0 nên bất phơng trình (4) không

thỏa mãn với những giá trị của x thuộc khoảng nghiệm của (3)

điểm

Tóm lại, bất phơng trình đã cho có nghiệm

3

1 x

1  

điểm

Bài 2: (4 điểm)

) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 (

Xét 2 trờng hợp:

+TH1: x2+ y2 > 1 khi đó dễ thấy bất phơng trình

1 ) y x ( log x 2y 2   (1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9) 0,5 điểm

Ta có (1)  x+y x2+ y2  x+2y  x2 + y2 + y (2) 0,5 điểm

Gọi S= x+2y  x=S - 2y thay vào (2) ta đợc

S(S-2y)2 +y2+y  5y2 -(4S-1)y +S2 - S  0 (3) 0,5 điểm

Bất phơng trình (3) có nghiệm nên ta phải có 0,

Vậy

2

10 3 S 2

10





Với S =

2

10

3  thì = 0 khi đó (3)  y=

10

2 2

1 10

1 S 4







0,25

điểm

Suy ra x= S -2y =

10

2 2

1

 (thỏa mãn x2+ y2 > 1) 0,5 điểm

+TH2: 0< x2 + y2 < 1 Khi đó (1)  0 <x+y<x2+y2

=> S=x+2y < x2+y2+y<1+1=2<

2

10

3  (do x2 + y2 < 1, y  1) 0,5 điểm

Tóm lại: với nghiệm















10 2 2

1 y

10 1 2

1 x

thì tổng x+2y lớn nhất 0,25

điểm

Bài 3: (5 điểm)

điểm

x 1 2 ) x 1 ( ) x 1 ( 2

x 1 x 1 2

x 1





















2

x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2

x 1 x

1



































   

0,75đ

 1+x-1+x = 2 x=

2

Câu 2: (2 điểm)

Vì cosx=0 không phải là nghiệm của phơng trình:

Vì cosx=0 => x= k 

2  thì sin3( k 

2  ).[1-4sin2( k 

2  )]

2

1

0,25

điểm

Nhân hai vế của phơng trình với cosx ta đợc:

Sin3x.(cosx - 4sin2x.cosx) =

2

1

cosx

điểm

 sin6x =sin(

2





































2 k x 2 x

6

2 k x 2 x

6























5

2 k 10 x

7

2 k 14 x









Bài 4: (4 điểm)

a) (2 điểm)

Gọi I là trung điểm của BC, ta có AI  BC, SA  mp(ABC)

Nên SI  BC (định lý 3 đờng vuông góc) 0,5 điểm

Kẻ CL  SB thì SI  CL = H

Gọi J là trung điểm của AB; O là trực tâm của ABC

Ta có CJ  mp(SAB) => CJ  SB (1)

Mặt khác CL  SB (2)

Vì OH trong mp(SAI) nên OH  BC => OH  mp(SBC) 0,5 điểm Hay OH là đờng thẳng Hy Vậy Hy luôn luôn đi qua điểm O cố định 0,5

điểm

b) (2 điểm)

Xét SIS' ta có IA  SS', S'H  SI

Nên AS.AS' = AI.AO => AS' =

h 2

a 2

0,5 điểm

Vậy SS' = SA + AS' = h+

h 2

a 2



2

a

điểm

A

B

C S

' S

I J

O h

x

Dấu "=" xảy ra khi h=

h 2

a => h=

2

2

điểm

Chú ý:

1)Bài hình không có hình vẽ thì không chấm

2)Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì ngời chấm cho điểm tơng ứng phần đúng đó.