Bồi dưỡng học sinh giỏi Tỉnh môn Toán lớp 12 (hot)

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI SỞ GD& ĐT NGHỆ AN DUC THO HA TINH TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010 MỤC LỤC PHẦN I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨ C III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI Trang DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Các diễn đàn : www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn ,… Đề thi HS G Quốc Gia, Đề thi HSG Tỉnh – Thành Phố nước, Đề thi Olympic 30 -4 Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến ) Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GI ẢI … ( Trần Phương - Lê Hồng Đức ) Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN S Ơ CẤP (Phan Huy Khải ) Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải ) Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng ) 10 Bất đẳng thức – Suy luận khám phá ( Phạm Văn Thuận ) 11 Những viên kim cương Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương ) 12 340 toán hình học không gian ( I.F Sharygin ) 13 Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam ) 14 … số tài liệu tham khảo khác 15 Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa đường link đến chuyên mục website MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM Tìm giá trị tham số m để hàm số : y =−2x + + m x2 − 4x + có cực đại ĐS : m < -2  + xsin2 x − 1, x =/ Cho hàm số : f(x) =  Tính đạo hàm hàm số x = chứng minh hàm số đạt cực tiểu , x =0  x =0 Tìm cực trị hàm số := y f(x) = | x | ( x − 3) ĐS : x =0 ; x=1 Xác đị nh giá trị tham số m để phương trì nh sau có nghiệm thực : a) ( 4m − 3) x + + (3m − ) − x + m − = ĐS : ≤ m ≤ b) c) x2 + − x = m ĐS : < m ≤ m ( ) + x2 − − x2 + = − x + + x2 − − x2  x2 + y = Xác đị nh số nghiệm hệ phương trình :  ĐS : log3 x log y =  x2 + y −x2 e =  ĐS : (x,y)=(7;7) Giải hệ phương trình :  y2 + 3log (x + 2y= + 6) 2log (x + y + 2) +  y −1  x + x − 2x + 2= + Giải hệ phương trình :  y + y − 2y + 2= 3x−1 + ( )  + 42x−y 5y −2x+1 = 22x−y +1 +  Giải hệ phương trình :   y + 4x + ln y + 2x + = Giải phương trình : ( x − 3) log3 (x − 5) + log5 (x − 3) = x +2 10 Giải bất phương trì nh : ( ) (x + 2)(2x − 1) − x + ≤ − (x + 6)(2x − 1) + x + ĐS : 11 Giải bất phương trì nh : 3 − 2x + ( 2x − ) − 2x ≤ 12 Giải phương trình : 3x + 9x + + ( 4x + 2) 13 Giải phương trình : x3 − 4x − 5x += ( ≤ x ≤7 ) + x + x2 + = 7x + 9x − 2 xy − y + x + y = ĐS : m ∈ 1;  14 Tìm m để hệ phương trì nh sau có nghiệm :    x y m − + − =    15 Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực : x + x − m x + + x ( x − 1)  = x −1    x + + y + = 16 Tìm m để hệ có nghiệm:  m x y + + y x + + x + + y + = ( ) 17 Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại x1 ;x2 CMR: f '''(x)  f ''(x)  , ∀x ≠ x1 ,x2 < f '(x)  f '(x)  18 Cho hàm số : f(x) = cos2 2x + 2(sin x + cosx)3 − 3sin2x + m Tìm m cho f (x) ≤ 36, ∀ m 19 Trong nghiệm(x;y) BPT : log x2 +y2 ( x + y ) ≥ Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN 20 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trì nh : 2009 x ( ) x +1 - x = ĐS : x=0 21 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Tìm m để hệ phương trình s au có ba nghiệm phân biệt : m  x + y = 3 ĐS : m ≥  2 ( y + ) x + xy = m ( x + ) MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM  x − y = 240 22 Giải hệ PT :  3 2 x − 2y = x − 4y − ( x − 8y ) x + x3 y + 9y = y x + y x2 + 9x 23 Giải hệ phương trình :  ĐS : (x,y)=(1;2) 3  x y − x = ( ) ( ( ) )  4x + x + ( y − 3) − 2y = 24 Giải hệ phương trình :  4x + y + − 4x = 2 xy − y + x + y = 25 Tìm m để hệ phương trình s au có nghiệm :  ĐS : m ∈ 1;    m  − x + − y =   26 Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực : x + x − m x + + x ( x − 1)  = x −1   3( x + )2 + y − m = 27 Tìm m để hệ phương trình :  có ba cặp nghiệm phân biệt x + xy = ( )  x + x2 − 2x + 2= 3y −1 + 28 Giải hệ PT :  y + y − 2y + 2= 3x−1 + sin x  x −y  e = sin y  29 ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Giải hệ phương trình : sin2x − cos2y = sin x + cosy −   Π  x,y ∈  0;   4  30 Giải phương trình : 16x3 − 24x + 12x − = x 2x y y 2x 2x − − +  1+4 −y +1 + =  31 Giải hệ phương trình :   y + 4x + ln y + 2x + = 32 Giải phương trình : 3x = + x + log3 (1 + 2x ) ( ) ( ) 33 Giải phương trình : −2x3 + 10x − 17x= + 2x 5x − x3 ĐS  x + xy =y + y 34 Giải hệ phương trình :   4x + + y + = 10  x2 + 2x + 22 − y = y + 2y + 35 Giải hệ phương trình :   y + 2y + 22 − x = x2 + 2x + 1  x+ y=   36 Giải hệ phương trình :  y x  x +  = y +    y   x   37 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Giải phương trình : (5x − 6)2 − Lời giải : ĐK : x > 5x − = x2 − x −1 4x − =0 ⇔ x = (x − 1)(5x − 7)  x − + 5x −    1 Cách : Viết lại phương trình dạng : (5x − ) − x2 − = (5x − 6) − x −1 Cách : PT ⇔ 6(4x − 6)(x − 1) + Và xét hàm số : f(t) t − = t −1 ,t> MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 38 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Xác định tất gi trị tham số m để BPT sau có nghi ệm : x3 + 3x2 − ≤ m( x − x − 1)3 HD : Nhân liên hợp đưa dạng : ( ) x + x − (x3 + 3x2 − 1) ≤ m 39 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Giải phương trình : HD : PT ⇔ (x + 1)3 + = (x + 1) ( 3x + ) x3 + 3x2 + 4x + 2= (3x + 2) 3x + + 3x + Xét hàm số : f ( t) = t + t ,t > 40 ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Giải phương trình : 2x −= 27x3 − 27x + 13x − HD : PT ⇔ (2x − 1) + 2x − 1= (3x − 1)3 + 2(3x − 1) ⇒ f( 2x − 1) = f(3x − 1) (4x + 1)x + (y − 3) − 2y = 41 ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Giải hệ phương trình :  2 4x + y + − 4x = HD : Từ pt (1) cho ta : [(2x)2 + 1].2x=   ( − 2y ) + 1 − 2y ⇒ f(2x)= f( − 2y )  Hàm số : f(t) (t + 1).t ⇒ f '(t) = = 3t + > ⇒ 2x = − 2y ⇒ 4x =5 − 2y ⇒ y = − 4x 2  − 4x  ( Hàm nghịch biến khoảng ) có Thế vào (2) ta có : 4x +  , với ≤ x ≤  + − 4x =   nghiệm : x =  x + y = (a tham số) 42 ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Cho hệ:   x + + y + ≤ a Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều ki ện x ≥ HD : Đứng trước toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt bi ến muốn quy biến để khảo s át : − x =y ≥ ⇒ x ≤ 16 Đặt t = x , t ∈[3;4] khảo s át tìm Min ĐS : a ≥ + 2 43 Giải hệ phương trình : y − 4x + 2xy −2x+4 =  x 3 y 2 + x = y + 44 Xác định m để bất phương trình s au nghi ệm với x : (e sinx ) − e + − 2esinx esinx − (e − 1)sinx − 1 ≤ 45 ( Đề thi HS G Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) Giải PT : log 2+ (x − 2x = − 11) log 2+ (x2 − 2x − 12) 46 Định giá trị m để phương trình sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + + (3m − ) − x + m − =  y −x2 x + =  e 47 (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) Giải hệ phương trì nh sau:  y +1 3log (x + 2y= + 6) 2log (x + y + 2) +  48 Các toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm : −x   Cho f(x) =  (x2 + 1)e , x > Tìm a để tồn f’(0)    −x − ax + 1, x ≤ acosx + bsin x, x ≤ Cho F(x) =  Tìm a,b để tồn f’(0)  ax + b + 1, x <  x2 x2 x ln x, x >  ln x − , x > f(x) =  CMR : F'(x) = f(x) F(x) =   0, x =  0, , x =  Cho f(x) xác định R thỏa mãn điều kiện : ∀a > bất đẳng thức sau ∀x ∈ R : | f(x + a) − f(x) − a |< a2 Chứng minh f(x) hàm MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM  Tính giới hạn : N1 = limπ x→  Tính giới hạn : N3 = lix→m0 Tính gi ới hạn : N2 = lim x + x + − + x3 x esin 2x − esinx x→0 sin x Tính giới hạn : N4 = lim Tính giới hạn : N6 = lim sin10x 4x − x Tính giới hạn : N8 = lim x→0 x−32 sin 3x sin2x  Tính giới hạn : N7 = lim e − e x→0  e−2x − + x2 x→0 ln(1 + x )  Tính giới hạn : N5 = lim x + − x→0  Tính giới hạn : N9 = lim x→0 e−2x − + x2 x→0 ln(1 + x ) tanx − 2sin2 x − sin4x 32x − cos4x 3x + sinx − − sinx Cho P(x) đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt x1 ; x ; x3 x n Chứng minh đẳng thức sau : P''(x1 ) P''(x ) P''(x n ) + + + = P'(x1 ) P'( x2 ) P'(x n ) a)  1 + + + = P'(x1 ) P'(x ) P'(x n ) b) Tính tổng sau : a) Tn (x) = cosx + 2cos2x + + ncosnx b) c) d) Tn= (x) CMR : x x x tan + tan + + n tan n 2 2 2 2.1.C2n + 3.2.C3n + + n(n − 1)Cnn= n(n − 1).2n−2 Sn (x) = s inx + 4sin2x + 9sin3x + + n2sinnx 2x + 2x + 2x + (2n − 1) + + + 2 2 x (x + 1) (x + 1) (x + 2)  x + (n − 1) (x + n)2 49 Các toán liên quan đến cực trị hàm số : e) = Sn (x) α a n + bn a+b Cho α ∈ R: a + b ≥ Chứng minh :  ≤    b) Chứng minh với a > 3,n ≥ ( n ∈ N,n chẵn ) phương trình s au vô nghiệm : a) (n + 1)x n+2 − 3(n + 2)x n+1 + a n+2 =  x2   x2  c) Tìm tham số m để hàm số sau có cực trị : y = − 3m  + 4m (m + 1)  2 2 1 + x  1 + x   x2 xn   x2 xn  d) Cho n ≥ 3,n∈ N ( n lẻ ) CMR : ∀x = / , ta có : 1 + x + + +  1 − x + − −  < 2! n!   2! n!   e) Tìm cực trị hàm số : y = x + x + + x2 − x + f) g) Tìm a để hàm số : y f(x) = −2x + a x + có cực tiểu = Tìm m để hàm số : y = msin x − cosx − đạt cực trị điểm phân biệt thuộc khoảng mcosx 50 Các toán chứng minh phương trình có nghiệm : a)  9π   0;    Cho số thực a,b,c,d,e Chứng minh phương trình : ax + ( b + c ) x + d + e = có nghiệm thực thuộc nửa khoảng [1; +∞ ) phương trình : ax + bx3 + cx + dx + e = có nghiệm b) Cho phương trình : P( x ) = x5 − 5x + 15x3 − x2 + 3x − = Chứng minh rằng, phương trình có nghi ệm thực MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời điều kiện sau : f(x) a) lim =1 x→0 x b) f ( x + y )= f ( x ) + f ( y ) + 2x + 3xy + 2y , ∀x,y ∈ R ( ) ( ) Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x − f(y)) = f x + y 2008 + f f(y) + y 2008 + 1, ∀x,y ∈ R ( ) Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x + cos(2009y)) = f ( x ) + 2009cos f ( y ) , ∀x,y ∈ R Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời điều kiện sau : c) d) f ( x ) ≥ e2009x f ( x + y ) ≥ f ( x ) f ( y ) , ∀x,y ∈ R Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f = ( x + y ) f(x).ef ( y )−1 , ∀x,y ∈ R ( ) Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f x.f ( x += y ) f(y.f ( x )) + x ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Tìm hàm f :  →  thỏa mãn : f (x) + 2yf(x) + f(y) = f ( y + f(x)) , ∀,x,y ∈ R MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Cho a,b,c ∈ R: a2 + b2 + c2 = Chứng minh : a2b + b2c + c2a ≤ Cho số thực không âm a,b,c Chứng minh : a2b2 ( a − b ) + b2c2 ( b − c ) + c2a2 ( c − a ) ≥ ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) 2 Cho số thực a,b,c Chứng minh : 2 a2 b2 c2 81 a2b 13 + + + ∑ ≥ (a + b + c) b c a (2a + b) 4 Cho số thực không âm a,b,c thoả mãn : a + b + c + 36abc = Tìm Max : P = a7 b8 c9 Cho số thực dương tuỳ ý x,y,z CMR : Cho a,b,c >0 Tìm GTNN : a b c + + ≤ a+b b+c c+a (a + b + c) P= ab2c3 Cho số thực dương x,y,z thõa mãn : x + y + z2 = 10 11 2x − (y − z)2 2y − (z − x)2 2z − (x − y)2 + + yz zx xy bc ca ab a+b+c Cho số thực dương a,b,c CMR : + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 1 1 Cho số thực dương a,b,c CMR : + + ≤ a + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc 1 Cho số thực thỏa mãn điều kiện : CMR : ab + bc + ca ≤ + + = a +2 b +2 c +2 Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2 = CMR : 1 + + ≥3 2−a 2−b 2−c CMR : 12 Cho x,y,z số thực dương tùy ý CMR : x y z + + ≤ x+y y +z z+x a2 b2 c2 4(a − b)2 + + ≥a+b+c+ b c a a+b+c 1 14 Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 CMR : + + ≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) 15 Cho số thực x,y,z thỏa mãn : xyz=1 v ( x − )( y − )( z − ) =/ CMR : 13 Cho số thực dương a,b,c CMR : 2  x   y   z   x −1  +  y −1  +  z −1  ≥       (3a − b + c)2 (3b − c + a)2 (3c − a + b)2 16 Cho a,b,c số thực dương CMR : + + ≥ 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 17 Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = CMR : 1 + + ≤ − ab − bc − ca 18 Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = CMR : 2(a + b + c) ≤ 10 + abc a3 b3 c3 + + ≥ 2 (1 − a) (1 − b) (1 − c)2 20 (Chọn ĐTHS G QG Nghệ An năm 2010 ) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn : 9(a + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 19 Cho a,b,c số thực dương : a+b+c =1 CMR : F= a2 b2 c2 + + b + 2c c + 2a a + 2b MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải : Từ giả thiết : 9(a + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 =0 ⇒ 25(a2 + b2 + c2 ) = 48 + 9(a + b4 + c4 ) ≥ 48 + 3(a2 + b2 + c2 )2 ⇒ 3(a2 + b2 + c2 )2 − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 ≤ ⇒ ≤ a2 + b2 + c2 ≤ Ta lại có : F= 16 a2 b2 c2 a4 b4 c4 (a2 + b2 + c2 )2 + + = + + ≥ 2 b + 2c c + 2a a + 2b a (b + 2c) b (c + 2a) c (a + 2b) (a b + b c + c2a) + 2(a2c + b2a + c2b) Lại có : a2 b + b2c + c2a= a(ab) + b(bc) + c(ca) ≤ (a2 + b2 + c2 )[a2 b2 + b2c2 + c2a2 ] ≤ a2 + b2 + c2 Tương tự : (a2c + b2a + c2b) ≤ a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 (a2 + b2 + c2 )2 a +b +c ≥ Dấu xảy : a=b=c=1 ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN Từ ta có : F ≥ 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có a2 (b + 2c)a2 a2 (b + 2c)a2 2a2 + ≥2 = b + 2c b + 2c b2 (c + 2a)b2 2b2 c2 (a + 2b)c2 2c2 , + ≥ + ≥ c + 2a a + 2b Tương tự a2 b2 c2 + + b + 2c c + 2a a + 2b ≥ a2 + b2 + c2 − a2 (b + 2c) + b2 (c + 2a) + c2 (a + 2b) (*) Lại áp dụng AM – GM, ta có a3 + a3 + c3 b3 + b3 + a3 c3 + c3 + b3 a2c + b2a + c2b ≤ + + =a3 + b3 + c3 (**) 3 Từ (*) (**) suy ra: 2 F ≥ a2 + b2 + c2 − ( a + b + c )(a2 + b2 + c2 ) ≥ a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2 9 F= Suy ra: ( Đặt = t ( ) ( ) ) ( ( ) 25( a + b + c ) − 48= ( a + b + c ) ≥ 3( a + b + c ) ⇒ 3( a + b + c ) − 25( a + b + c ) + 48 ≤ ⇒ ≤ a + b + c a2 + b2 + c2 , từ giả thiết ta có: 2 2 2 4 2 2 ) 3( a ) + b2 + c2 2 Do F ≥ t − t = f(t) với t ∈3;  (* * *) 27 Mà f(t) = f(3) = (* * **) Từ (***) (****) suy F ≥ ≤ 16 t ∈3;4  Vậy minF = xảy a = b= c = 21 ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho số thực dương x,y,z Chứng minh : 1 36 + + ≥ 2 x y z + x y + y z2 + z2 x Lời giải : BĐT cho tương đương với : (9 + x y 2 1 1 + y 2z2 + z2 x2  + +  ≥ 36 x y z )  xy + yz + zx  Ta = có : ( xyz ) (xy)(yz)(zx) ≤     MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ  1   xy + yz + zx  27 ( xy + yz + zx ) 27 Do : = + +   =  ≥ xyz xy + yz + zx (xy + yz + zx) x y z   2 ( ) Lại có : + x y + y 2z2 + z2 x2 = + x y + + (y 2z2 + 1) + (z2 x2 + 1) ≥ 3 + (xy + yz + zx) Nên : ( VT ) 2   27 108  ≥ 3 + (xy + yz + zx) = + + (xy + yz + zx) ≥ xy + yz + zx  xy + yz + zx    ≥ 108  + (xy + yz + zx) =  1296 ⇒ VT ≥ 36  xy + yz + zx   ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN : Bất đẳng thức cần chứng mi nh tương đương (xy + yz + zx)(9 + x2y + z2y +x2z2) ≥ 36xyz Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : xy + yz + zx ≥ 3 x y 2z2 (1) Và 9+ x2y + z2y +x2z2 ≥ 12 12 x y z hay + x2y + z2y +x2z2 ≥ 12 xyz (2) Do vế dương, từ (1), (2) suy ra: (xy + yz + zx)(9 + x2y + z2y +x2z2) ≥ 36xyz (đpcm) Dấu đẳng thức xảy x = y = z =1 22 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho số thực dương x,y thỏa mãn đk : x + y + = 3xy Tìm giá trị lớn := M Lời giải : M = Ta có : 3x 3y 1 + − 2− y(x + 1) x( y + 1) x y Ta có : 3xy = x + y + ≥ xy + ⇒ xy ≥ ⇒ xy ≥ (*) 3x 3y 1 1 3xy(x + y) − (x + y)2 + 2xy 3xy (3xy − ) − (1 − 3xy) + 2xy = + = = + − − y (3x − 1) x (3y − 1) x y y (3x − 1) x2 (3y − 1) x2 y 9xy − 3(x + y ) + 1 4x2 y 23 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho số thực dương a, b, c CMR : a3 b3 c3 a b c + + ≥ + + b3 c3 a3 b c a  a3 a3 a + +1≥3  b  b b HD :   a3 b3 c3 3 ≤ + + b c a  24 ( Đề thi HS G Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) Cho x, y, z ≥ thỏa mãn : x + y + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức : P= 6(y + z − x) + 27xyz y + z2 − x2 HD : P ≤  2(y + z2 ) − x  + 27x =  2(1 − x ) − x  + 27x ( PMax = 10)     2 25 ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Cho a, b,c ≥ 0: a2 + b2 + c2 = Chứng minh : a3 + 2b3 + 3c3 ≥ HD : Có thể dùng cân hệ số Svacxơ 26 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn : xyz = Chứng minh : (x + y )3 (y + z4 )3 (z4 + x )3 + 6 + ≥ 12 x6 + y y +z z + x6 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  10 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải : Đặt = x a;y = b;z = c ⇒ abc = Bất đẳng thức cho trở thành : 2 (a2 + b2 )3 (b2 + c2 )3 (c2 + a2 )3 + 3 + 3 ≥ 12 a3 + b3 b +c c +a Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho số ta có : ( ) ( ) ( (a2 + b2 )3 = a6 + a b2 + a b2 + a b2 + b6 + a2 b4 + a2 b4 + a2 b4 ≥ 4 a6 b6 a3 + b3 ) 27 (Đề thi HS G Tỉnh Đồng Nai năm 2010 ) Cho a,b,c > Chứng mi nh : 1 3(a + b + c) + + ≥ a + b b + c c + a 2(a2 + b2 + c2 ) HD : (a2 + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 )  1  3(a + b + c) BĐT ⇔ + +  ≥ 2 a + b b + c c + a  (a + b)2 28 ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) Cho x,y,z > : x + y + z = Chứng minh : Và ý : a2 + b2 ≥ x + y y + z3 z + x ≥9 + + xy + yz + zx + 29 ( Đề thi chọn ĐT Ninh Bình năm 2010 ) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh 272 : a2 + b2 + c2 + 2abc ≤ 27 HD : Bài chọn phần tử lớn mà đạo hàm a3 b3 c3 30 (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) Cho a,b,c >0 CMR : + + ≥a+b+c bc ca ab a (a2 + b2 + c2 )2 (a + b + c)4 HD : VT = ∑ ≥ ≥ ≥a+b+c abc 3abc 27abc 31 ( Đề thi chọn HS G QG Tỉnh Bình Định năm 2010) Cho x,y,z >0 thỏa mãn : xy + xz = Tìm giá trị nhỏ : S = 3yz 4zx 5xy + + x y z 32 ( Đề thi chọn HS G Thái Nguyên năm 2010 ) Cho số thực x,y,z thỏa mãn điều ki ện : Tìm giá trị nhỏ : P = xyz + + = 1+ x 2+ y 3+z 33 ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) Cho a,b, c > :a2 + b2 + c2 = Chứng minh bất đẳng thức : + + ≤1 − ab − bc − ca 34 ( Đề thi chọn ĐT trường ĐHSP I Hà Nội 2010 ) Cho số thực dương x,y,z Tìm giá trị nhỏ : x y y z z2 x 13xyz P = + + + z3 x y 3(xy + yz2 + zx2 ) Lời giải : a b c 13 x y z Đặt : = a; = b; = c ⇒ abc = Lúc : P = + + + y z x + (a b + c) b c a Ta có : (a + b += c) abc(a + b += c) (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc) ≤ 1 a  a + b2 ≥ b  a b c 1 1 b Lại có :  + ≥ ⇒ + + ≥ + + = ab + bc + ca c a b c b c a b c 1 c  + ≥2 c c a 13 Do : P ≥ (ab + bc + ca) + ( Với ab + bc + ca ≥ ) (ab + bc + ca)2 (ab + bc + ca)2 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 10 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 50 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với AC v chân đường v uông góc hạ từ A đến mặt phẳng (BCD) trực tâm tam 32 ( giác BCD Chứng minh : ( BC + CD + DB ) ≤ AB2 + AD2 + AC2 ) 51 ( Đề thi HS G TP Hà Nội năm 2004 ) Cho tứ diện ABCD DA=a, DB=b, DC=c đôi vuông góc với nhau.Một điểm M tuỳ ý thuộc khối tứ di ện a) Gọi góc tạo tia DM với DA, DB, DC α , β., γ CMR : sin2 α + sin2 β + sin2 γ =2 b) Gọi S A ,SB ,SC ,SD diện tích mặt đối di ện với đỉ nh A, B, C, D khối tư diện Tìm gi trị nhỏ biểu thức: Q = MA.S A + MB.SB + MC.SC + MD.SD 52 ( Đề thi HS G TP Hà Nội năm 2005 ) Hình chóp S.ABC có cạnh bên đôi vuông góc SA =a, SB=b, SC=c Gọi A’, B’, C’ điểm di động l ần lượt thuộc cạnh SA, SB, SC thỏa mãn SA.SA’ =SB SB’=SC SC’ Gọi H trực tâm tam giác A’B’C’ I giao ểm SH với mặt phẳng (ABC) a) Chứng minh mặt phẳng (A’B’C’) song song với mặt phẳng cố định H thuộc đường thẳng cố định b) Tính IA 2+IB2+IC2 theo a, b, c 53 ( Đề thi HS G TP Hà Nội năm 2006 ) Cho tứ diện ABCD có cạnh Các điển M, N chuy ển động đoạn AB, AC s ao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với m ặt phẳng (ABC) Đặt AM=x, AN=y a) Cmr: mặt phẳng (DMN) chứa đường phẳng cố định : x + y = 3xy b) Xác định vị trí M, N để diện tích toàn phần tứ di ện ADMN đạt giá trị nhỏ v lớn nhất.Tính giá trị 54 ( Đề thi HS G TP Hà Nội năm 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có SA làđường cao v đáy hình chữ nhật ABCD, biết SA = a, AB = b, AD = c a) Trong mặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G tam giác SBD đường thẳng cắt cạnh SB M cắt cạnh SD N Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC hình chóp S.ABCD K Xác định vị trí M cạnh SB cho thể tích hình chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Tính giá trị theo a, b, c b) Trong mặt phẳng (ABD), tia At phân giác góc BAD ta chọn điểm E cho góc BED 450 Cmr: AE = ( ) b2 + c2 + ( b + c ) 55 Cho hì nh chóp S.ABCD,đáy hì nh bình hành tâm O Hai mặt bên SAB v SCD vuông góc A C hợp với  = ϕ Chứng mi nh SBC SAD hợp với đáy ABCD góc β thỏa mãn hệ thức : đáy góc α Biết ABC cot= β cot α.cosϕ 56 Cho hình chóp S.ABC,đáy ABC tam giác vuông B với AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; mặt (SAC) hợp với mặt phẳng (SAB) góc α hợp với mặt phẳng (SBC) góc β Chứng minh : SA = acosβ cos[π − (α + β)].cos(α − β) 57 Cho hình chóp S.ABCD cóđáy ABCD hình chữ nhật ; SA vuông góc với mặt phẳng MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 32 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 33 PHẦN VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA Giáo viên đề : Phạm Kim Chung BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 ( Lần thứ ) _ Thời gian làm : 180 phút Câu Giải phương trình : ln ( x + 1) = x + 2x Câu Xác định tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm : 2(x +1)  m2 2x = y + y   m2  2y = x +  x Câu Cho a,b,c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= 4a b + 3c 8c + − a + b + 2c 2a + b + c a + b + 3c Câu Cho dãy s ố ( x n ) ,n∈ N * , xác định sau : x1 = y n = x1 + x + + x n Tìm lim y n n →+∞ xn x n +1 = , ∀n ∈ N * Đặt 2(2n + 1)x n + Câu Cho hình chóp S.ABCD có SA đư ờng cao đáy hình chữ nhật ABCD, biết SA = a, AB = b, AD = c Trong m ặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G tam giác SBD đường thẳng cắt cạnh SB M cắt cạnh SD N Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC hình chóp S.ABCD K Xác định vị trí M cạnh SB cho thể tích hình chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Tính giá trị theo a, b, c Câu Cho hình l ập phương ABCD.A1B1C1D1 có độ dài Lấy điểm E ∈ AA1 cho AE = Lấy điểm F ∈ BC cho BF = phương ) Tìm khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng FEO ( O tâm hình lập Câu Tìm hàm số f : ( 0; +∞ ) → ( 0; +∞ ) thoả mãn : xf ( xf(y)) = f ( f(y)) , ∀x, y ∈(0; +∞ ) Hết Thanh Chương ,ngày 03 tháng 12 năm 2010 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 33 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 34 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Câu Giải phương trình : ln ( x + ) 2(x +1) = x2 + 2x (1) Lời giải : Điều kiện : x > −1 Lúc : PT ⇔ 2(x + 1)ln(x + 1) = x2 + 2x ⇔ 2(x + 1)ln( x + 1) − x2 − 2x = Xét hàm số : f(x) = 2( x + ) ln( x + 1) − x2 − 2x, x > −1 Ta có : f '(x) = 2ln(x + 1) − 2x ; −2x ; −= x +1 x +1 f '''(x) = − < 0, ∀x > −1 (x − 1)2 Lại có := f ''(0) 0, f '''(0) < nên hàm số g(x) = f '(x) đạt cực đại x = Do : f '(x)≤ f ′(0)= 0, ∀x > −1 f ''(x) = Vậy hàm số f(x) = 2( x + ) ln(x + 1) − x2 − 2x nghịch biến khoảng ( −1; + ∞ ) Nhận thấy x = nghiệm phương trình (1), suy phương trình có nghiệm x = Câu Xác định tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau :  m2 2x = y + y   m2  2y = x +  x có nghiệm Lời giải : Điều kiện := x / 0;y =/ 2x2= y y + m2 Hệ cho tương đương với :  (*) x x + m2 2y = Từ hệ (*) nhận thấy vế trái phương trình không âm, nên hệ có nghiệm (x,y) : x > 0;y > x > 0,y >  y= x >   Do : (*) ⇔  2x2 y − y = m2 ⇔ m2 (1) 2x − x = (x − y)(2xy + x + y ) =  Do toán trở thành tìm tham số m để phương trình (1) có nghiệm dương Xét hàm số : f(x) = 2x3 − x2 , ∀x > x = Ta có : f '(x) = 6x − 2x; f '(x) = 0⇔  x =  MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 34 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 35 Nhìn vào bảng biến thi ên ta thấy, phương trình (1) có nghiệm dương : m2 ≥ Vậy với m ∈ R hệ phương trình cho có nghiệm Câu Cho a,b,c > Tìm giá trị nhỏ bi ểu thức : P= 4a b + 3c 8c + − a + b + 2c 2a + b + c a + b + 3c Lời giải :  x = a + b + 2c  a = y + z − 2x   Đặt : y = 2a + b + c ⇒ b = 5x − y − 3z(x,y,z > 0)  z = a + b + 3c  c = z − x   Lúc : ( y + z − 2x ) 2x − y 8(z − x)  4y 2x   4z 8x  + − = +  +  +  − 17 ≥ + 32 −= P= 17 12 − 17 x y z y   x z   x  −4 + t a =    2y = 2x 10 − Dấu “=” xảy :  ⇒ b = t ( t ∈ R,t > 0) 2z = 2x   c = −1 t   ( ) Câu Cho dãy số ( x n ) ,n∈ N * xác định sau : x1 = y n = x1 + x2 + + x n Tìm lim y n n→+∞ xn x n+1 = , ∀n ∈ N * Đặt 2(2n 1)x n + + Lời giải :  xn v1 = 1  , ta có :  ⇒ = 2(2n + 1) + Đặt : v n = un 2(2n + 1)x n + x n+1 xn v = 2(2n + 1) + v  n+1 n (2n + 1)(2n + 3) Dễ dàng tìm công thức tổng quát dãy : v n+1 = 1 1 Do : x n+1 = suy : = − = − v n+1 2n + 2n + 2n + 2(n + 1) + Từ : x n+1=    1  1   yn = x1 + x2 + + x n = x1 +  − 1+  +  2.2 + − 2.3 +  + +  2(n − 1) + − 2n +  = 2.2 2n + + +1         Do : lim y n =lim  − =1 n→+∞ n→+∞ 2n +   Câu Cho hì nh chóp S.ABCD có SA l àđường cao đáy hình chữ nhật ABCD biết SA = a, AB = b, AD = c Trong mặt phẳng (SBD) vẽ qua trọng tâm G tam gi ác SBD đường thẳng cắt cạnh SB M cắt cạnh SD N Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC hì nh chóp S.ABCD K Xác định vị trí M cạnh SB cho thể tích hình chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhỏ Tính giá trị theo a, b, c Lời giải : Do G trọng tâm tam giác SDB, suy G trọng tâm tam giác SAC Do AG cắt SC trung điểm K SC MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 35 36 Đặt : Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN SM SN 1  = x, = y  ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤  SB SD 2  VSANK SA SN SK y VSAKM SA SK SM x Theo công thức tính tỷ số thể tích ta có := Lại có = = ; = VSADC SA SD SC VSACB SA SC SB VSADC == VSACD 1 VSANKM Nên ta có : VSABC abc : VSANK + VSAKM = = 2V x+y abc(x + y) (*) = SANKM = ⇒ VSANKM = VSABCD 12 VSANK VSAKM + VSADC VSACB Ta lại có :  SN    SM     = SN = = SD ySD;= SM = SB xSB; SG SO SD SB       Vì O trung điểm BD nên : 2SO = SD + SB ⇒ SG = SN + SM (1) 3y 3x Mà : M, N, G thẳng hàng nên từ (1) ta có : 1 y 1  + =1 ⇒ x = ≤ y ≤ 1 3y 3x 3y −    y  +y abc   3y −  abc y Thay vào (*) = suy : VSANKM = 24 3y − Xét hàm số : f(y) = Ta có : f '(y) = y2 1  ≤ y ≤ 1  3y −   3y − 2y ; f '(y) = ⇒ y = (3y − 1) Bảng biến thi ên : Nhìn vào bảng biến thi ên ta thấy : Minf(y) = Từ ta có :  y= ⇔ y = ; Maxf(y) = ⇔    y = abc ⇔ MN / /BD abc Min ( VSANKM = ) ⇔ M trung điểm SB, N trung điểm SD Max ( VSANKM = ) Câu Cho hì nh lập phương ABCD.A1B1C1D1 có độ dài Lấy điểm E ∈ AA1 cho AE = F ∈ BC cho BF = Lấy điểm Tìm khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng FEO ( O tâm hì nh lập phương ) Lời giải : Chọn hệ trục tọa độ Ixyz cho I ≡ A(0;0;0);A1 (0;0;1);D(1;0;0);B(0;1;0) MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 36 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 37 1 1 1 1   Lúc : O trung điểm AC nên O  ; ;  ; E  0;0;  ;F  ;1;0  ; B1 ( 0;1;1 ) 3  2 2      3 Mặt phẳng (O EF) qua O nhận véctơ OE,OF  =  ; − ; −  làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình :    24  1 1  1 3 1 x −  −  y − −  −  z −  =0 hay : 8x − 5y − 9z + =   24  2 8 2 Vậy : d ( B1 ;(OEF)) = −5 − + +5 +9 2 = 11 170 Câu Tìm hàm số f : ( 0; +∞ ) → ( 0; +∞ ) thoả mãn : xf ( xf(y)) = f ( f(y)) , ∀x, y ∈ (0; +∞ ) Lời giải : Cho y = 1, suy : xf ( xf(1)) = f ( f(1)) Đặt f(1) = a , ta có : xf(ax) = f(a) (1) 1 , suy : f(1)=f(a) ⇒ f(a)=1 a a Cũng từ (1) cho ta : f(ax) = (2) x a Từ (2) cho ax =⇒ y f(y) = y Từ (1) cho x = Thử lại ta thấy f(y) = a (a > 0) hàm số cần tìm y MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 37 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A Giáo viên đề : Phạm Kim Chung (ĐS>) - Nguyễn Thị Thỏa (HH) 38 BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 ( Lần thứ ) Thời gian làm : 180 phút _ Câu Giải phương trình: 3x + − − 2x − x3 + 3x + 10x − 26 = Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: log x − log y + = 2m −  3  log3 y − log32 x + = 2m − Câu Cho a, b, c dương thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: b c a 1 1 + + ≥ 3 + +  a b c a b c  Câu Cho hàm s ố f(x) = x + ax3 + bx2 + cx + d Ta kí hiệu đạo hàm bậc n ( n nguyên dương ) f(x) f (n) ( x ) Chứng minh f(x) > 0, ∀x ∈ R : F(x) = f ( x) + f (1)(x) + f (2) + f (3)(x) + f (4)(x) > 0, ∀x ∈ R Câu Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác DAB cân và đáy ABC là  = α Gọi β là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DAC ) và ( DBC ) Chứng minh tam giác vuông tại B có BAC rằng: tan α.tan β = + cos2 α cos α Câu Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Với M là một điểm thuộc cạnh AB, chọn điểm N thuộc cạnh D'C' cho AM + D'N = a Tính thể tích khối chóp B'.A'MCN theo a và xác định vị trí của điểm M để khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng ( A'MCN ) đạt giá trị lớn nhất   f(1) =  Câu Cho hàm s ố f :R → R thỏa mãn hệ điều kiện : f(x + y)= f(x) + f(y) + 2xy, ∀x, y ∈ R    f(x)  f = , ∀x =/   x  x Tính giới hạn : L = lim e x →0 2f(x ) − + f (x ) ln (1 + f (x )) -Hết Thanh Chương, ngày 10 tháng 12 năm 2010 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 38 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 39 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Câu Giải phương trình : Lời giải : ĐK : −1 ≤ x ≤ PT ⇔ ⇔ ( ) ( 3x + − − 3(x − 2) + 3x + − − 2x − x3 + 3x + 10x − 26 = ) − 2x − − (x − 2)(x2 − x − 12) = 2(x − 2) − (x − 2)(x2 − x − 12) = 3x + + − 2x +   ⇔ ( x − 2)  + − ( x2 − x − 12) = − 2x +  3x + +  5  Xét hàm số : f(x) = − x2 + x + 12, x ∈  −1;  2         Ta có : f '(x) = −2x + 1, f '(x) = ⇔ x = Suy : Minf(x) = Min f( −1);f   ;f    = f >0  5        −1 ;     5 − (x2 − x − 12) > 0, ∀x ∈  −1;  3x + + − 2x +  2 Vậy phương trình có nghiệm : x = Do : + log x − log y + = 2m −  3 Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm :  log3 y − log32 x + = 2m − Lời giải : ĐK : x,y >  u = log x +  u2 − v= 2m − (1) Đặt :  u ≥ 1,v ≥ ) Lúc hệ PT trở thành :  ( v − u= 2m − (2) v = log3 y + Lấy (1)-(2), ta có : ( u − v )( u + v + 1) = ⇒ u = v ( Do u+v+1 > ∀u,v ≥ ) Lúc toán trở thành tìm m để phương trình : u2 − u= 2m − có nghiệm u ≥ Xét hàm số : f(u) = u2 − u + , ta có : f '(u) = 2u − > 0, ∀u ≥ Và lim f(u) = +∞ u→+∞ Do đó, PT có nghiệm u ≥ 2m = f(u) ≥ f(1) =2 ⇒ m ≥ Câu Cho a, b, c dương thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng : b c a 1 1 + + ≥ 3 + +  a b c b c  a 1 1 1 Lời giải : Ta có : ab + bc + ca = = x,= y,= z ⇒ x + y + z = ( x,y, z > ) Bất đẳng thức abc ⇒ + + = Đặt : a b c a b c cần chứng mi nh trở thành : x y z2 + + ≥ x + y + z2 y z x ( Áp dụng BĐT Svac-xơ ta có : VT = Ta chứng minh : ) x4 y4 z ( x2 + y + z2 )2 + + ≥ x y y z z2 x x y + y z + z2 x ( ) (x + y + z) x2 + y + z2 x + y + z2 ≥ ⇔ ≥ ( x + y + z = 1) x y + y z + z2 x x y + y z + z2 x ⇔ x3 + xy + y + yz2 + zx2 + z3 ≥ 2(x2 y + y 2z + z2 x) (*) Theo bất đẳng thức AM -GM ta có : x3 + xy ≥ x= y 2x y; y + yz2 ≥ y z2 ; z3 + zx2 ≥ z x Cộng BĐT ta chứng minh (*) Vậy : VT ≥ 3(x + y + z2 ) đpcm MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 39 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 40 Câu Cho hàm số f(x) = x + ax3 + bx2 + cx + d Ta kí hiệu đạo hàm bậc n ( n nguyên dương ) f(x) f (n) ( x ) Chứng minh f(x) > 0, ∀x ∈ R : F(x) = f ( x) + f (1) (x) + f (2) + f (3) (x) + f (4) (x) > 0, ∀x ∈ R Lời giải : Ta có : F(x) hàm bậc : lim F(x) = +∞ , phương trình bậc : F’(x)=0 có nghiệm Do x→±∞ hàm số y = F(x) có GTNN gi trị cực tiểu hàm số Giả sử hàm số đạt cực tiểu x = x Lúc : F'(x ) = suy : = F'( x ) = f (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) = F(x0 ) − f (x0 ) ⇒ F(x ) = f(x0 ) > ( Do f(x) > , ∀x ∈ R ) Từ ta có : F(x ) ≥ F(x ) > 0, ∀x ∈ R Câu Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC),tam giác DAB cân và đáy ABC là tam giác vuông tại  = α Gọi β là góc tạo bởi hai mặt phẳng B có BAC Lời giải : ( DAC ) và ( DBC ) Chứng minh rằng : tan α.tan β = + cos2 α cos α Đặt DA = x Gọi K hình chiếu A lên DB, từ K kẻ KH vuông góc với DC H Ta có : DA ⊥ BC  BC ⊥ DB Suy : ⇒ BC ⊥ (DAB) ⇒    AB ⊥ BC BC ⊥ AK  AK ⊥ KH AK ⊥ (DBC) ⇒  ⇒ DC ⊥ (AHK) ⇒ AH ⊥ DC  DC ⊥ AK  = β ⇒ tan β = AK (1) Do : AHK HK BC AB x Trong tam giác ABC : tan= ; α ⇒ BC = AB.tan= α x.tan α ; cos= α ⇒ AC = AB AC cosα Trong tam giác AD C : Trong tam giác ADB : 1 x 2x = + ⇒ AK = (2) : BD = AD2 + AB2 = AK AD2 AB2 x2 xcos α 1 1 cos2 α x2 2 2 ⇒ DH = AD − AH = x − ⇒ DH = = + = + ⇒ AH = 2 2 2 + cos α AH AD AC x x + cos α + cos2 α DH DB BC.DH ( x tan α ) xcos α Xét hai tam giác vuông : DHK ~ DBC ⇒ (3) = ⇒ HK = = HK BC BD + cos2α 2x Từ (1), (2), (3) ta có : ⇒ tan= β AK x 2x + cos2α = ⇒ tan α.tan= β HK x tanα.cosα + cos2α (đpcm) cosα Câu Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Với M là một điểm thuộc cạnh AB chọn điểm N thuộc cạnh D'C' cho AM + D'N = a Tính thể tích khối chóp B'.A'MCN theo a và xác định vị trí của điểm M để khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng ( A'MCN ) đạt giá trị lớn nhất Lời giải : Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, với : A' ≡ O(0;0;0); B'(a,0,0); D'(0;a;0);A(0;0; −a) Đặt= AM x ( ≤ x ≤ a ) ⇒ = D'N a − x Lúc ta có :    A ′M = A ′A + AM ⇒ M(x;0; −a) ;     A ′C = A ′B + A ′D + A ′A ⇒ C(a;a; −a)    A ′N = A ′D + D′N ⇒ N(a − x;a;0) Ta lại có : MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 40 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN       VA ′B′MCN = VA ′B′MC + VA ′B′CN = A ′M  A ′B';A ′C  + A ′N  A ′B';A ′C      41    0 a a  1 a3 Mà :  A ′B'; A ′C  = ; ; 0;a2 ;a2 Do : VA ′B′MCN = −a3 + a3 = (đv.tt) =    6  a −a −a a a a    Lại có : A ′M = NC , suy tứ gi ác A’MCN hì nh bình hành Do :   S A ′MCN = A ′M, A ′N  a + a2 (a − x)2 + x 2a2= a a2 − ax + x2 Nên : =   ( ) ( 3VB′.A ,MCN = S A ′MCN d ( B',(A'MCN) = ) a2 = 2(a2 − ax + x ) Dấu “=” xảy : x = ) a2  3a  a  2 +  − ax + x2     4 2 ≤ a a hay M trung điểm AB   f(1) =  Câu Cho hàm số f : R → R thỏa mãn hệ điều kiện : f(x + y)= f(x) + f(y) + 2xy, ∀x,y ∈ R   f   = f(x) , ∀x =/  x x Tính giới hạn : L = lim e x→0 Lời giải : 2f(x ) − + f (x ) ln (1 + f (x )) Từ : f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy ,∀x,y ∈ R (1) Cho x = ⇒ f(y) = f(0) + f(y) ⇒ f(0) = Cho x = y ⇒ f(2x) = 2f(x) + 2x2 (2) Với t ∈ R, t = /0: 1 1 Từ (2) cho x = 2f   + (b) t ⇒ f ( 2t ) = 2f ( t ) + 2t (a) ; Cho x = ⇒ f   = 2t t  2t  2t   f(x)   f(t)   f(2t) f(t) f(2t) (c) Từ f   = , ∀x = t ⇒f  = ;x= 2t ⇒ f   = thay vào (b) ta có : = + / Cho x = x x t 2t t4 8t 2t     t   ( 2t ) f(t) 2f(t) + 2t = + ⇒ 8f(t)= 2f(t) + 2t + 4t ⇒ f(t)= t Hay f(x) = x2 t4 8t 2t Thử lại ta thấy f(x) = x2 thỏa mãn yêu cầu toán − + x2 2x2 Lúc : L = lim e Đặt= et Nên : t ln(1 + x2 ) , x → t → : + x2 = x→0 ln + x2 Từ (a), (c) ta có : ( ) t − et 2−2et − e e e = = L lim lim t →0 t →0 t t 2(et −1) t t t t Xét hàm số : f(t) = e2−2e − e3 , ta có : f(0) = 0; f '(t) = −2et e2−2e − e3 ⇒ f '(0) = − 3 t t f(t) − f(0) e2−2e − e3 Theo định nghĩa đạo hàm : f '(0) = lim lim = ⇒L= − t →0 t → t −0 t MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 41 42 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA Giáo viên đề : Phạm Kim Chung BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 ( Lần thứ ) _ Thời gian làm : 180 phút  π π Câu Tìm m để phương trình : + 2sin2x = m(1 + cos x)2 có nghiệm đoạn  − ;  2  Câu Xác định tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm :  (4x + 1)x + (y − 3) − 2y =  2 m 4x + y + − 4x = Câu Cho số thực dương x,y,z Tìm giá trị nhỏ : = P 13xyz x y y 2z z x + + + x y 3(xy + yz2 + zx2 ) z   x1 = n Câu Cho dãy số ( x n ):  Chứng minh dãy với (y ) = y ∑ n n 2 x n −1 + 4x n −1 + x n −1 i =1 x i  = , ∀n ≥ x n có giới hạn hữu hạn n → ∞ tìm giới hạn Câu Cho n s ố không âm a0 ,a1 , a2 , ,a n −1 có tổng a1 + a2 + + a n −1 > Chứng minh phương trình : x n − a n −1 x n −1 − a n −2 x n −2 − − a1 x − a0 = có nghiệm dương Câu Chứng minh với số tự nhiên n ta có đẳng thức : 2C0n + 3C1n + 4C2n + (n + 1)Cnn −1 + (n + 2)Cnn = (n + 4)2n −1 ( Trong Ckn tổ hợp chập k n ) Câu Cho tứ diện S.ABC , M điểm nằm tứ diện Một mặt phẳng (P) tùy ý qua M cắt cạnh SA,SB,SC A1 ;B1 ;C1 Đặt V, VA , VB , VC thể tích tứ diện SABC,SMBC,SMCA,SMAB Chứng minh : V = V VA V + B + C SA1 SB1 SC1 Câu Cho hình h ộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' , đường chéo AC' = a ( a không đổi ) hợp với đáy ABCD góc α hợp với mặt bên BCC’B’ góc β Tính thể tích V hình hộp ABCD.A'B'C'D' theo a, α , β Khi tứ giác A'D'CB hình vuông, xác định α , β để V đạt giá trị lớn Hết Thanh Chương ,ngày 16 tháng 12 năm 2010 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 42 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 43 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ  π π Câu Tìm m để phương trình : + 2sin2x = m(1 + cosx)2 có nghiệm đoạn  − ;   2 Lời giải :  π π Rõ ràng với x ∈  − ;  + cos x =/ Do  2 phương trình cho tương đương với : x x  π π + 2sin2x = m Đặt t = tan , ∈  − ;  ⇒ t ∈ −1;1 (1 + cosx) 2  4 2t − t 2 + + 2sin2x t )2 + 8t(1 − t ) t − 4t + 2t + 4t + 1 + t + t 2(1 += Ta= có : Suy phương trình cho trở = (1 + cosx)2  − t2  1 +  + t2   thành : t − 4t + 2t + 4t + = 2m (*) Do toán trở thành tìm m để phương trì nh (*) có nghiệm t ∈ −1;1 Xét hàm số : f(t) =t − 4t + 2t + 4t + 1, t ∈ −1;1 Ta có :  t= − ( Với t ∈ −1;1 ) Từ ta có bảng biến thiên : f '(t) = 4t − 12t + 4t + = 4(t − 1)(t − 2t − 1) ⇒ f '(t) = ⇒   t = Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (*) có nghiệm t ∈ ( −1;1) : ≤ 2m ≤ hay ≤ m ≤ (4x + 1)x + (y − 3) − 2y = Câu Xác định tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghi ệm :  2 m 4x + y + − 4x =  x ≤ Hướng dẫn giải : ĐK :  y ≤  Từ pt (1) cho ta : [(2x)2 + 1].2x =   ( − 2y ) + 1 − 2y ⇒ f(2x) = f( − 2y )  Xét Hàm số : f(t) ( t + 1).t ⇒ f '(t ) = = 3t + > ⇒ Hàm số f(t) đồng bi ến R, từ : f(2x) = f (  x≥0  x ≥0  − 2y ⇒ 2x = − 2y ⇒  ⇒ − 4x 4x 2y = −  y =  ) MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 43 44 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN  − 4x  25 Thế vào pt (2) ta có : 4x +  Bài + − 4x = m (*) , với ≤ x ≤  + − 4x = m ⇔ 4x − 6x + 4    3 toán trở thành, tìm m để phương trình (*) có nghiệm x ∈ 0;   4 Xét hàm số : f(x) = 4x − 6x + 25  3 + − 4x , x ∈ 0;  Ta có :  4 4  3 f= '(x) 16x3 − 12x = − 4x(4x − 3) − < 0, ∀x ∈ 0;  − 4x − 4x  4 Do yêu cầu toán tương đương với : 265   25 Minf(x) ≤ m ≤ Maxf(x) = f = = f ( 0= +2 )  64  3  3 4 0;  0;   4 ( Chú ý : Tham khảo thêm Câu 41 Phần I )  4 Câu Cho số thực dương x,y,z Tìm giá trị nhỏ : HD : Xem lời giải : Câu 34 Phần III = P x y y z z2 x 13xyz + + + z3 x y 3(xy + yz2 + zx2 )   x1 = n  Chứng minh dãy với có giới hạn hữu Câu Cho dãy số ( x n ):  (y ) y = ∑ n n 2 x n−1 + 4x n−1 + x n−1 i=1 x i  , ∀n ≥ = x n hạn n → ∞ tìm giới hạn HD : Xem lời giải : Câu 20.Phần IV Câu Cho n số không âm a0 ,a1 , a2 , ,a n−1 có tổng a1 + a2 + + a n−1 > Chứng mi nh phương trình : x n − a n−1 x n−1 − a n−2 x n−2 − − a1 x − a0 = có nghiệm dương Lời giải : Khi x>0 , ta có : PT : x n − a n−1 x n−1 − a n−2 x n−2 − − a1 x − a0 = ⇔ a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + + a1 x + a0 = xn a a a a a a n−1 a n−2 a Xét hàm số : f(x)= n−1 + n2−2 + + n1−1 + 0n , khoảng (0; + ∞ ) , ta có : + + + n1−1 + 0n = x x x x x x x x na a 2a f '(x) =− n2−1 − n3−2 − − n+01 < 0, ∀x > ( Do a0 ,a1 , a2 , ,a n−1 không đồng thời ) x x x Từ ta có bảng biến thiên : ⇔ Nhìn vào bảng biến thi ên ta thấy, phương trình : f(x)=m có nghiệm dương m >0 Do phương trình f(x) = có nghiệm dương MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 44 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN Câu Chứng minh với số tự nhiên n ta có đẳng thức : 2C0n + 3C1n + 4C2n + (n + 1)Cnn−1 + (n + 2)Cnn = (n + 4)2n−1 ( Trong Ckn tổ hợp chập k n ) Lời giải : (1) Khai triển : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x + + Cnn x n ⇒ x (1 + x)n = C0n x + C1n x3 + C2n x + + Cnn x n+2 45 Lấy đạo hàm vế (1) ta : 2x(1 + x)n + nx (1 + x)n−= 2xC0n + 3x 2C1n + + (n + 2)x n+1Cnn n−1 Từ đẳng thức (2), cho x = , ta có : (n + 4)2 = 2C + 3C + 4C + (n + 1)C n n n n−1 n (2) + (n + 2)C (đpcm) n n Câu Cho tứ diện S ABC M điểm nằm tứ di ện Một mặt phẳng (P) tùy ý qua M cắt cạnh SA, SB, SC A1 ;B1 ;C1 Đặt V,VA ,VB ,VC thể tích tứ diện SABC,SMBC,SMCA,SMAB Chứng minh : V = Lời giải : SA SB SC VA + VB + V SA1 SB1 SC1 C VSABM SA SB SM SM = = ; VSABS1 SA SB SS1 SS1 Gọi S= SM ∩ (ABC) Theo công thức tính tỷ số thể tích ta có VSA1B1M VSABS1 = Tương tự ta có : VSB C M = 1 VSA1B1C1 VSA B M SA1 SB1 SA1 SB1 SM SA1 SB1 ⇒ 11 = ⇒ VSA1B1M= V (1) SA SB SS1 VSABM SA SB SA SB C SB1 SC1 SA1 SC1 = VA (2) ; VSA1C1M V (3) SB SC SA SC B SA1 SB1 SC1 (4) VSABC SA SB SC Từ (1), (2), (3) ta có : SA1 SB1 SA1 SC1 SB SC VSA1B1C1 = VSA1B1M + VSB1C1M + VSA1C1M = VC + VB + VA (5) SA SB SA SC SB SC Từ (4), (5) suy : Lại có : = SC SA SB SA1 SB1 SA1 SC1 SB SC SA1 SB1 SC1 = V VC + VA + V đpcm VC + VB + VA ⇒ V = SC1 SA1 SB1 B SA SB SA SC SB SC SA SB SC Câu Cho hì nh hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' đường chéo AC' = a ( a không đổi ) hợp với đáy ABCD góc α hợp với mặt bên BCC’B’ góc β Tính thể tích V hình hộp ABCD.A'B'C'D' theo a, α , β Khi tứ gi ác A'D'CB hình vuông xác định α , β để V đạt giá trị lớn Lời giải : Ta có : Hình chiếu AC’ lên mp(ABCD) AC , lên   mp(BCC’B’) BC’ : C ′AC = ′B = α;AC β Xét tam gi ác vuông : CAC’ v BAC’ ta có : CC' = AC'sin α =a.sin α ; AB = AC'.sin β =asinβ ; = BC' AC'.cos = β a.cosβ ⇒= BC Do : C'B2 − C'C = a cos2β − sin2 α V= C'C.CB.BA = a3 sin α.sinβ cos2 β − sin2 α (đvtt) ABCD.A ′B′C′D′ Tứ giác A’D’CB l hình vuông : A’B=A’D MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 45 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 46 ⇔ AB2 + A'A = A'D' ⇒ sin2 α + sin2 β = cos2β − sin2 α ⇔ 2sin2α = cos2β − sin2 β (1) Từ ta có : VABCD.A ′B′C′D′ = a3 sin α.sin = β cos2β − sin2α a3 Áp dụng BĐT AM-GM ta có : Dấu “=” xảy ⇔ sinβ= Vậy : V= Max a3 − 2sin2 β sin2 β sin2 β.(1 − 2sin2 β) = ⇒ β= 300 β a = sin β.(1 − 2sin β) (*) (1 − sin β ) − − 2sin 2 2sin2 β.(1 − 2sin2 β) 2 ≤ 2 1 2sin2 β + (1 − 2sin2 β) = 2 2 ⇔ α = β = 300 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 46 [...]... f(1) = 4 43 ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) Cho x , y,z ≥ 0 :x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của : P= 1−x 1−y 1−z + + 1+ x 1+ y 1+z ) ( 1−x x2 ≥ (1 − x) ⇔ 1 − x 1 − 1 − x2 ≥ 0 ⇔ 1 − x ≥ 0 ( luôn đúng ) 1+ x 1 + 1 − x2 Thiết lập các BĐT tương tự ta có : P ≥ 2 Lời giải 1 : 4 1−x 1−y 1−x −y 2 , x + y ≤ và MaxP= 1 + + ≤1+ 1+ x 1+ y 1+ x + y 5 3 44 ( Đề thi HS G lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) ... p.kimchung@gmail.com Tr 18 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ 19 a1 = 1   12 ( Đề thi chọn ĐT HS G QG KonTum năm 2010 ) Cho dãy số thực {a n } xác định như sau :  1 a n + (n ≥ 1) 1 a n+= a n  a Chứng minh rằng : lim n = 2 n→+∞ n xn 13 ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Dương năm 2006 ) Cho dãy số thực x1 = 2006; x n+1 = 3 + Tìm lim x n x→+∞ x2n − 1 14 ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2008 ) Cho dãy số {x n } thỏa mãn : n... dài đoạn thẳng MN = = 12 Cho tứ diện ABPM thoả mãn các đi ều kiện : AM ⊥ BP; MAB ABP 900 ; 2AM.BP = AB2 Chứng minh rằng mặt cầu đường kí nh AB tiếp xúc với PM 13 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho điểm O cố địn h và một số thực a không đổi Một hình chóp 0  0   90 ; ASB S.ABC thay đổi thỏa mãn : OA = OB = OC = a; SA ⊥ OA;SB ⊥ OB;SC ⊥ OC= = ; BSC 60 = ;CSA 120 0 Chứng cho PQ tiếp xúc... Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 25 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 16 ( Đề thi HS G Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2008 ) Cho tứ diện ABCD có các cạ nh AB=BC=CD=D A=a , = AC x;= BD y Giả sử a không đổi, xác định tứ di ện có thể tích lớn nhất 17 ( Đề thi HS G Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2009 ) Cho khối tứ di ện ABCD có thể tích V Điểm M thuộc miền trong tam giác... (*) x n−1 n3 − n  n   n + 1    n − 1 2  n − 2 2  2 2   n n − 1 3  12 4       xn = ⇒ =    2 2 4  n (n + 1) n (n + 1)  n   n − 1   3    n + 1 n xn x n x n−1 x3 = = x2 x n−1 x n−2 x2 4(n + 1)3 Do = đó : limUn lim = 4 n2 (n + 1) x0 > 0   Chứng minh dãy có giới hạn v à 9 ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 ) Cho dãy {x n } :  x n (x2n + 3) x , ∀n ≥ 0 = 2  n+1... giải 2 : Ta có : ab2 + ab2 + bc2 ≥ 3 3 (a2 b2c2 )b3 = 3b 39 ( Chọn ĐT HS G QG tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) Cho a,b,c > 0 Chứng minh bất đẳng thức : 3 2 2 2  a  3  b  3  c  33 2  b+c  + c+a  + a +b ≥ 2       2 2 b+c b+c a 1  a   b+c + ≥ 3 3 2  ⇒ 2(a + b + c) ≤ 3 3  b + c  a a 3 2   a   40 ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Cho 3 số dương a,b,c thay đổi Tìm giá trị lớn nhất... n+1 − x = x n (x n − 1) ⇒ = 2010 = 2010  −  n) +1 (x n − 1)(x n+1 − 1) x 1 x x n+1 − 1 − n+1 − 1   n x1 = 1   x123 x23  x23  2 n 24 16 ( Bài tương tự ) Cho dãy số : (x n ):  Tìm giới hạn lim + + +   xn  x n+1   x 2 x3 x n+1 = + x n , n ∈ N *  24 17 ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ) Đặt f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 với n là số nguyên dương Xét dãy số : x n+1 − x n được rằng... DÃY SỐ  (n ≥ 1)  Chứng minh dãy hội tụ và tìm lim bn n→+∞ MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 23 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 24 PHẦN V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1 Cho hình chóp tam giácđều có thể tích là 1 Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp 2 Cho tứ diện ABCD có : AB=a; CD=b ; góc giữ a AB và CD bằng α ... z) z + (x + z)(y + z) 65 Cho a,b,c > 0 :abc = 1 CMR: 67 ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ) Cho a,b,c > 0 CMR : a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 a +b b +c c +a MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 14 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 15 68 ( Đề thi HS G Tỉnh Thái Bình năm 2009 ) Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x 2 + y 2... Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 24 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 25 ⇒ 1 1  1 = + 2  BM 2 2 AB BC ⇒ thức :  1 1 1  = +  BM2 OB2 BS2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ⇒ + =+ ⇒ 3a2 = 2x2 ⇒ x = a + =+ 2 2(x2 − a2 ) x2 − a2 a2 x2 − a2 AB2 BC2 OB2 BS2 14 ( Đề thi HS G Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) Cho hình chóp S.ABCD cóđáy ABCD là hì nh chữ nhật , AB = a ; BC = a 2 Cạnh

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	1,33 MB