de tuyen sinh lop 10 mon toan chuyen toan nam 2021 2022 so gddt ha noi

Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Giải chi tiết đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Toán Sở Giáo Dục Hà Nội Nguyễn Duy Khương - Hà Huy Khôi - Trần Quang Độ - Nguyễn Đức Toàn - Nguyễn Văn Hồng Câu 1 Giải phương trình x2 + x + − x + = Cho ba số thực a, b c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh: b−c c−a a−b + + =0 + c + a2 + b Lời giải 1) Ta có: x2 + x + − x + = ⇔ x2 + x+1 −2 x+1+1 = ⇔ x2 + ( x + − 1)2 =   x=0 ⇔   x+1 = ⇔x = Vậy x = nghiệm thỏa mãn đề 2) Ta có: + a2 = ab + bc + ca + a2 = b(a + c) + a(a + c) = (a + b)(a + c) Làm tương tự ta có: + b2 = (b + a)(b + c) + c2 = (c + a)(c + b) 13/6/2021 Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Áp dụng vào ta được: a−b b−c c−a a−b b−c c−a + + = + + + c2 + a2 + b2 (c + a)(c + b) (a + b)(a + c) (b + a)(b + c) (a2 − b2 ) + (b2 − c2 ) + (c2 − a2 ) = (a + b)(b + c)(c + a) =0 Câu Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 + 5x y + 6y2 + x + 2y − = Chứng minh với số nguyên n, số n2 + n + 16 không chia hết cho 49 Lời giải Xét phương trình: x2 + 5x y + 6y2 + x + 2y − = ⇔(x + 2y)(x + 3y) + (x + 2y) = ⇔(x + 2y)(x + 3y + 1) = Ta có bảng trường hợp sau: x+2y -1 -2 x+3y+1 -2 -1 x -2 y -2 -2 Vậy cặp (x, y) thỏa mãn là: (1; 0); (6; −2); (3; −2); (−2; 0) Gỉa sử ∃ n ∈ Z cho: n2 + n + 16 49 ⇒ 4n2 + 4n + 64 49 ⇒ (2n + 1)2 + 63 49 (1) ⇒ (2n + 1)2 + 63 13/6/2021 Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Mà 63 nên ⇒ (2n + 1)2 ⇒ 2n + ⇒ (2n + 1)2 49 (2) Từ (1) (2) suy 63 49 (Vô lý) Vậy giả sử sai hay ∀ n ∈ Z n2 + n + 16 khơng chia hết cho 49 Câu Cho số thực x khác thỏa mãn x + x3 số hữu tỉ Chứng minh x x số hữu tỉ Cho số thực không âm a, b c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: 2a + 2ab + abc ≤ 18 Lời giải Theo giả thiết, ta có x + x x3 số hữu tỉ ( x khác 0) x Đặt x + = m ( m ∈ Q) Suy x2 + m= ⇒ x2 + = mx x Tương tự, ta có x3 = n ( n ∈ Q) Suy x4 = x3 · x = nx Mặt khác P = x3 · x + = x4 + 2x2 số hữu tỉ Suy x4 + 2x2 + số x hữu tỉ Ta có: x4 + 2x2 + = nx + 2(x2 + 2) = nx + 2mx = (n + 2m)x Mà (n + 2m) số hữu tỉ x4 + 2x2 + > nên n + 2m khác Nên x phải số hữu tỉ (Nếu x vơ tỉ x4 + 2x2 + số vơ tỉ, vơ lý) Ta có điều phải chứng minh Theo giả thiết ta có a, b, c khơng âm a + b + c = (x + y)2 Ta dễ có (x + y) − 4x y = (x − y) ≥ Suy x y ≤ với x, y ∈ R 2 13/6/2021 Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Áp dụng bất đẳng thức này, ta đượ: 2a + 2ab + abc = a(2 + b(2 + c)) (b + c + 2)2 ≤ a 2+ (b + c + 2)2 = (5 − b − c) + Đặt t = b + c ( t ≥ 0) Ta cần chứng minh: (t + 2)2 (5 − t) + ≤ 18 Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với (t + 2)2 (t − 5) + + 18 ≥ Hay, (t − 2)2 (t + 3) ≥ Bất đẳng thức ( t ≥ 0) Suy 2a + 2ab + abc ≤ (5 − t) + (t + 2)2 ≤ 18 Dấu xảy t = 2, a = 3, b = c = Vậy ta có điều phải chứng minh Câu Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O), có ∠BAC = 60o AB < AC Các đường thẳng BO, CO cắt đoạn thẳng AC, AB M, N Gọi F điểm cung BC lớn Chứng minh năm điểm A, N, O, M F thuộc đường tròn Gọi P,Q giao điểm thứ hai hai tia F N, F M với đường tròn (O).Gọi J giao điểm đường thẳng BC đường thẳng PQ Chứng minh tia A J tia phân giác góc ∠BAC Gọi K giao điểm đường thẳng OJ đường thẳng CF Chứng minh AB vng góc với AK 13/6/2021 Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Lời giải Ta có: ∠ MON = ∠BOC = 2∠BAC = 120◦ đó: A, M, O, N thuộc đường trịn Từ đó: CM.C A = CO.CN BM.BO = BN.BA BM.BO CN.CO BN = Ta cần: BN = CM CA BA CN BM Như cần có: = hay là: sin ∠ ANO = sin ∠ AMO (đúng) C A BA Do đó: CM = Từ 1) ta có: F NB = F MC đó: NB = MC = F N = F M dẫn đến: AP ∥ FB Tương tự: AQ ∥ FC Do đó: CQBP hình thang cân Gọi (COM) ∩ (BON) = O, J Ta có: ∠OJ C + ∠OJ B = ∠OM A + ∠ON A = 180◦ đó: J , B, C thẳng hàng Ta có: ∠CQM = ∠FBC = 60◦ = ∠ MOC đó: M, O, J ,Q, C đồng viên dẫn đến: ∠Q J C = ∠CMQ Tương tự thì: ∠P J B = ∠F N A = ∠F M A = ∠CMQ suy ra: Q, J , P thẳng hàng Do đó: J trùng J Lại có: BN.BA = BO.BM = BJ.BC suy ra: AN JC nội tiếp dẫn đến: ∠ J AB = ∠OCB Tương tự thì: J AC = ∠OBC suy ra: A J phân giác góc BAC 13/6/2021 Giải đề thi Tốn chun vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Tốn Lim Ta có: ∠COJ = ∠B ∠OJ M = ∠OC A suy ra: ∠COJ + ∠ M JO = 90◦ suy ra: OC ⊥ J M Tương tự: OB ⊥ J N Do đó: JO ⊥ MN Ta có: ∠ AP J = 180◦ − ∠ ACQ Gọi (AMN) ∩ FC = X = F , ta có: C X CF = CO.CN = C J.CB dẫn đến: F X JB nội tiếp suy ra: ∠ A X J = 120◦ − ∠F X A = 120◦ − ∠F N A đó: ∠ AP J + ∠ A X J = 180◦ tức là: A, P, J, X đồng viên Cộng góc đơn giản ta có: J, X , M thẳng hàng Tương tự: J, Y , N thẳng hàng với Y = (AMN) ∩ FB = F Cùng từ 2) ta có: ∠ A J N = ∠ ACO = ∠ M JO dẫn đến: A J qua tâm F MN L Do đó: ∠LA X = ∠LM J = ∠OJ N = ∠OBA = ∠CK J Do đó: A, K, X , J, P đồng viên Vậy tức là: AK JP nội tiếp dẫn đến: ∠ JK A = ∠BN M(= 180◦ − ∠ AP J) dẫn đến: K A ⊥ AB Nhận xét Trong q trình làm tốn Tác giả lời giải có tìm thêm vài kết a) Chứng minh rằng: FQ cắt JK (AFK) b) Chứng minh rằng: A J cắt FB (AFK) c) Chứng minh rằng: P X , CN, A J đồng quy Cách khác cho câu 13/6/2021 CLB Toán Lim Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội F A K X N M O P B C J Q Có: ∠BFC = ∠BOC = 60 o ⇒ FBC ⇒ ∠ NPB = 180o − ∠FCB = 120o = ∠BOC ⇒ Tứ giác NPBO nội tiếp Tương tự, MCQO nội tiếp Từ gọi (BON) cắt (COM) J khác O thì:  ∠OJ C = ∠OM A = ∠ONB ⇒ J ∈ BC ⇒ J ≡J ∠OJ Q = ∠OMF = ∠ONP ⇒ J ∈ PQ Và: BM.BA = BO.BN = BJ.BC suy AM JB nội tiếp suy ∠ J AM = ∠OBC Tương tự suy ∠ J AN = ∠OCB = ∠OBC = ∠ J AM (đpcm) Gọi J M cắt CF X Có ∠C J X = ∠COM = 60o nên C J X ⇒ ∠C X J = 60o = ∠C AF ⇒ AF X M nội tiếp, suy điểm A, M, O, N, F, X đồng viên ⇒ ∠ JK X = ∠C X J − ∠K J X = 60 o − ∠OC A = ∠BAC − ∠O AC = ∠O AB ∠O A X = ∠OM J = ∠OCB = ∠ N A J ⇒ ∠ J A X = ∠O AB Suy ∠ J A X = ∠ JK X ⇒ AK X J nội tiếp Ta có: CFB CF X nên F X JB hình thang cân với đáy 13/6/2021 Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim X J ∥ FB Mà F N = FB nên AFBP hình thang cân với FB ∥ AP Suy X J ∥ AP X JP A hình thang cân nên nội tiếp Vậy điểm A, K, X , J, P đồng viên ⇒ ∠ J AK = ∠C X J = 60o ⇒ ∠BAK = ∠BA J + ∠ J AK = 30o + 60o = 90o ⇒ AK ⊥ AB (đpcm) Câu Cho A tập hợp có 100 phần tử tập hợp {1, 2, · · · , 178} Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh với số tự nhiên n thuộc tập hợp {2, 3, 4, · · · , 22}, tồn hai phần tử A có hiệu n Lời giải Đặt X = {1; 2; ; 178} Chia số X thành 89 nhóm (mỗi nhóm gồm số tự nhiên liên tiếp) sau: (1; 2); (3; 4); ; (177; 178) Ta chia 100 số phân biệt tập A vào 89 nhóm trên, theo ngun lý Dirichlet , ln tồn nhóm chứa số tập A Nên số số tự nhiên liên tiếp tập A (điều phải chứng minh) 13/6/2021 ... hình thang cân với đáy 13/6 /2021 Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim X J ∥ FB Mà F N = FB nên AFBP hình thang cân với FB ∥ AP Suy X J ∥ AP X JP A hình thang... 63 13/6 /2021 Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Mà 63 nên ⇒ (2n + 1)2 ⇒ 2n + ⇒ (2n + 1)2 49 (2) Từ (1) (2) suy 63 49 (Vô lý) Vậy giả sử sai hay ∀ n ∈... đường thẳng CF Chứng minh AB vng góc với AK 13/6 /2021 Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Lời giải Ta có: ∠ MON = ∠BOC = 2∠BAC = 120◦ đó: A, M, O, N thuộc đường