cac dang toan ve bieu thuc dai so

2 CÁC DẠNG TOÁN VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Chủ đề Rút gọn phân thức hữu tỉ Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỉ Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỉ toán liên quan Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 3 Chủ đề Tính giá trị biểu thức biến Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức có biến nghiệm phương trình Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 14 15 15 16 19 Chủ đề Tính giá trị biểu thức nhiều biến có điều kiện Dạng 1: Sử dụng phương ph{p ph}n tích Dạng 2: Sử dụng phương ph{p hệ số bất định Dạng 3: Sử dụng phương ph{p hình học Dạng 4: Sử dụng Vận dụng tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 24 25 27 28 28 34 Chủ đề Một số phƣơng pháp chứng minh đẳng thức Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi thương đương Dạng 2: Sử dụng đẳng thức quen biết Dạng 3: Sử dụng phương ph{p đổi biến Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Dạng 5: Sử dụng lượng liên hợp Dạng 6: Chứng minh có số số cho trước Dạng 7: Sử dụng Vận dụng tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 49 50 51 53 53 54 56 58 63 Chủ đề Rút gọn biểu thức đại số toán liên quan Dạng 1: Các toán biến đổi thức thường gặp Dạng 2: Sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa tốn Dạng 3: Các tốn tổng dãy có quy luật Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa có nhiều ẩn Dạng 5: Rút gọn biểu thức toán liên quan Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải THCS.TOANMATH.com 77 78 83 84 87 97 101 TÀI LIỆU TOÁN HỌC  RÚT GỌN PHÂN THỨC HỮU TỶ Nhắc lại kiến thức: C{c bước rút gọn biểu thức hữu tỷ Tìm ĐKXĐ: Ph}n tích mẫu thức thành nhân tử, cho tất nhân tử khác Phân tích tử thành nhân tử, chia tử mẫu cho nhân tử chung  Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỷ x4  x3  2x  2x4  3x3  2x2  6x  Thí dụ Rút gọn biểu thức A  Lời giải Ta có:   x           x  x     x    x  1 x    6x    2x     3x  6x    2x     x    3x  x     x     x   2x  3x     x    x   2x  1 x4  x3  2x2   x   x  2x  x  x   x x  2x  3x  2x 2 2 4 2 2 2 Điều kiện x{c định A x  2, x   Ta có:  x    x  1 x    x  A  x    x   2x  1 2x  2 Vậy với x  t   x1 A  2x  Thí dụ Rút gọn biểu thức B  2xy  x  z  y 2x2  z  y  2xz Lời giải Ta có: B  z  x  2xy  y x    z   x  y    z  x  y  z  x  y   2xz  z2  y 2  x  z  y2 Với x  y  z  0,x  y  z   B   x  z  y  x  z  y  zxy xyz  Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỷ toán liên quan x4  5x2  Thí dụ Cho biểu thức A  x  10x2  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC a) Rút gọn A b) Tìm x để A = c) Tìm giá trị A 2x   Lời giải a) Ta có:           x  1 x     x  1 x  1 x   x      x  x    9x    x  x  1   x  1   x  1 x     x  1 x  1 x   x   x4  5x   x  x  x   x x   x  x4  10x2 2 2 2 Điều kiện x{c định A x  1, x  3 Ta có: A  x  1 x  1 x   x     x   x    x  1 x  1 x   x    x   x   b) Ta có: A0  x   x     x  2  x  3 x  3 c) Ta có:  2x    x4 2x       x  3  2x   7 Với x = A   x   x          1.6   x  3 x        1.7 Với x = - A khơng x{c định 2x3  7x  12x  45 Thí dụ Cho biểu thức B  3x  19x2  33x  a) Rút gọn B b) Tìm x để B > Lời giải a) Ta có:       x    3x  10x     x    3x  9x    x      x    3x  1   2x  7x  12x  45   2x  6x    x  3x   15x  45    x    2x  x  15    x    2x  6x    5x  15    x    2x     3x  19x  33x   3x  9x  10x  30x   3x   3 THCS.TOANMATH.com 2 2 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Điều kiện x{c định A x  3, x  Ta có:  x    2x    2x  B  x    3x  1 3x  2 b) Ta có:    x     3x     x    x     2x  2x   B0      3x   3x   x    x       2x     x     Vậy để B > x  x y2  x2 y2  xy  x2 Thí dụ Cho biểu thức: P    với   2  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y x  0; y  0; x  y 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị biểu thức P, biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2  y2  10   x  3y  Lời giải 1) Với x  0; y  0; x  y ta có:   2 2  x y  x  y  x  y   xy P  x  xy  x  y    xy   x  xy  y  xy xy  x  y    x  y  x  y    x xy  x  y  x  xy  y 2   2 xy  x  y  x  xy  y   x xy  x  y  x  xy  y  xy xy   x xy xy 2) Ta có: x2  y2  10   x  3y   x  2x   y  6y     x  1   y    THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC x  Lập luận   (tm)  y  3 Nên thay x  1; y  3 vào biểu thức P  x  y   3    xy  3    x   2x Thí dụ Cho biểu thức: A     : 2   1 x 1 x 1 x  x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A  A Lời giải a) ĐKXĐ: x  1; x    x  1  x     x   x2  A     2x  x2   2 x     x  2x  2x x  1(ktm) b) A nguyên, mà x nguyên nên 1  2x  , từ tìm  x  0(tm) Vậy x  c) Ta có: A  A  A    2x   x  Kết hợp với điều kiện : 1  x  2  Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật Ví dụ Tính tổng: S  1 1     1.3 3.5 5.7 2007.2009 Lời giải Ta có: 1  n  2  n  1       n n   n n  2 n n  2 Do đó: S 1 1 1  1  1004        1     2 3 2007 2009   2009  2009 Ví dụ Cho M  2.1  1 THCS.TOANMATH.com  2.2   2 1 2 2  2.3   3 2 3    2.2012   2012  2012  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Tính giá trị biểu thức M Lời giải Ta có: 2a  a a   1  a  a  12 Do đó: 1 1 1        2 2 3 2012 20132  1 20132 M  1 Ví dụ Rút gọn biểu thức: M  1.2   2.3 2   2.n   n  n  1 Lời giải Ta có: 2k   k  k  1  2k  k  k  1  1  k  k  1 Do đó: M n  n  1 1 1 1 1 1            2 2  n  1 2 3 n n  n  1  n  1 Ví dụ 10 Rút gọn biểu thức:      M               n  Lời giải Ta có: 1 k   k  1 k  1   k2 k2 k2 Do đó:  n  1 n  1  1.3.2.4  n  1 n  1 1.3 2.4 3.5 2 n2 2.32.4 n 1.2.3  n  1 3.4.5  n  1 n  n     2.3.4 n n 2n 2.3.4  n  1 n M THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC  Bài tập vận dụng  x2  2x  2x2   1   Câu Rút gọn biểu thức sau: A   2    2x  8  4x  2x  x   x x   x1 x2  x  x2  :      x x2  x  x2  2x   x Câu Cho biểu thức : P  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P  c) Tìm giá trị nhỏ P x  Câu Tìm tích: M  14  54   17  34   114  19   4x 8x2   x  2  :   Câu Cho biểu thức : A       x  x   x  2x x  a) Tìm điều kiện x{c định, rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A  1 c) Tìm giá trị x để A   x4   x8  Câu Cho biểu thức P    : 1    x  1  x 1 x 1  x  x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x nghiệm phương trình x2  3x    x2  2x  2x 2   1   Câu Cho biểu thức A   2    2x  8  4x  2x  x   x x  a) Tìm x để giá trị A x{c định Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu Cho biểu thức M  x4  x2  x2    x6  x  x  x  4x  a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn M Câu Rút gọn biểu thức: Câu Rút gọn biểu thức: P  x x 2   a  1  a   a x  a 1  a   a x2  2 1 a  4a  a  a  7a  14a  Câu 10 Cho biểu thức sau:  2x  2x   21  2x  8x P   1 : 2  4x  12x  13x  2x  20 2x   4x  4x  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC a) Rút gọn P c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên b) Tính giá trị P x  d) Tìm x để P  Câu 11 Cho P  a  4a  a  a  7a  14a  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên 1 1     3 3 Câu 12 Tính: A  HƢỚNG DẪN GIẢI x  Câu Điều kiện:  x   x  2x  2x 2  A  1     2x  8  4x  2x  x   x x   x  2x  x2  x  2x     x2  4   x   x2   x   x2      x  2x   x  1 x   2x     x2  x2 x2    x        x  x    4x    x  1  x    x x   x  x    x  1 x    2x 2x  x    x   x2   4x  4x  4x x  x x2    2 Vậy A  x1 với 2x x   x  Câu a) ĐKXĐ: x  0; x  1; x  1 Rút gọn P ta có: P  x2 x 1  1 x    2 2 x x x x1 1 1  0  0 b) P   x 1 x 1 x 1 x 1  x 1   x  Vậy với x  x  0; x  1 P  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 a) Ta có: P  x2 x2   1   x 1  x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Khi x  1; x   Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x    Dấu "  " xảy x 1 x  Vậy GTNN P  x  Câu 2 Nhận xét được: n    n  1  1  n  1  1 Do đó:       4 M   1   1  2  2 2   1   16  1 18  62  2   1  20    1 20  401  18  2 Câu a) ĐKXĐ: x  0; x  2  4x 8x   x   4x   x   8x x    x   A  :   :     x x  x  x x x  2  x x  2x        8x  4x  8x x   2x  8x  4x 3x  :  :   x   x  x  x     x   x  x  x    4x   x    x   x  x x  2 3x 4x2  x3  x  1 4x2  1  4x  x     b) A  1  x  x3  4x2   x3  x x3 Vậy x  3; x  0; x  2 A  c) A   Câu a) Với x  ta có:   x2  x   x  x4 x2  x  : P    x  1 x  x   x   x  x   x2  x     x   x2  x   x2  x  2x  x2  x      :   x  1 x  x   x  x   x   x  x  x 9             x   x  1  x   x  1  x   x  Vậy x  P  x3 x2   x  2(tm) 23  b) x2  3x     Thay x  vào P ta có: P  2  13  x  1(ktm) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Kết luận với x  P  13 Câu 2x    Giá trị A x{c định  8  4x  2x  x  x   a) x  4 2x  8  x     4   x   x   x      x   x    x  x   x       Ta có:  x  2x  2x 2  A 1     x x   2x  8  4x  2x  x    x  2x   x2  x   2x      x2  x2  4   x   x2   x       x  2x   x   4x x  x  2x   x2 x2    x        2x  x  4x  2x  4x x  x  1   x  1  x2 x2    x     x  x  x2    x  b) *   4  x   x  1  x  x2 2x Ta có: x1  2x  x  2x  2x  2x mà 2x 2x  x  1(tm)  2x  x    x  1(tm) x1   x  x  1 Vậy A  2x Câu a) Ta có: M   x x4  2   x4  x2  x 2 x x    x2  x2   x4  x2  x2  x2   1 x x 1 2 THCS.TOANMATH.com 2 4  x 1  2 x x 1 x 1      x  1 x  1   x  x  x  1 x  x  1  2 1 x   x4   x4  x2  x   x4  x2   TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Cho biểu thức: P   x  1  x   x2   x  1  x   x (với 1  x  1) Tính giá trị biểu thức P x   2019 Câu 31 (HSG Thái Bình 2011) Chứng minh rằng: 87 1 88      89 2011 2010 45 Câu 32 (HSG Chuyên Hưng Yên 2019-2020) Rút gọn biểu thức A  2    20  20 HƢỚNG DẪN GIẢI Câu a) Điều kiện: x  y; x  1; y  x3  x2  y  y  x3 y  x y x  xy  y  x  y  x y P  (x  y)(1  y)(1  x) (1  y)(1  x) x2  x2 y  x  y 1 x  x  xy  y  b) Đặt S   1 1 1         2 2 2017 20182 1 1  Ta có    1     n (n  1)  n n   n(n  1) (n  * )  1  1  1   1   n n 1 n n 1   1  1  1  Áp dụng đẳng thức ta S                  2  3  2017 2018  = 2018   2018 (điều phải chứng minh) 2018 Câu Từ giả thiết cho ta có: 1    xz  yz  xy  2xy  2xz  2yz  x y z  x2  y2  z2  x2  y2  z2  2xy  2xz  2yz  x  y  z  xyz  x2  y2  z2 số hữu tỉ Vậy ta có điều phải chứng minh THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Câu a) Rút gọn T: Với a  b,a  0, b  , ta có: T a  b  ab a b Vậy : T  a  a b  b a  b3  a  b3  : a  b  ab a b  a b   a  b  ab a b   a b ab   a b a b    ab , với a  b,a  0, b  ab b) Chứng tỏ T > a  b  ab Ta có: T   T ab a b  , với a  b,a  0, b  (kết câu 1.a)  ab ab   a b  ab   (vì ab  0, a  b  với a  b,a  0, b  ) Vậy T > Câu Ta có ngay: A  20  45  125  405    15  18  B  94  94      2    2.2  2.2 2.1   2 1    2 1 2  2.1   2 1  2 1  2 1 2 1  Câu Ta có:    1    (do2   0) 2.3    2.3 3.4     3.4 2018.2019       2018 2018.2019      P  1 1       2.3  3.4   2018.2019  2.3  3.4  2018.2019   2.3 3.4 2018.2019     2018  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC ab ab 10 4 10 4074340 2.3 3.4 2018.2019 1.4 2.5 3.6 2016.2019 2017.2020  2.3 3.4 4.5 2017.2018 2018.2019 1.2 .2017   4.5 .2020   1.2020  2020  1010   2.3 .2018   3.4.5 .2019  2018.3 6054 3027  Câu a) Điều kiện x  0; x  A   x 1 1 : x x  x  x x  x  x 1 x x  x  x 1 x x 1     x x x 1  x 1 x x x 1   x2  x      x 1 x  x 1  x 1   x 1  x 1 b) Ta có: T  B  2A2  x  5x  8x  2025   x  1  x  5x  8x  2025  2x  4x   x  7x  4x  2023  x  8x  16  x  4x   2003    x    x    2023  Vì x2   2  0,  x     T  2003 x  x     Dấu “=” xảy      x  2  x   x   x   Vậy với Tmin  2003  x  Câu a) Rút gọn biểu thức P :  Điều kiện : a  0, b  ab P  P:       a b   ab  a  b a  b a b  THCS.TOANMATH.com  a  b a  b a b  P    a  b  ab  ab  a b  a  b a  b  a  b  a  b    a  b  a  b   a  b TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 b) Ta có: a  a  2019  2018    b  2020  2019 b      P  a  b  2018    2019  1 2018  2   a  2018    b  2019   2019   2018  2019 Câu 1) Điều kiện  a    1 a 1 a 1 Q     a  2a   a  a   a  a  1 a  1 a   1 a  1  a2   a       a  2a    1 a  1 a a   a  a   a   a         a2  1 a 1 a      a   a   a   a  1 a  1 a  a  1  a   a   a2      a 1 a   a   a  a (do a  0)  a   a  a2 1  1  a  a 1 a  1 a (do  a  1)     1 a  1 a   1 a  1 a 1 a  1 a  a 1  a  a   a   a2 2a   a2  (1  a)  a     a2 1 1  a  a  a2 1 (1  a) a  a2 1 (1  a) a 2) Điều kiện  a  Ta có: Q3   a  1 Xét hiệu : Q3  Q   a  1   a  1   a  1  a  1  1   a  1 a   1 a   1  a(a  1)(a  2)   Mà THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 a    a   a    a  a  1 a    a     Q3  Q   Q3  Q Vậy Q3  Q Câu   10    15  15    16  15   .      A   15  15  82 5   5    5    15   15    Câu 10 Điều kiện a  a)  a a  a  a P   a  a  a   a    a    a 2  a   a 1     a a   a  a 1  a a  4a     a 2 a    a        a a a 2 a 2 a  a 2 a     a 1  a  a a   a  a  a  b) Điều kiện a  Ta có:  1 9 P  a  a     a     2 4  1   a   a  (tm) 2 Vậy MaxP  a  4 Dấu “=” xảy  a  Câu 11 Điều kiện a  0; x  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 x  a 1 1 a  a2  a  1 a  2a   a  2a  2a  a 1 (a  1)2 a  2a  a  2a   2a  a 1  a  1 a  a 1  a 1 a 1  a  1  2 a2  a  a2  a    a 1  a 1 a 1   a2  a   0 a 1  a  2a   a  a  a   1a  a 1 a 1   x  a   P  x  x2 x 1 1 x  2x  x x 1 1  x 1 x   x 1  x  1 x 1 x 1  1 x  1 2 a 1 a 1   a  1 a 1a  2a  Vậy P  2a  Câu 12     2    x  y  x  y y       x  y x  y  x  2y x x  y y         x  y  xy  x  y  xy y y x x    x  y  2x  4y xy x  y        2(x  y)  3(x  y)  x  y  xy xy     x  y   x    5 xy  x  y  x  y x  y  xy 1  x  y  xy  xy  x  y  xy    x y THCS.TOANMATH.com  0 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 x 1 y xy Vậy x 1 y  a  a  b2 a  a  b2   a  a  b2 a  a  b2  Câu 13 P        a  b  a  a  a  b2 a  2  a  a  b2 a  b2   a  a 2b , :  b   a  b 0 b2 a  a  b2   a  a  b  a a  b  a  a  b  2a a  b a   a  b2   b2 a a  b 4a a  b b2 a a  b2   b2 a a  b a a  b2  a  b2 a    a  b2   a  b2 a0  2  a b Câu 14 A  x  a  a  x  2x a a  x  2x a  = x x 2 x a x a x x  x  a  x +) Với x  a x  a  x  a nên A =  x a x a  x  2x x 2 x +) Với  x  a x  a   x  a  a  x nên A = a xx a x  a x Câu 15 a) Với x  0; x  , ta có:  x3 x 2    A  :  x x 8 x   x    THCS.TOANMATH.com  x3 x 2  x 2 x2 x 4      x x  x  x    x2 x 4   TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10   x 2  x 2 x2 x 4 x x  x2 x 4   Ta có x  14    2.3    Khi đó, ta có: A  3   2   A   2   14     b) Ta có A2  24   2  3    x 3  24  3      8 3    Do A  nên A   Câu 16 a) + Biến đổi x4 x 4 x x 2  x x  1 x = + Biến đổi  x 1 1 x + Ta có A  x 1 x 1 + Vậy A  x :      x 2  x 1 x 2 x 1 x 1  x 1 x 1  x 1   x 2 x  x x x 1      x   x 1  x 1 x 1  x 1  x 1   x 1 x 1  x , với điều kiện x  0, x  b) Ta có: A  2018 2018  1 x  1 2018  x  2018 x  2018   x  2018 Vì x  0, x  x nguyên nên x 2; 3; 4; ; 2018 Suy có 2017 giá trị nguyên x thỏa mãn tốn Câu 17 Ta có: A  a 2a b  ab :  ab  ab THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11  2(1  a) ab(1  a)  Khi a  0; b  , ab a+ b a + b = ab  1 ab a  b 1  1 a b  1 (1  )      Dấu “ = “ xảy  b  4; a  Vậy giá Do A   b 2 b b 1 trị lớn A a  b  4 Câu 18 Ta có:   a3  a 2 a 1  1 a  P  a  1  a 1  a          1 a 1 a  a  a 1  P   a    a a 1 a 1    1 a  a  a 1 P  1 a  (Do a   a   a   0)    a a   P   1 a  a  a 1a  a a 1 a P a 1 a 1 a a 1 a 1 Câu 19 a) P    x 2 x 1  x 3 5 x  3x  x  x4 x 5  x 2 x 1  x 3 5 x   3x  x   x 1 x 5  ( x  2)( x  5)  ( x  3)( x  1)  (3x  x  5) ( x  1)( x  5) x  x  ( x  1)( x  5)  ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  5) Ta có P  2   + Với  x 2 x 5 x 2 x 5  2    x5 0 x 5  x  12 x 2 x    x  25 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 x  12  x  144 + Với Câu 20 Điều kiện : x  0, x   x  1 A 2 x 1  x2  x  x x 1   x x x 1  x 1  x x 1  2x  x  2 x x 1   1 3   x x   x  x     x     4  2 4 1 Vậy A  Dấu "  " xảy  x    x  4 (tm) Câu 21  x  1 x2  y  x2  y2 x a) Ta có: Q   y :  x  x2  y2  x  x2  y2 x  x2  y    y x2  y2 x2  y2 x    x x2  y2 x x2  y2  x2  x2  y2  y x2  y2 y  xy  x2  y2 x  y x  y xy Vậy Q  xy  xy xy với x  y  b) Ta có: Thay x  3y (thỏa mãn ĐK) v|o biểu thức Q, ta được: Q 3y  y 3y  y Vậy Q   2y 4y  2 x  3y Câu 22 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11  A x y   2x xy y  x xy y xy  3y xy x x  3x y  3y x  y y  2x x  y y    x x    x  y x  xy  y x  x y    y   x y x y   x y  y  x y y  x y x 3 y   xy  y  x  y x  xy  y với x, y  x  y x y 3 Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến với x, y  x  y Câu 23 a) ĐKXĐ: x  0; y  0, y  1,x  y  P   b) x     x   y  y  xy  x y   x  y 1 y    x y x 1   x  y  x  xy  y  xy  x  y 1 y  x 1    x  xy  y   P   x  xy  y   x  y   y 1      x 1 1 y  Ta có:  y   x    x   x  Kết hợp với điều kiện x    x   x  0;1; 2; 3; 4 Thay v|o phương trình P    Ta  x; y    4;  ;  2;  Câu 24 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11   a  b2 ab ab    a  b    ab  ab 2 2 a  b a  b  a  b    2 ab ab   a  b    a  b  a  b a  b a  b  a  b  a  b   P   a  b    a  b  a  b  a  b  ab   ab  ab a  b a  b 2b a  b a  b2  a  b a  b   ab  ab ab  ab    a  b2 a  b2 a  b2 b Vì a – b =  a = b + theo BĐT AM – GM: a  b2  b  1  b 2b2  2b  1 P   = 2b +   2b    2  b b b b b Câu 25 a) ĐKXĐ: x  0; y  0, xy  P    x  y  xy   x  y  xy  xy  :   xy  x  y  xy     xy   xx y y y x xx y  y y x  xy  xy  x  y  xy      xy x 1  x 1  y  b) Với x   2 P 1  x x 1  y  x  1  x 1  y   x 2   1  1 1 2     2        42    1 1  1 2 52  2 13 Câu 26 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 x3 x 2 x x   1  a) P      :    x x 2 x 1   x 1 x 1      x3 x 2 x   x 1 x 1   :    x 2 x  1  x  x x             x3 x 2x2   x 2  x 2 x 2    x 1 x 1   x  x  1  x  1    x x 1 x 1 x x 1 x x  0; x  1 x 1  b)  1  x x 1 P  1   x 1 *   16 x   Vậy x    x 1 x 1  *  1   x 3   0 x   tm  x 1  1 P Câu 27 Với điều kiện x  0,x  , ta có: P x2 x    x 1 x  x 1   x 1 x x  x 1   x   x  1 x  1  2x  x  x  1 x  x  1 x x  x  2  x  x  1 x  x  1  x  1 x    x    x  1 x  x  1 x  x    x x2 x   2x  x   x 1 x  x 1  x 1 Ta có với điều kiện x  0,x   x  x   x   0P x 2 x x 1  x 2 x 1  1 Do P nguyên nên suy P   THCS.TOANMATH.com x 1 2 x 2 x x 1   x  (loại) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Vậy khơng có giá trị x để P nhận giá trị nguyên Câu 28 Ta có A  x2  x x2  x   x x  x 1 x  x 1   x 1  x   x   2x   Do B   2A  x    x     x  x Câu 29 Ta có:  a2            62 42 62   1 62    1   1  Vì a  nên a   Do  a  1  hay a  2a   Câu 30   P   x    x2    x2       P2  1  x     x2    1  x  1  x  Mà P   x  1  x   x2   x  1  x   x   P  1  x  Với x   2019 P 2019 2018 Câu 31 Với n số nguyên dương ta có:  n  1 n  1 n  n 1  n        n  1 n n n 1 n n 1  n n 1 Suy ra: A   1 Lại có: 2  THCS.TOANMATH.com 2011  n  1  A 2  n  2     1 n 1 2011 2010  1  2     2010  2011 87  89 89    n 1  n 2010   n n  n 1     88  1   1    2011 2011   45  45  TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Câu 32 Ta có     20  20 15  2      2       A2 THCS.TOANMATH.com  20 5  4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 2: Rút gọn biểu thức hữu tỷ toán liên quan x4  5x2  Thí dụ Cho biểu thức A  x  10x2  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC a) Rút gọn A b) Tìm x để A = c) Tìm giá trị A 2x   Lời giải a) Ta...   5x  15    x    2x     3x  19x  33x   3x  9x  10x  30x   3x   3 THCS.TOANMATH.com 2 2 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Điều kiện x{c định A x  3, x  Ta có:  x    2x   ... x xy xy 2) Ta có: x2  y2  10   x  3y   x  2x   y  6y     x  1   y    THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC x  Lập luận   (tm)  y  3 Nên thay x  1; y  3 vào biểu thức