Ôn tập chương 3 Hình học Bài 51 trang 97 sách bài tập Toán 8 Tập 2 Cho tam giác ABC a) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM 2 MB 3 = ; tìm trên AC điểm N sao cho AN 2 NC 3 = b) Vẽ đoạn thẳng MN Hỏi rằng[.]
Ôn tập chương - Hình học Bài 51 trang 97 sách tập Toán Tập 2: Cho tam giác ABC a) Trên cạnh AB lấy điểm M cho cho AM = ; tìm AC điểm N MB AN = NC b) Vẽ đoạn thẳng MN Hỏi hai đường thẳng MN BC có song song với khơng? Vì sao? c) Cho biết chu vi diện tích tam giác ABC thứ tự P S Tính chu vi diện tích tam giác AMN Lời giải: * Cách vẽ: - Kẻ tia Ax khác tia AB, AC - Trên tia Ax, lấy hai điểm E F cho AE = (đơn vị dài), EF = (đơn vị dài) - Kẻ đường thẳng FB - Từ E kẻ đường thẳng song song với FB cắt AB M - Kẻ đường thẳng FC - Từ E kẻ đường thẳng song song với FC cắt AC N Ta có M, N hai điểm cần vẽ * Chứng minh: Trong ΔAFB, ta có: EM // FB Theo định lí Ta-lét, ta có: AM AE = = MB EF Trong ΔAFC, ta có: EN // FC Theo định lí ta-lét ta có: AN AE = = NC EF Vậy M, N hai điểm cần tìm b) Trong ΔABC, ta có: AM AN = = MB NC Suy ra: MN // BC (Theo định lí đảo định lí Ta-lét) c) Gọi p' S' chu vi diện tích ΔAMN Trong ΔABC, ta có: MN // BC Suy ra: ΔAMN đồng dạng ΔABC Và tỉ số đồng dạng k = AM = AB P' 2 = k = P ' = P P 5 S' 2 = k = S' = S S 25 5 Bài 52 trang 97 sách tập Tốn Tập 2: Tứ giác ABCD có hai góc vng đỉnh A C hai đường chéo AC BD cắt O, BAO = BDC Chứng minh: a) ΔABO đồng dạng ΔDCO; b) ΔBCO đồng dạng ΔADO Lời giải: a) Xét ΔABO ΔDCO,ta có: BAO = BDC (giả thiết) Hay BAO = ODC AOB = DOC (đối đỉnh) Vậy ΔABO đồng dạng ΔDCO (g.g) b) Vì ΔABO đồng dạng ΔDCO nên: B1 = C1 (1) Mà C1 + BCA = BCD = 90 (2) Trong ΔABD, ta có: A = 90o Suy ra: B1 + D2 = 90o (3) Từ (1), (2) (3): Suy ra: BCA = D2 Xét ΔBCO ΔADO, ta có: BCA = D2 (chứng minh trên) AOD = BOC (đối đỉnh) Vậy ΔBOC đồng dạng ΔADO (g.g) Bài 53 trang 97 sách tập Toán Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9m Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BD a) Chứng minh ΔAHB đồng dạng ΔBCD; b) Tính độ dài đoạn thẳng AH; c) Tính diện tích tam giác AHB Lời giải: a)Xét ΔAHB ΔBCD, ta có: AHB = BCD = 90o AB // CD (gt) nên ABH = BDC (so le trong) Vậy ΔAHB đồng dạng ΔBCD (g.g) b) Vì ΔAHB đồng dạng ΔBCD nên: Suy ra: AH = AH AB = BC BD AB.BC BD Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vng BCD, ta có: BD2 = BC2 + CD2 = BC2 + AB2 = 122 + 92 = 225 Suy ra: BD = 15cm Vậy AH = 12.9 = 7,2cm 15 c) Vì ΔAHB đồng dạng ΔBCD với tỉ số đồng dạng: k = Ta có: AH 7,2 = = 0,8 BC SAHB = k2 = 0,82 = 0,64 ⇒ SAHB = 0,64SBCD SBCD Mà SBCD = 1 BC.CD = 12.9 = 54(cm2) 2 Vậy SAHB = 0,64.SBCD = 0,64 54 = 34,56 (cm2) Bài 54 trang 97 sách tập Tốn Tập 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O, ABD = ACD Gọi E giao điểm hai đường thẳng AD BC Chứng minh rằng: a) ΔAOB đồng dạng ΔDOC; b) ΔAOD đồng dạng ΔBOC; c) EA.ED = EB.EC Lời giải: a) Xét ΔAOB ΔDOC, ta có: ABD = ACD (giả thiết) Hay ABO = OCD AOB = DOC (2 góc đối đỉnh) Vậy ΔAOB đồng dạng ΔDOC (g.g) b) Vì ΔAOB đồng dạng ΔDOC nên: AO OB AO DO = = DO OC OB OC Xét ΔAOD BOC ta có: AO DO = (chứng minh trên) OB OC AOD = BOC (đối đỉnh) Vậy ΔAOD đồng dạng ΔBOC (c.g.c) c) Vì ΔAOD đồng dạng ΔBOC nên: ADO = BCO hay EDB = ECA Xét ΔEDB ΔECA ta có: E chung EDB = ECA (chứng minh trên) Vậy ΔEDB đồng dạng ΔECA (g.g) Suy ra: ED EB = ⇒ ED.EA = EC.EB EC EA Bài 55 trang 98 sách tập Toán Tập 2: Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy H Chứng minh rằng: AH.DH = BH.EH = CH.FH Lời giải: +)Xét ΔAFH ΔCDH, ta có: AFH = CDH = 90o AHF = CHD ( góc đối đỉnh) Suy ra: ΔAFH đồng dạng ΔCDH (g.g) Suy ra: AH FH = CH DH Suy ra: AH.DH = CH.FH (1) +) Xét ΔAEH ΔBDH,ta có: AEH = BDH = 90o AHE = BHD (2 góc đối đỉnh) Suy ra: ΔAEH đồng dạng ΔBDH (g.g) Suy ra: AH EH = BH DH Suy ra: AH.DH = BH.EH (2) Từ (1) (2) suy ra: AH.DH = BH.EH = CH.FH ( điều phải chứng minh) Bài 56 trang 98 sách tập Toán Tập 2: Hai điểm M K thứ tự nằm cạnh AB BC tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK CM cắt P Biết AP = 2PK CP = 2PM Chứng minh AK CM trung tuyến tam giác ABC Lời giải: Xét ΔPAC ΔPKM,ta có: PK PM = ; = PA PC Suy ra: PK PM = PA PC Lại có: APC = KPM (đối đỉnh) Suy ra: ΔPKM đồng dạng ΔPAC(c.g.c) với tỉ số đồng dạng k = Suy ra: KM = (1) AC Vì ΔPKM đồng dạng ΔPAC nên PKM = PAC Suy ra: KM //AC (vì có cặp góc vị trí so le nhau) Trong ΔABC, ta có: KM // AC Suy ra: ΔBMK đồng dạng ΔBAC (g.g) Suy ra: BM BK MK = = (2) BA BC AC Từ (1) (2) suy ra: BM BK = = BA BC Vì BM = BA nên M trung điểm AB Vì BK = BC nên K trung điểm BC Do CM, AK trung tuyến tam giác ABC Bài 57 trang 98 sách tập Toán Tập 2: Cho hình bình hành ABCD Từ A kẻ AM vng góc với BC, AN vng góc CD (M thuộc BC N thuộc CD) Chứng minh tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC Lời giải: * Trường hợp góc B nhọn: Xét ΔAMB ΔAND, ta có: AMB = AND = 90o B = D (t/chất hình bình hành) Suy ΔAMB đồng dạng ΔAND (g.g) Suy ra: AM AB AM AN = = AN AD AB AD Mà AD = BC (tính chất hình hình hành) Suy AM AN = AB BC Lại có: AB // CD (giả thiết) AN ⊥ CD (giả thiết) Suy ra: AN ⊥ AB hay NAB = 90o Suy ra: NAM + MAB = 90o (1) Trong tam giác vng AMB ta có AMB = 90o Suy ra: MAB + B = 90o (2) Từ (1) (2) suy ra: NAM = B Xét ΔABC ΔMAN ta có: AM AN = (chứng minh trên) AB BC NAM = B (chứng minh trên) Vậy ΔABC đồng dạng ΔMAN (c.g.c) * Trường hợp góc B tù: Xét ΔMAN ΔAND, ta có: AMB = AND = 90o ABM = ADN (vì C ) Suy ΔAMB đồng dạng ΔAND (g.g) Suy ra: AM AB AM AN = = AN AD AB AD Mà AD = BC (tính chất hình bình hành) Suy ra: AM AN = AB BC Vì AB // CD nên ABC + C = 180o (3) Tứ giác AMCN có AMC = AND = 90o Suy ra: MAN + C = 180o (4) Từ (3) (4) suy ra: MAN = ABC Xét ΔAMN ΔABC, ta có: AM AN = (chứng minh trên) AB BC MAN = ABC (chứng minh trên) Vậy ΔMAN đồng dạng ΔABC (c.g.c) Vậy ta ln có: tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC Bài 58 trang 98 sách tập Toán Tập 2: Giả sử AC đường chéo lớn hình bình hành ABCD Từ C, vẽ đường thẳng vng góc CE với đường thẳng AB, đường vng góc CF với đường thẳng AD (E, F thuộc phần kéo dài cạnh AB AD) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2 Lời giải: Dựng BG ⊥ AC Xét ΔBGA ΔCEA, ta có: BGA = CEA = 90o A chung Suy ΔBGA đồng dạng ΔCEA(g.g) Suy ra: AB AG = AC AE Suy ra: AB.AE = AC.AG (1) Xét ΔBGC ΔCFA, ta có: BGC = CFA = 90o BCG = CAF (so le AD // BC) Suy ΔBGC đồng dạng ΔCFA (g.g) Suy ra: AF AC = ⇒ BC.AF = AC.CG CG BC Mà BC = AD (tính chất hình bình hành) Suy ra: AD.AF = AC.CG (2) Cộng vế đẳng thức (1) (2) ta có: AB.AE + AD.AF = AC.AG + AC.CG Hay AB.AE + AD.AF = AC(AG + CG) Mà AG + CG = AC nên AB.AE + AD.AF = AC2 (điều phải chứng minh) Bài 59 trang 98 sách tập Toán Tập 2: Tam giác ABC có hai đường cao AD BE (D thuộc BC E thuộc AC) Chứng minh hai tam giác DEC ABC hai tam giác đồng dạng Lời giải: Xét ΔADC ΔBEC, ta có: ADC = BEC = 90o C chung Suy ra: ΔADC đồng dạng ΔBEC (g.g) Suy ra: AC DC EC DC = = BC EC BC AC Xét ΔDEC ΔABC ta có: EC DC = BC AC C chung Vậy ΔDEC đồng dạng ΔABC (c.g.c) Bài 60 trang 98 sách tập Tốn Tập 2: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK CL cắt O Từ điểm P cạnh AC, vẽ đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB) Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự M, N Chứng minh đoạn thẳng FM, MN, NE Lời giải: Gọi Q giao điểm PF AK, I giao điểm PE CL Trong ΔFPE ta có: PE // AK hay QM // PE Suy ra: FQ FM (định lí ta-lét) (1) = FP FE Trong ΔALO ta có:PF // CL hay FQ // LO Suy ra: AF FQ (định lí ta-lét) (2) = AL LO Trong ΔALC ta có: PF // CL Suy ra: AF FP = (định lí ta-lét) (3) AL CL Từ (2) (3) suy ra: FQ FP FQ LO = = LO CL FP CL CL (O giao điểm hai đường trung tuyến, nên O trọng tâm tam giác FQ = (4) BAC) nên FP Vì LO = Từ (1) (4) suy ra: FM 1 = FM = FE FE 3 Trong ΔEPF ta có: PF // CL hay NI // PF Suy ra: EI EN (định lí ta –lét) (5) = EP EF Trong ΔCKO ta có: EI // OK Suy ra: CE EI = (định lí ta –lét) (6) CK KO Trong ΔCKA ta có: PE // AK Suy ra: CE EP = (định lí ta –lét) (7) CK AK Từ (6) (7) suy ra: Vì OK = EI EP EI OK = = OK AK EP AK EI = (8) AK (O trọng tâm tam giác ABC) nên EP Từ (5) (8) suy ra: EN 1 = EN = EF EF 3 1 Ta có: MN = EF - (EN + FM) = EF − EF + EF = EF 3 Vậy EN = MN = NF (điều phải chứng minh) ... ΔABC (c.g.c) Bài 60 trang 98 sách tập Toán Tập 2: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK CL cắt O Từ điểm P cạnh AC, vẽ đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc... Trong ΔABD, ta có: A = 90o Suy ra: B1 + D2 = 90o (3) Từ (1), (2) (3) : Suy ra: BCA = D2 Xét ΔBCO ΔADO, ta có: BCA = D2 (chứng minh trên) AOD = BOC (đối đỉnh) Vậy ΔBOC đồng dạng ΔADO (g.g) Bài 53. .. bình hành) Suy ra: AM AN = AB BC Vì AB // CD nên ABC + C = 180 o (3) Tứ giác AMCN có AMC = AND = 90o Suy ra: MAN + C = 180 o (4) Từ (3) (4) suy ra: MAN = ABC Xét ΔAMN ΔABC, ta có: AM AN = (chứng