Ôn tập chương 3 Phần Đại số Bài 62 trang 16 SBT Toán lớp 8 Tập 2 Cho hai biểu thức 5 A 2m 1 = + và 4 B 2m 1 = − Hãy tìm các giá trị của m để hai biểu thức ấy có giá trị thỏa mãn hệ thức a) 2A + 3B = 0[.]
Ôn tập chương - Phần Đại số Bài 62 trang 16 SBT Toán lớp Tập 2: Cho hai biểu thức A = 2m +1 Hãy tìm giá trị m để hai biểu thức có giá trị thỏa mãn hệ 2m − thức: B= a) 2A + 3B = 0; b) A.B = A + B Lời giải: Ta có: A = B = ĐKXĐ: m 2m − 2m +1 a) Ta có: 2A + 3B = + =0 2m +1 2m − 10 12 + =0 2m + 2m − 10(2m − 1) 12(2m + 1) + =0 (2m + 1)(2m − 1) ( 2m − 1)(2m + 1) 10(2m – 1) + 12(2m + 1) = ⇔ 20m – 10 + 24m + 12 = ⇔ 44m + = ⇔ m= −1 (thỏa mãn) 22 Vậy m = −1 2A + 3B = 22 b)Để AB = A+ B thì: 5 = + 2m +1 2m − 2m + 2m − 20 5(2m − 1) 4(2m + 1) = + (2m + 1)(2m − 1) ( 2m − 1)(2m + 1) (2m − 1)(2m + 1) 20 = 5(2m – 1) + 4(2m + 1) ⇔ 20 = 10m – + 8m + ⇔ 18m = 21 ⇔ m= (thỏa mãn ) Vậy m = A.B = A + B Bài 63 trang 16 SBT Toán lớp Tập 2: Tính gần nghiệm phương trình sau, làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai (dùng máy tính bỏ túi để tính tốn) ( )( a) x 13 + ( ) −x =0 ; )( ) b) x 2,7 − 1,54 1,02 + x 3,1 = Lời giải: a) (x )( 13 + ) −x =0 x 13 + = − x = Nếu x 13 + = x 13 = − x = − −0,62 13 Nếu −x =0x= 1,53 Vậy phương trình có nghiệm x = – 0,62; x = 1,53 b) (x )( ) 2,7 − 1,54 1,02 + x 3,1 = x 2,7 − 1,54 = 1,02 + x 3,1 = Nếu 1,02 + x 3,1 = x = Nếu x 2,7 − 1,54 = x = − 1,02 −0,57 3,1 1,54 0,94 2,7 Vậy phương trình có nghiệm x = 0,94; x = – 0,57 Bài 64 trang 16 SBT Toán lớp Tập 2: Giải phương trình sau: a) 9x − 0,7 5x − 1,5 7x − 1,1 5(0,4 − 2x) − = − ; b) 3x − 2x +5 − =1− ; x −1 x + (x − 1)(x + 3) c) 15 −7 + = ; 4(x − 5) 50 − 2x 6(x + 5) 8x 2x + 8x d) = − 3(1 − 4x ) 6x − +8x Lời giải: a) 9x − 0,7 5x − 1,5 7x − 1,1 5(0,4 − 2x) − = − 21(9x − 0,7) 12(5x − 1,5) 28(7x − 1,1) 70(0,4 − 2x) − = − 84 84 84 84 ⇔ 21(9x – 0,7) – 12(5x – 1,5) = 28(7x – 1,1) – 70(0,4 – 2x) ⇔ 189x – 14,7 – 60x + 18 = 196x – 30,8 – 28 + 140x ⇔ 189x – 60x – 196x – 140x = – 30,8 – 28 + 14,7 – 18 ⇔ – 207x = – 62,1 ⇔ x = 0,3 Vậy phương trình có nghiệm x = 0,3 b) 3x − 2x +5 − =1− (ĐKXĐ: x 1;x −3 ) x −1 x + (x − 1)(x + 3) (3x − 1)(x + 3) (2x +5)(x − 1) (x + 3)(x − 1) − = − (x − 1)(x + 3) (x + 3)(x − 1) (x + 3)(x − 1) (x − 1)(x + 3) (3x – 1)(x + 3) – (2x + 5)(x – 1) = (x – 1)(x + 3) – ⇔ 3x2 + 9x – x – – 2x2 + 2x – 5x + = x2 + 3x – x – – ⇔ 3x2 – 2x2 – x2 + 9x – x + 2x – 5x – 3x + x = – – + – ⇔ 3x = – ⇔ x = – (loại) Vậy phương trình vơ nghiệm c) 15 −7 + = 4(x − 5) 50 − 2x 6(x + 5) (ĐKXĐ: x 5 ) 15 −7 − = 4(x − 5) 2(x − 25) 6(x + 5) 3.3(x + 5) 15.6 −7.2(x − 5) − = 12(x − 5)(x +5) 12(x − 5)(x + 5) 12(x + 5)(x − 5) 9(x + 5) – 90 = – 14(x – 5) ⇔ 9x + 45 – 90 = – 14x + 70 ⇔ 9x + 14x = 70 – 45 + 90 ⇔ 23x = 115 ⇔ x = (loại) Vậy phương trình vơ nghiệm 8x 2x + 8x d) = − 3(1 − 4x ) 6x − +8x (ĐKXĐ: x ) 8x 2x + 8x − + =0 3(1 − 4x ) 6x − +8x 8x 2x + 8x + + =0 3(1 − 4x ) − 6x +8x 8x 2x + 8x + + =0 3(1 + 2x)(1 − 2x) 3(1 − 2x) 4(1 +2x) 4.8x 4.2x(1 +2x) 3(1 + 8x)(1 − 2x) + + =0 4.3(1 + 2x)(1 − 2x) 4.3(1 − 2x)(1 + 2x) 4.3(1 +2x)(1 − 2x) 32x2 + 8x(1 + 2x) + 3(1 + 8x)(1 – 2x) = ⇔ 32x2 + 8x + 16x2 + + 18x – 48x2 = ⇔ 32x2 + 16x2 – 48x2 + 18x + 8x = – ⇔ 26x = – ⇔ x = −3 (thỏa mãn) 26 Vậy phương trình có nghiệm x = −3 26 Bài 65 trang 16 SBT Toán lớp Tập 2: Cho phương trình (ẩn x): 4x2 – 25 + k2 + 4kx = a) Giải phương trình với k = b) Giải phương trình với k = – c) Tìm giá trị k cho phương trình nhận x = – làm nghiệm Lời giải: a) Khi k = ta có phương trình: 4x2 – 25 = ⇔ (2x + 5)(2x – 5) = ⇔ 2x + = 2x – = Nếu 2x + = ⇔ x = −5 Nếu 2x – = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = −5 x = 2 b) Khi k = – ta có phương trình: 4x2 – 25 + (– 3)2 + 4.(– 3)x = ⇔ 4x2 – 25 + – 12x = ⇔ 4x2 – 12x – 16 = ⇔ x2 – 3x – = ⇔ x2 – 4x + x – = ⇔ x(x – 4) + (x – 4) = ⇔ (x + 1)(x – 4) = ⇔ x + = x – = Nếu x + = ⇔ x = – Nếu x – = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = – 1; x = c) Phương trình nhận x = – làm nghiệm nên ta có: 4.(– 2)2 – 25 + k2 + 4k.(– 2) = ⇔ 16 – 25 + k2 – 8k = ⇔ k2 – 8k – = ⇔ k2 – 9k + k – = ⇔ k(k – 9) + (k – 9) = ⇔ (k + 1)(k – 9) = ⇔ k + = k – = Nếu k + = ⇔ k = –1 Nếu k – = ⇔ k = Vậy k = – k = phương trình nhận x = – làm nghiệm Bài 66 trang 17 SBT Toán lớp Tập 2: Giải phương trình sau: a) (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2)x2 ; b) −7x + ; = − x3 + x2 − x + x + c) 2x2 – x = – 6x; d) x−2 2(x − 11) − = x+ x−2 x −4 Lời giải: a) (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2)x2 ⇔ (x + 2)(x2 – 3x + 5) – (x + 2)x2 = ⇔ (x + 2)[(x2 – 3x + 5) – x2] = ⇔ (x + 2)(x2 – 3x + – x2) = ⇔ (x + 2)(5 – 3x) = ⇔ x + = – 3x = Nếu x + = ⇔ x = – Nếu – 3x = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = – 2; x = −7x + b) (ĐKXĐ: x −1 ) = − x +1 x − x +1 x + −7x + 5(x + 1) 1(x − x + 1) ; = − (x + 1)(x − x + 1) (x − x + 1)(x + 1) (x + 1)(x − x + 1) – 7x2 + = 5x + – x2 + x – ⇔ – 7x2 + x2 – 5x – x = – – ⇔ – 6x2 – 6x = ⇔ – x2 – x = ⇔ x(x + 1) = ⇔ x = x + = ⇔ x = x = – (loại khơng thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình có nghiệm x = c) 2x2 – x = – 6x ⇔ 2x2 – x + 6x – = ⇔ (2x2 + 6x) – (x + 3) = ⇔ 2x(x + 3) – (x + 3) = ⇔ (2x – 1)(x + 3) = ⇔ 2x – = x + = Nếu 2x – = ⇔ x = Nếu x + = ⇔ x = – Vậy phương trình có nghiệm x = ; x = – d) x−2 2(x − 11) − = x+ x−2 x −4 (x − 2)(x − 2) 3(x + 2) 2(x − 11) − = (x + 2)(x − 2) (x − 2)(x +2) (x + 2)(x − 2) (ĐKXĐ: x 2 ) (x – 2)(x – 2) – 3(x + 2) = 2x – 22 ⇔ x2 – 2x – 2x + – 3x – = 2x – 22 ⇔ x2 – 2x – 2x – 3x – 2x + – + 22 = ⇔ x2 – 9x + 20 = ⇔ x2 – 5x – 4x + 20 = ⇔ x(x – 5) – 4(x – 5) = ⇔ (x – 4)(x – 5) = ⇔ x – = x – = Nếu x – = ⇔ x = (t/m) Nếu x – = ⇔ x = (t/m) Vậy phương trình có nghiệm x = x = Bài 67 trang 17 SBT Toán lớp Tập 2: Số nhà Khanh số tự nhiên có hai chữ số Nếu thêm chữ số vào bên trái số số kí hiệu A Nếu thêm chữ số vào bên phải số số kí hiệu B Tìm số nhà Khanh, biết A – B = 153 Lời giải: Gọi x là, số nhà bạn Khanh Điều kiện: x ∈ N* < x < 100 Thêm số vào bên trái số nhà bạn Khanh ta được: A= 5x = 500 + x (vì x số có chữ số) Thêm số vào bên phải số nhà bạn Khanh ta được: B= x5 = x0 + = 10x + Vì hiệu A – B = 153 nên ta có phương trình: (500 + x) – (10x + 5) = 153 ⇔ 500 + x – 10x – = 153 ⇔ – 9x = 153 – 500 + ⇔ – 9x = – 342 ⇔ x = 38 (thỏa mãn) Vậy số nhà bạn Khanh 38 Bài 68 trang 17 SBT Toán lớp Tập 2: Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo ngày phải khai thác 50 than Khi thực hiện, ngày đội khai thác 57 than Do đó, đội hồn thành kế hoạch trước ngày cịn vượt mức 13 than Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác than? Lời giải: Gọi x (tấn) khối lượng than khai thác theo kế hoạch ĐK: x > Thời gian dự định làm x (ngày)d 50 Khối lượng than thực tế khai thác x + 13 (tấn) Thời gian thực tế làm x + 13 (ngày) 57 Vì thời gian hồn thành sớm kế hoạch ngày nên ta có phương trình: x x + 13 57x 50(x + 13) 2850 − = 1 − = 50 57 2850 2850 2850 ⇔ 57x – 50x – 650 = 2850 ⇔ 7x = 2850 + 650 ⇔ 7x = 3500 ⇔ x = 500 (thỏa mãn) Vậy theo kế hoạch, đội phải khai thác 500 than Bài 69 trang 17 SBT Tốn lớp Tập 2: Hai xe tơ khởi hành từ Lạng Sơn Hà Nội, quãng đường dài 163km Trong 43km đầu, hai xe vận tốc Nhưng sau xe thứ tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu, xe thứ hai trì vận tốc cũ Do xe thứ đến Hà Nội sớm xe thứ hai 40 phút Tính vận tốc ban đầu hai xe Lời giải: Gọi x (km/h) vận tốc ban đầu hai xe Điều kiện: x > Quãng đường lại sau xe thứ tăng vận tốc là: 163 – 43 = 120 (km) Vận tốc xe thứ sau tăng tốc 1,2x (km/h) Thời gian xe thứ hết quãng đường lại 120 (giờ) 1,2x Thời gian xe thứ hai hết quãng đường lại Vì xe thứ đến sớm xe thứ hai 40 phút = 120 (giờ) x nên ta có phương trình: 120 120 − = x 1,2x 120 100 − = x x 360 300 2x − = 3x 3x 3x 360 – 300 = 2x ⇔ 2x = 60 ⇔ x = 30 (thỏa mãn ) Vậy vận tốc ban đầu hai xe 30km/h Bài 70 trang 17 SBT Tốn lớp Tập 2: Một đồn tàu hỏa từ Hà Nội thành phố Hồ Chí Minh 48 phút sau, tàu hỏa khác khởi hành từ Nam Định thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ vận tốc đoàn tàu thứ 5km/h Hai đoàn tàu gặp (tại ga đó) sau 48 phút kể từ đồn tàu thứ khởi hành Tính vận tốc tàu biết ga Nam Định nằm đường từ Hà Nội thành phố Hồ Chí Minh cách Hà Nội 87km Lời giải: Gọi x (km/h) vận tốc đoàn tàu thứ hai Điều kiện: x > Vận tốc đoàn tàu thứ x + (km/h) Khi gặp đồn tàu thứ 48 phút Vì đồn tàu thứ hai sau 48 phút nên đoàn tàu thứ hai Thời gian đoàn tàu thứ hai tàu gặp là: 48 phút = 24 Quãng đường đoàn tàu thứ hai từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp 3x (km) Quãng đường đoàn tàu thứ từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp 24 (x + 5) (km) Theo đề ta có phương trình: 24 (x +5) = 3x + 87 24 x + 24 = 3x + 87 9x = 63 x = 35(tm) Vận tốc đoàn tàu thứ hai 35km/h, vận tốc đoàn tàu thứ 35 + = 40 (km/h) Bài 71 trang 17 SBT Toán lớp Tập 2: Lúc 7h sáng, ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B, cách 36km quay trở đến bến A lúc 11 30 phút Tính vận tốc ca nơ xi dịng, biết vận tốc nước chảy 6km/h Lời giải: Gọi x (km/h) vận tốc thực ca nô Điều kiện: x > Vận tốc ca nơ xi dịng x + (km/h) Vận tốc ca nơ ngược dịng x – (km/h) Thời gian lúc ca nơ xi dịng 36 (giờ) x+6 Thời gian lúc ca nô ngược dịng Thời gian ca nơ về: 36 (giờ) x−6 11 30 phút – = 30 phút = Theo đề bài, ta có phương trình: 36 36 + = x+6 x−6 36.2(x − 6) 36.2(x +6) 9(x +6)(x − 6) + = 2(x + 6)(x − 6) 2(x − 6)(x +6) 2(x +6)(x − 6) 72(x – 6) + 72(x + 6) = 9(x + 6)(x – 6) ⇔ 72x – 432 + 72x + 432 = 9x2 – 324 ⇔ 9x2 – 144x – 324 = ⇔ x2 – 16x – 36 = ⇔ x2 + 2x – 18x – 36 = ⇔ x(x + 2) – 18(x + 2) = ⇔ (x + 2)(x – 18) = ⇔ x + = x – 18 = Nếu x + = ⇔ x = – < (loại) Nếu x – 18 = ⇔ x = 18 (thỏa mãn) Vậy vận tốc thực ca nô 18km/h, suy vận tốc ca nơ lúc xi dịng 18 + = 24 (km/h) Bài tập bổ sung Bài III.1 trang 18 SBT Toán lớp Tập 2: Giải phương trình sau a) 13 + = ; (2x + 7)(x − 3) 2x + x − 2x − 12(2x − 1) 2x − b) 1 − − 20 + 1 − = x +1 x + x + Lời giải: a) ĐKXĐ: x ≠ −7 x ≠ ±3 Mẫu thức chung là: (2x + 7)(x + 3)(x − 3) 13 + = (2x + 7)(x − 3) 2x + x − 13(x + 3) 1.(x − 3)(x + 3) 6(2x + 7) + = (2x + 7)(x − 3)(x + 3) (2x + 7)(x − 3)(x + 3) (2x + 7)(x +3)(x − 3) Khử mẫu ta được: 13(x + 3) + (x + 3)(x − 3) = 6(2x + 7) ⇔ 13x + 39 + x2 – = 12x + 42 ⇔ x2 + x − 12 = ⇔ x2 + 4x − 3x − 12 = ⇔ x(x + 4) − 3(x + 4) = ⇔(x + 4)(x − 3) = ⇔ x = −4 x = Trong hai giá trị tìm được, có x = – thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình có nghiệm x = – b) Đặt y =1 − 2x − , ta có 2x +1 12(2x − 1) 12(2x − 1) − 20 = − 12 + −8 x +1 x +1 2x − = − 12 1 − − = − 12y − x+1 Do phương trình cho có dạng y3 + 6y2 = −12y − Giải phương trình này: y3 + 6y2 = −12y − ⇔ y3 + 3y2.2 + 3y.22 + 23 = ⇔ (y + 2)3 = ⇔y=−2 Khi ta có: 1− 2x − 2x − = − 2 =3 x +1 x +1 ĐKXĐ phương trình x ≠ – Giải phương trình cách khử mẫu, ta được: 2x − = 3(x + 1) ⇔x=−4 Giá trị x = – thỏa mãn ĐKXĐ nên nghiệm phương trình cho Bài III.2 trang 18 SBT Tốn lớp Tập 2: a) Cho ba số a, b c đơi phân biệt Giải phương trình x x x + + =2 (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) b) Cho số a ba số b, c, d khác a thỏa mãn điều kiện c + d = 2b Giải phương trình: x 2x 3x 4a − + = (a − b)(a − c) (a − b)(a − d) (a − c)(a − d) (a − c)(a − d) Lời giải: a) x x x + + =2 (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) −x x x − − =2 (a − b)(c − a) (a − b)(b − c) (c − a)(b − c) x x x + + = −2 (a − b)(c − a) (a − b)(b − c) (c − a)(b − c) x(b − c) + x(c − a) +x(a − b) = −2 (a − b)(b − c)(c − a) x(b − c) +x(c − a) + x(a − b) = −2(a − b)(b − c)(c − a) x(b − c + c – a + a − b) = − 2(a − b)(b − c)(c − a) Hay 0x = − 2(a – b)(b − c)(c − a) Do a, b, c đôi khác nên 2(a − b)(b − c)(c − a) ≠ Vậy phương trình cho vơ nghiệm b) x 2x 3x 4a − + = (a − b)(a − c) (a − b)(a − d) (a − c)(a − d) (a − c)(a − d) x(a − d) 2x(a − c) 3x(a − b) 4a(a − b) − + = (a − b)(a − c)(a − d) (a − b)(a − d)(a − c) (a − c)(a − d)(a − b) (a − c)(a − d)(a − b) x(a − d) − 2x(a − c) + 3x(a − b) = 4a(a − b) ⇔ x(a − d − 2a + 2c + 3a − 3b) = 4a(a − b) ⇔ x(2a − 3b + 2c − d) = 4a(a − b) Theo giả thiết, b + d = 2c nên 2a – 3b + 2c – d = 2a – 2b = 2(a – b) Do phương trình cho tương đương với phương trình 2(a − b)x = 4a(a − b) Để ý a – b ≠ (do a ≠ b), ta thấy phương trình cuối có nghiệm x = 2a Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2a Bài III.3 trang 18 SBT Toán lớp Tập 2: Cần phải thêm vào tử mẫu phân 13 số với số tự nhiên để phân số ? 18 Lời giải: Gọi x số tự nhiên cần thêm vào tử mẫu phân số 13 để phân số , 18 x>0 Ta có phương trình 13 + x = 18 +x 5(13 + x) = 4(18 + x) 65 + 5x = 72 + 4x x = ( thỏa mãn) Vậy số tự nhiên cần tìm Bài III.4 trang 18 SBT Toán lớp Tập 2: Cách 10 năm, tuổi người thứ gấp lần tuổi người thứ hai Sau năm, tuổi người thứ hai nửa tuổi người thứ Hỏi nay, tuổi người ? Lời giải: Gọi tuổi người thứ hai x (x nguyên dương) Cách 10 năm, tuổi người thứ hai x – 10 tuổi tuổi người thứ 3(x – 10) ( tuổi) Do đó, tuổi người thứ 3(x – 10) + 10 ( tuổi) Sau năm, tuổi người thứ hai x + (tuổi) tuổi người thứ 2(x + 2) ( tuổi) Từ ta có phương trình 3(x − 10) + 10 = 2(x + 2) − ⇔ 3x – 30 + 10 = 2x + – ⇔ x = 22 (thỏa mãn) Vậy tuổi người thứ hai 22 tuổi người thứ là: 2(x + 2) − = 2.(22 + 2) – = 46 tuổi ... vô nghiệm 8x 2x + 8x d) = − 3( 1 − 4x ) 6x − +8x (ĐKXĐ: x ) 8x 2x + 8x − + =0 3( 1 − 4x ) 6x − +8x 8x 2x + 8x + + =0 3( 1 − 4x ) − 6x +8x 8x 2x + 8x + + =0 3( 1 + 2x)(1 − 2x) 3( 1 − 2x)... 2x + x − 13( x + 3) 1.(x − 3) (x + 3) 6(2x + 7) + = (2x + 7)(x − 3) (x + 3) (2x + 7)(x − 3) (x + 3) (2x + 7)(x +3) (x − 3) Khử mẫu ta được: 13( x + 3) + (x + 3) (x − 3) = 6(2x + 7) ⇔ 13x + 39 + x2 –... +2x) 4.8x 4.2x(1 +2x) 3( 1 + 8x)(1 − 2x) + + =0 4 .3( 1 + 2x)(1 − 2x) 4 .3( 1 − 2x)(1 + 2x) 4 .3( 1 +2x)(1 − 2x) 32 x2 + 8x(1 + 2x) + 3( 1 + 8x)(1 – 2x) = ⇔ 32 x2 + 8x + 16x2 + + 18x – 48x2 = ⇔ 32 x2