Ôn tập chương 4 Bài 71 trang 61 sách bài tập Toán 8 Tập 2 Cho các bất đẳng thức a > b; a < b; c > 0; c < 0; a + c < b + c; a + c > b + c; ac < bc; ac > bc Hãy điền các bất đẳng thức thích hợp vào chỗ[.]
Ôn tập chương Bài 71 trang 61 sách tập Toán Tập 2: Cho bất đẳng thức: a > b; a < b; c > 0; c < 0; a + c < b + c; a + c > b + c; ac < bc; ac > bc Hãy điền bất đẳng thức thích hợp vào chỗ trống ( ) câu sau: Nếu……… và……… thì……… Lời giải: Nếu a > b c > ac > bc Nếu a > b c > a + c > b + c Nếu a > b c < a + c > b + c Nếu a > b c < ac < bc Nếu a < b c > ac < bc Nếu a < b c > a + c < b + c Nếu a < b c < ac > bc Nếu a < b c < a + c < b + c Bài 72 trang 61 sách tập Toán Tập 2: Cho a > b, chứng tỏ: a) 3a + > 3b + 2; b) – 4a < – 4b Lời giải: a) Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + > 3b + (1) Mặt khác: > nên 3b + > 3b + (2) Từ (1) (2) suy ra: 3a + > 3b + ( điều phải chứng minh) b) Ta có: a > b ⇔ –4a < –4b ⇔ – 4a < – 4b (1) Mặt khác: < nên – 4a < – 4a (2) Từ (1) (2) suy ra: – 4a < – 4b ( điều phải chứng minh) Bài 73 trang 61 sách tập Toán Tập 2: a) Chứng tỏ 2,99 nghiệm bất phương trình > x Hãy kể bốn số lớn 2,99 nghiệm bất phương trình b) Chứng tỏ 4,01 nghiệm bất phương trình < x Hãy kể ba số nhỏ 4,01 nghiệm bất phương trình Lời giải: a) Ta có 2,99 nghiệm bất phương trình > x > 2,99 Bốn số lớn 2,99 nghiệm bất phương trình là: 2,999; 2,998; 2,997; 2,996 b) Ta có 4,01 nghiệm bất phương trình < x < 4,01 Ba số nhỏ 4,01 nghiệm bất phương trình là: 4,003; 4,002; 4,001 Bài 74 trang 61 sách tập Toán Tập 2: Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm chúng trục số a) 2(3x – 1) – 2x < 2x + 1; b) 4x – ≥ 3(3x – 2) + – 2x Lời giải: a) Ta có: 2(3x – 1) – 2x < 2x + ⇔ 6x – – 2x < 2x + ⇔ 6x – 2x – 2x < + ⇔ 2x < ⇔ x 3 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = {x| x } Biểu diễn tập nghiệm trục số b) Ta có: 4x – ≥ 3(3x – 2) + – 2x ⇔ 4x – ≥ 9x – + – 2x ⇔ 4x – 9x + 2x ≥ – + + ⇔ –3x ≥ ⇔ x ≤ –2 Vậy tập nghiệm bất phương trình {x| x ≤ –2} Bài 75 trang 61 sách tập Toán Tập 2: Giải bất phương trình: a) 2x + 1,4 b)1 + 3x − ; + 2x 2x − − Lời giải: a) 2x + 1,4 3x − ; (2x + 1,4).5 3x − 5 ⇔ 10x + < 3x – ⇔ 10x – 3x < –7 – ⇔ 7x < –14 ⇔ x < –2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = {x| x < –2} b) Ta có: + 1.6 + + 2x 2x − −2 + 2x 2x − − 2.6 ⇔ + + 4x > 2x – – 12 ⇔ 4x – 2x > –1 – 12 – – ⇔ 2x > –21 ⇔ x > –10,5 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = {x| x > –10,5} Bài 76 trang 61 sách tập Toán Tập 2: Một người quãng đường dài 18km khoảng thời gian không nhiều Lúc đầu người với vận tốc 5km/h, sau với vận tốc 4km/h Xác định độ dài đoạn đường mà người với vận tốc 5km/h Lời giải: Gọi x (km) đoạn đường người với vận tốc 5km/h ĐK: x < 18 Khi đoạn đường người với vận tốc 4km/h 18 – x(km) Thời gian với vận tốc 5km/h x Thời gian với vận tốc 4km/h 18 − x Vì thời gian hết đoạn đường khơng q nên ta có bất phương trình: x 18 − x + 4 x 18 − x 20 + 20 4.20 ⇔ 4x + 90 – 5x ≤ 80 ⇔ 4x – 5x ≤ 80 – 90 ⇔ –x ≤ –10 ⇔ x ≥ 10 Vậy đoạn đường với vận tốc 5km/h 10km Bài 77 trang 61 sách tập Tốn Tập 2: Giải phương trình: a) |2x| = 3x – b) |–3,5x| = 1,5x + c) |x + 15| = 3x – d) |2 – x| = 0,5x – Lời giải: a) Ta có: |2x| = 2x 2x ≥ ⇔ x ≥ Và |2x| = –2x 2x < ⇔ x < Ta có: 2x = 3x – ⇔ 2x – 3x = –2 ⇔x=2 Giá trị x = thỏa mãn điều kiện x ≥ nên nghiệm phương trình Xét –2x = 3x – ⇔ –2x – 3x = –2 ⇔ x= Giá trị x = không thỏa mãn điều kiện x < nên loại Vậy tập nghiệm phương trình S = {2} b) Ta có: |–3,5x| = –3,5x –3,5x ≥ ⇔ x ≤ Và |–3,5x| = 3,5x –3,5x < ⇔ x > Ta có: –3,5x = 1,5x + ⇔ –3,5x – 1,5x = ⇔ –5x = ⇔ x = –1 Giá trị x = –1 thỏa mãn điều kiện x ≤ nên –1 nghiệm phương trình Xét 3,5x = 1,5x + ⇔ 3,5x – 1,5x = ⇔ 2x = ⇔ x = 2,5 Giá trị x = 2,5 thỏa mãn điều kiện x > nên 2,5 nghiệm phương trình Vậy tập nghiệm phương trình S = {–1; 2,5} c) Ta có: |x + 15| = x + 15 x + 15 ≥ ⇔ x ≥ –15 Và |x + 15| = –x – 15 x + 15 < ⇔ x < –15 Ta có: x + 15 = 3x – ⇔ x – 3x = –1 – 15 ⇔ –2x = –16 ⇔x=8 Giá trị x = thỏa mãn điều kiện x ≥ –15 nên nghiệm phương trình Xét –x – 15 = 3x – ⇔ –x – 3x = –1 + 15 ⇔ –4x = 14 ⇔ x = –3,5 Giá trị x = –3,5 không thỏa mãn điều kiện x < –15 nên loại Vậy tập nghiệm phương trình S = {8} d) Ta có: |2 – x| = – x – x ≥ ⇔ x ≤ Và |2 – x| = x – – x < ⇔ x > Ta có: – x = 0,5x – ⇔ –x – 0,5x = – – ⇔ – 1,5x = – ⇔x=4 Giá trị x = không thỏa mãn điều kiện x ≤ nên loại Xét x – = 0,5x – ⇔ x – 0,5x = –4 + ⇔ 0,5x = –2 ⇔x=–4 Giá trị x = – không thỏa mãn điều kiện x > nên loại Vậy tập nghiệm phương trình S = ∅ Bài 78 trang 61 sách tập Toán Tập 2: Chứng tỏ rằng, tam giác độ dài cạnh nhỏ nửa chu vi Lời giải: Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chu vi tam giác a + b + c Nửa chu vi tam giác a +b +c Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: a nên ab > ⇒ Từ (1); (2) suy ra: (a2 + b2) ⇔ 1 ≥ 2ab ab ab a b + ≥2 b a ⇔2+ a b + ≥ 2+2 b a ⇔2+ a b + ≥4 b a ⇔1+1+ ⇔ > (2) ab a b + ≥4 b a a b a b + + + ≥4 a b b a 1 ⇔ a + a b 1 1 +b + ≥ a b 1 1 ⇔ (a + b). + (điều phải chứng minh) a b Bài 81 trang 62 sách tập Toán Tập 2: Chứng tỏ diện tích hình vng có cạnh 10m khơng nhỏ diện tích hình chữ nhật có chu vi Lời giải: Chu vi hình vuông 4.10 = 40 (m) Suy ra, chu vi hình chữ nhật 40 (m) nên nửa chu vi hình chữ nhật 40 : = 20 (m) Gọi x (m) chiều rộng hình chữ nhật Điều kiện: x < 20 Khi chiều dài hình chữ nhật 20 – x (m) Diện tích hình chữ nhật x(20 – x) (m2) Vậy ta cần chứng minh: 102 ≥ x(20 – x) Ta có: (10 – x)2 ≥ với x ⇔ 102 – 20x + x2 ≥ ⇔ 102 ≥ 20x – x2 ⇔ 102 ≥ x(20 – x) (đcpcm) Vậy diện tích hình vng cạnh 10m khơng nhỏ diện tích hình chữ nhật chu vi Bài 82 trang 62 sách tập Toán Tập 2: Giải bất phương trình: a) 3(x – 2)(x + 2) < 3x2 + x; b) (x + 4)(5x – 1) > 5x2 + 16x + Lời giải: a) Ta có: 3(x – 2)(x + 2) < 3x2 + x ⇔ 3(x2 – 4) < 3x2 + x ⇔ 3x2 – 12 < 3x2 + x ⇔ 3x2 – 3x2 – x < 12 ⇔ –x < 12 ⇔ x > –12 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = {x| x > –12} b) Ta có: (x + 4)(5x – 1) > 5x2 + 16x + ⇔ 5x2 – x + 20x – > 5x2 + 16x + ⇔ 5x2 – x + 20x – 5x2 – 16x > + ⇔ 3x > ⇔x>2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = {x| x > 2} Bài 83 trang 62 sách tập Tốn Tập 2: Giải bất phương trình: 5x − 3x 3x + x(2x +1) a) + − ; 2 5x − 20 2x 2+ x x(1 − 3x) 5x b) − − 3 Lời giải: 5x − 3x 3x + x(2x +1) a) Ta có: + − 2 5x − 3x 3x + x(2x +1) 20 + 20 20 − 20 2 ⇔ 20x2 – 12x + 15x + < 20x2 + 10x – 30 ⇔ 20x2 – 12x + 15x – 20x2 – 10x < –30 – ⇔ –7x < –35 ⇔x>5 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = {x| x > 5} 5x − 20 2x 2+ x x(1 − 3x) 5x b)Ta có: − − 3 5x − 20 2x 2+ x x(1 − 3x) 5x 12 − 12 12 − 12 3 ⇔ 20x – 80 – 12x2 – 6x > 4x – 12x2 – 15x ⇔ 20x – 12x2 – 6x – 4x + 12x2 + 15x > 80 ⇔ 25x > 80 ⇔ x > 3,2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = {x| x > 3,2} Bài 84 trang 62 sách tập Toán Tập 2: Với giá trị x thì: a) Giá trị biểu thức 2x − x(x − 2) + không lớn giá trị biểu 35 x 2x − thức − b) Giá trị biểu thức 5x + 12 − 5x + 6x + x + + không nhỏ giá trị biểu thức 18 12 Lời giải: 2x − x(x − 2) + không lớn giá trị biểu 35 2x − x(x − 2) x 2x − x 2x − + − thức nghĩa − 35 7 a) Giá trị biểu thức Ta có: 2x − x(x − 2) x 2x − + − 35 7 2x − x(x − 2) x2 2x − 35 + 35 35 − 35 35 7 ⇔ 2x – + 5x2 – 10x ≤ 5x2 – 14x + 21 ⇔ 2x + 5x2 – 10x – 5x2 + 14x ≤ 21 + ⇔ 6x ≤ 24 ⇔x≤4 Vậy với x ≤ giá trị biểu thức 2x − x(x − 2) + không lớn giá trị 35 x 2x − biểu thức − 6x + x + + không nhỏ giá trị biểu thức 18 12 5x + 12 − 5x 6x + x + 5x + 12 − 5x + + + nghĩa 18 6 12 9 b) Giá trị biểu thức Ta có: 6x + x + 5x + 12 − 5x + + 18 12 6x + x +3 5x + 12 − 5x 36 + 36 36 + 36 18 12 ⇔ 12x + + 3x + ≥ 30x + 18 + 48 – 20x ⇔ 12x + 3x – 30x + 20x ≥ 18 + 48 – – ⇔ 5x ≥ 55 ⇔ x ≥ 11 Vậy với x ≥ 11 giá trị biểu thức biểu thức 5x + 12 − 5x + 6x + x + + không nhỏ giá trị 18 12 Bài 85 trang 62 sách tập Tốn Tập 2: Tìm x cho: a) –x2 < b) (x – 1)x < Lời giải: a) Ta có: –x2 < ⇔ x2 > Mọi giá trị x ≠ nghiệm bất phương trình Tập hợp giá trị x S = {x ∈ R| x ≠ 0} b) Trường hợp 1: x – > x < Ta có: x – > ⇔ x > x < Điều không xảy ra: loại Trường hợp 2: x – < x > Ta có: x – < ⇔ x < x > Suy ra: < x < Vậy tập hợp giá trị x S = {x| < x < 1} Bài 86 trang 62 sách tập Toán Tập 2: Tìm x cho: a) x2 > b) (x – 2)(x – 5) > Lời giải: a) Với x2 > x khác thỏa mãn toán Tập hợp giá trị x S = {x ∈ R| x ≠ 0} b) Trường hợp 1: x – > x – > Ta có: x – > ⇔ x > x–5>0⇔x>5 Suy ra: x > Trường hợp 2: x – < x – < Ta có: x – < ⇔ x < x–5 Bài 87 trang 62 sách tập Toán Tập 2: Với giá trị x thì: a) x−2 0; x −3 b) x +2 0 x −5 Lời giải: a) Trường hợp 1: x – > x – > Ta có: x – > ⇔ x > x–3>0⇔x>3 Suy ra: x > Trường hợp 2: x – < x – < Ta có: x – < ⇔ x < x–3 x – < Ta có: x + > ⇔ x > –2 x–50⇔x>5 Trường hợp không xảy Vậy với –2 < x < x +2 x −5 Bài 88 trang 62 sách tập Toán Tập 2: Chứng tỏ phương trình sau vơ nghiệm: a) |2x + 3| = 2x + 2; b) |5x – 3| = 5x – Lời giải: a) Ta có: |2x + 3| = 2x + 2x + ≥ ⇔ x ≥ –1,5 Và |2x + 3| = –2x – 2x + < ⇔ x < –1,5 Ta có: 2x + = 2x + ⇔ 0x = –1 phương trình vơ nghiệm Xét –2x – = 2x + ⇔ –2x – 2x = + ⇔ –4x = ⇔ x = –1,25 Giá trị x = –1,25 không thỏa mãn điều kiện x < –1,5 nên loại Vậy phương trình cho vơ nghiệm b) Ta có: |5x – 3| = 5x – 5x – ≥ ⇔ x ≥ 0,6 Và |5x – 3| = – 5x 5x – < ⇔ x < 0,6 Ta có: 5x – = 5x – ⇔ 0x = –2 phương trình vơ nghiệm Xét: – 5x = 5x – ⇔ –5x – 5x = –5 – ⇔ –10x = –8 ⇔ x = 0,8 Giá trị x = 0,8 không thỏa mãn điều kiện x < 0,6 nên loại Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài tập bổ sung Bài IV.1 trang 62 sách tập Toán Tập 2: Tìm x cho a) 2x − 1 ; x+3 b) 2x −1 x−2 Lời giải: a) Ta có 2x − 1 x+3 2x − − 1 x+3 2x − − (x +3) 0 x+3 x−4 0 x +3 Ta xét hai trường hợp: 1) x – > x + > 2) x – < x + < Với trường hợp 1), ta xác định x > Với trường hợp 2), ta xác định x < –3 Vậy với x > x < –3 b) Ta có : 2x − 1 x+3 2x −1 3 x−2 2x −1 −30 x−2 2x −1 − 3(x − 2) 0 x−2 −x + x −5 0 0 x−2 x −2 Trường hợp x – > x – > Ta có: x – > x > Và x – > x > Suy ra: x > Trường hợp x – < x – < Ta có: x – < x < Và x – < x < Suy ra: x < Kết hợp trường hợp, x > x < ... Thời gian với vận tốc 4km/h 18 − x Vì thời gian hết đoạn đường khơng q nên ta có bất phương trình: x 18 − x + ? ?4 x 18 − x 20 + 20 4. 20 ⇔ 4x + 90 – 5x ≤ 80 ⇔ 4x – 5x ≤ 80 – 90 ⇔ –x ≤ –10 ⇔... 18 6 12 9 b) Giá trị biểu thức Ta có: 6x + x + 5x + 12 − 5x + + 18 12 6x + x +3 5x + 12 − 5x 36 + 36 36 + 36 18 12 ⇔ 12x + + 3x + ≥ 30x + 18 + 48 – 20x ⇔ 12x + 3x – 30x + 20x ≥ 18 + 48 . ..b) Ta có: a > b ⇔ –4a < –4b ⇔ – 4a < – 4b (1) Mặt khác: < nên – 4a < – 4a (2) Từ (1) (2) suy ra: – 4a < – 4b ( điều phải chứng minh) Bài 73 trang 61 sách tập