Ôn tập chương 1 Phần Hình học Bài 157 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là a) Hình chữ nhật[.]
Ôn tập chương - Phần Hình học Bài 157 trang 99 SBT Toán Tập 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để EFGH là: a) Hình chữ nhật b) Hình thoi c)Hình vng Lời giải: * Xét tam giác ABC có: E trung điểm AB F trung điểm BC Do đó, EF đường trung bình ΔABC Suy ra: EF //AC EF = AC (1) * Xét ΔADC có: H trung điểm AD G trung điểm DC Do đó, HG đường trung bình Suy ra: HG // AC HG = AC (2) Từ (l) (2) suy EF // HG EF = HG Vậy tứ giác EFGH hình bình hành Lại có: E trung điểm AB, H trung điểm AD nên EH đường trung bình tam giác ABD EH // BD EH = BD a) Tứ giác EFGH hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF Ta có: EF // AC nên để EH ⊥ EF EH ⊥ AC (quan hệ từ vng góc đến song song) Mà EH // BD nên AC ⊥ BD (quan hệ từ vng góc đến song song) Vậy để EFGH hình chữ nhật tứ giác ABCD phải có AC ⊥ BD b) Tứ giác EFGH hình thoi ⇔ EH = EF Mà EH = 1 BD ; EF = AC (tính chất đường trung bình tam giác) 2 Do đó, để EFGH hình thoi tứ giác ABCD phải có AC = BD c) Tứ giác EFGH hình vng ⇔ tứ giác ABCD hình thoi đồng thời hình chữ nhật ⇔ AC ⊥ BD AC = BD Bài 158 trang 100 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC vuông A, điểm D trung điểm BC Gọi M điểm đối xứng với D qua AB, E giao điểm DM AB Gọi N điểm đối xứng với D qua AC, F giao điểm DN AC a) Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao? b) Các tứ giác ADBM, ADCN hình gì? Vì sao? c) Chứng minh M đối xứng với N qua A d) Tam giác ABC có điều kiện tứ giác AEDF hình vng Lời giải: a) Điểm M điểm D đối xứng qua trục AB Suy AB đường trung trực đoạn thẳng MD ⇒ AB ⊥ DM ⇒ AED = 90o Điểm D điểm N đối xứng qua trục AC ⇒ AC đường trung trực đoạn thẳng DN ⇒ AC ⊥ DN ⇒ AFD = 90° Xét tứ giác AEDF có EAF = 90o (giả thiết) AFD = 90° AED = 90o Vậy tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì có góc vng) b) Tứ giác AEDF hình chữ nhật ⇒ DE // AC; DF // AB Trong ∆ABC, ta có: DB = DC (giả thiết) Mà DE // AC Suy ra: AE = EB (tính chất đường trung bình tam giác) Lại có: DF // AB DB = DC Suy ra: AF = FC (tính chất đường trung bình tam giác) Xét tứ giác ADBM, ta có: AE = EB (chứng minh trên) ED = EM (vì AB trung trực DM) Suy tứ giác ADBM hình bình hành (vì có đường chéo cắt trung điểm đường) Mặt khác: AB ⊥ DM Vậy hình bình hành ADBM hình thoi (vì có hai đường chéo vng góc) Xét tứ giác ADCN, ta có: AF = FC (chứng minh trên) DF = FN (vì AC đường trung trực DN) Suy tứ giác ADCN hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường) Lại có: AC ⊥ DN Vậy hình bình hành ADCN hình thoi (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường) c) Tứ giác ADBM hình thoi ⇒ AM // DB AM = AD Hay AM // BC AM = AD (1) Tứ giác ADCN hình thoi ⇒ AN // DC AD = AN Hay AN // BC AN = AD (2) Từ (1) (2) suy ra: AM trùng với AN hay M, A, N thẳng hàng Và AM = AN nên A trung điểm MN Vậy điểm M điểm N đối xứng qua điểm A d) Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vng AE = AF Ta có: AE = 1 AB; AF = AC 2 Nên AE = AF ⇒ AB = AC Vậy ∆ABC vuông cân A tứ giác AEDF hình vng Bài 159 trang 100 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với H qua AB, gọi E điểm đối xứng với H qua AC a) Chứng minh D đối xứng với E qua A b) Tam giác DHE tam giác gì? Vì sao? c) Tứ giác BDEC hình gì? Vì sao? d) Chứng minh BC = BD + CE Lời giải: a) Điểm D đối xứng điểm H qua trục AB Suy AB đường trung trực HD ⇒ AH = AD (tính chất đường trung trực) ⇒ ΔADH cân A Suy ra: AB tia phân giác DAH ⇒ DAB = A1 Điểm H điểm E đối xứng qua trục AC ⇒ AC đường trung trực HE ⇒ AH = AE (tính chất đường trung trực) ⇒ ΔAHE cân A Suy ra: AC đường phân giác góc HAE A = EAC Ta có: DAH + HAE = A1 + DAB + A + CAE = 2(A1 + A ) = 2.900 = 1800 ⇒ D, A, E thẳng hàng Ta có: AD = AE (vì AH) Suy điểm A trung điểm đoạn DE Vậy điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A b) ΔADH cân A ⇒ AHD = ADH ΔAEH cân A ⇒ AHE = AEH ⇒ DHE = AHD + AHE = ADH + AEH Mà DHE + ADH + AEH = 180o ⇒ DHE = 90o Vậy ΔDHE vuông H c) Xét ΔADB ΔAHB có: DAB = HAB ; AB chung; DA = AH ⇒ ΔADB = ΔAHB (c.g.c) ⇒ ADB = AHB = 90o ⇒ BD ⊥ DE Chứng minh tương tự AEC = AHC = 90o ⇒ EC ⊥ DE ⇒ BD // EC có BDE = 90° ⇒ BDEC hình thang vng d) Vì AB đường trung trực HD ⇒ BD = BH Vì AC đường trung trực HE ⇒ CE = CH Vậy BD + CE = BH + CH = BC Bài 160 trang 100 SBT Toán Tập 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, AC, CD, DB Tìm điều kiện tứ giác ABCD để EFGH là: a) Hình chữ nhật; b) Hình thoi; c) Hình vng Lời giải: Xét tam giác ABC ta có: E F trung điểm AB AC Nên EF đường trung bình tam giác ABC Nên EF // BC, EF = BC (1) Xét tam giác BDC có H G trung điểm BD CD Nên HG đường trung bình tam giác BDC HG // BC, HG = BC (2) Từ (1) (2) ta có: EF //HG, EF = HG Vậy EFGH hình bình hành Tương tự, ta chứng minh EH // FG, EH = FG a) EFGH hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF Mà EH // AD nên EF ⊥ AD Mặt khác EF // BC ⇔ AD ⊥ BC Vậy để EFGH hình chữ nhật AD ⊥ BC b) EFGH hình thoi ⇔ EH = EF Mà EH = 1 AD ; EF = BC ⇔ AD = BC 2 Vậy để EFGH hình thoi AD = BC c) EFGH hình vng EFGH hình chữ nhật đồng thời hình thoi ⇔ AD ⊥ BC AD = BC Vậy EFGH hình vng AD vng góc với BC AD = BC Bài 161 trang 100 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD, CE cắt G Gọi H trung điểm GB, K trung điểm GC a) Chứng minh tứ giác DEHK hình bình hành b) Tam giác ABC cần có điều kiện tứ giác DEHK hình chữ nhật c) Nếu đường trung tuyến BD CE vng góc với tứ giác DEHK hình gì? Lời giải: a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD CE cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Ta có: GD = GH = GB (tính chất đường trung tuyến tam giác) GB (H trung điểm GB ) Suy ra: GD = GH Ta có: GE = GK = GC (tính chất đường trung tuyến tam giác) GC (K trung điểm GC) Suy GE = GK Xét tứ giác DEHK có: GE = GK GD = GH Do đó, tứ giác DEHK hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường) b) Hình bình hành DEHK trở thành hình chữ nhật DH = EK Mà DH = 2 BD; EK = CE 3 Nên DH = EK ⇒ BD = CE ⇒ ΔABC cân A Vậy ΔABC cân A tứ giác DEHK hình chữ nhật c) Nếu BD ⊥ CE ⇒ DH ⊥ EK Hình bình hành DEHK có hai đường chéo vng góc nên hình thoi Bài 162 trang 100 SBT Tốn Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD Gọi E F theo thứ tự trung điểm AB CD a) Các tứ giác AEFD, AECF hình gì? Vì sao? b) Gọi M giao điểm AF DE, gọi N giao điểm BF CE Chứng minh tứ giác EMFN hình chữ nhật c) Hình bình hành ABCD nói có thêm điều kiện EMFN hình vuông Lời giải: a) * Xét tứ giác AEFD, ta có: AB // CD (vì ABCD hình bình hành) hay AE // FD AE = AB (vì E trung điểm AB) FD = CD (vì F trung điểm CD) Suy ra: AE = FD Do đó, tứ giác AEFD hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) Lại có: AD = AE = AB Vậy tứ giác AEFD hình thoi * Xét tứ giác AECF, ta có: AE // CF (do ABCD hình bình hành) AE = AB (giả thiết) CF = CD (giả thiết) Suy ra: AE = CF Tứ giác AECF hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) b) Tứ giác AEFD hình thoi ⇒ AF ⊥ ED ⇒ EMF = 90o AF // CE (vì tứ giác AECF hình bình hành) Mà AF ⊥ ED Nên CE ⊥ ED ⇒ MEN = 90o Xét tứ giác EBFD, ta có: EB = FD (vì AE) EB // FD (vì AB // CD) Tứ giác EBFD hình bình hành (vì có cặp cạnh đổi song song nhau) ⇒ DE // BF Mà DE ⊥ AF Nên BF ⊥ AF ⇒ MFN = 90° Xét tứ giác MENF có: MFN = 90° EMF = 90o EMF = 90o Vậy tứ giác EMFN hình chữ nhật c) Ta có: Hình chữ nhật EMFN hình vng ⇒ ME = MF ME = DE (tính chất hình thoi) MF = AF (tính chất hình thoi) Suy ra: DE = AF ⇒ Tứ giác AEFD hình vng (vì hình thoi có đường chéo nhau) ⇒ A = 90o ⇒ Hình bình hành ABCD hình chữ nhật Ngược lại: ABCD hình chữ nhật ⇒ A = 90o Hình thoi AEFD có A = 90o nên AEFD hình vng ⇒ AF = DE ⇒ ME = MF (tính chất hình vng) Hình chữ nhật EMFN hình vng (vì có cạnh kề nhau) Vậy hình chữ nhật EMFN hình vng ABCD hình chữ nhật có AB = 2AD Bài 163 trang 100 SBT Tốn Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD a) Tứ giác DEBF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh đường thẳng AC, BD, EF cắt điểm c) Gọi giao điểm AC với DE BF theo thứ tự M N Chứng minh tứ giác EMFN hình bình hành Lời giải: a) Xét tứ giác DEBF, ta có: AB // CD (vì ABCD hình bình hành) hay DF // EB EB = AB (vì E trung điểm AB) DF = CD (vì F trung điểm CD) Suy ra: EB = DF Xét tứ giá DEBF có: EB = DF DF // EB Tứ giác DEBF hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) b) Gọi O giao điểm AC BD Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành) Tứ giác DEBF hình bình hành nên EF BD cắt trung điểm đường Suy ra: EF qua trung điểm O BD Vậy AC, BD EF cắt O trung điểm đoạn c) Xét ΔEOM ΔFON có: MEO = NFO (so le DE // BF) OE = OF (tính chất hình bình hành) MOE = NOF (đối đỉnh ) Suy ra: ΔEOM = ΔFON (g.c.g) ⇒ OM = ON Xét tứ giác EMFN ta có: OM = ON OE = OF Do đó, tứ giác EMFN hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường) Bài 164 trang 101 SBT Toán Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = a Gọi M điểm nằm A B Vẽ phía AB hình vng AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự C, D Gọi I trung điểm CD a) Tính khoảng cách từ I đến AB b) Khi M di chuyển đoạn thẳng AB I di chuyển đường thằng nào? Lời giải: a) Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB, DF ⊥ AB Suy ra: CE // DF // IH Mà IC = ID (giả thiết) Nên IH đường trung bình hình thang DCEF ⇒ IH = DF + CE Vì C tâm hình vng AMNP nên ΔCAM vng cân C CE ⊥ AM ⇒ CE đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) ⇒ CE = AM Vì D tâm hình vng BMLK nên ΔDBM vuông cân D DF ⊥ BM ⇒ DF đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) ⇒ DF = BM 1 1 a Vậy CE + DF = AM + BM = (AM +BM) = AB = 2 2 a a Suy ra: IH = = b) Gọi Q giao điểm BL AN Ta có: AN ⊥ MP (tính chất hình vng) BL ⊥ MK (tính chất hình vng) MP ⊥ MK (tính chất hình vng) Suy ra: BL ⊥ AN ⇒ ΔQAB vuông cân Q cố định Khi M thay đổi I thay đổi ln cách đoạn thẳng AB cố định khoảng a không đổi nên I chuyển động trênđường thẳng song song với AB, cách a AB khoảng Khi M trùng B I trùng với S trung điểm BQ Khi M trùng với A I trùng với R trung điểm AQ Vậy M chuyển động đoạn AB I chuyển động đoạn thẳng RS song a song với AB, cách AB khoảng Bài trang 101 SBT Toán Tập 1: Điền vào chỗ trống : a) Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường b) Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường c) Tứ giác có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường Lời giải: a) Là hình bình hành b) Là hình chữ nhật c) Là hình thoi Bài trang 101 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC cân A Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm AB, BC, AC a) Chứng minh ADEF hình thoi b) Tam giác ABC có thêm điều kiện ADEF hình vng ? Lời giải: a) Ta có: E trung điểm BC (giả thiết) D trung điểm AB (giả thiết) Nên ED đường trung bình ΔABC: DE = AF = AC (1) E F trung điểm BC;AC nên EF đường trung bình ΔABC ⇒ EF = AD = AB (2) Lại có: AB = AC (vì tam giác ABC cân A) Từ (1), (2) suy ra: AD = DE = EF = AF Vậy tứ giác ADEF hình thoi b) Hình thoi ADEF hình vng ⇒ A = 90o ⇒ ΔABC vuông cân A Ngược lại ΔABC vuông cân A ⇒ Tứ giác ADEF hình thoi có A = 90o ⇒ Hình thoi ADEF hình vng Vậy hình thoi ADEF hình vng ΔABC vng cân A ... vng góc đến song song) Mà EH // BD nên AC ⊥ BD (quan hệ từ vng góc đến song song) Vậy để EFGH hình chữ nhật tứ giác ABCD phải có AC ⊥ BD b) Tứ giác EFGH hình thoi ⇔ EH = EF Mà EH = 1 BD ; EF =... EFGH hình vng ⇔ tứ giác ABCD hình thoi đồng thời hình chữ nhật ⇔ AC ⊥ BD AC = BD Bài 1 58 trang 10 0 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC vuông A, điểm D trung điểm BC Gọi M điểm đối xứng với D qua AB,... trở thành hình vng AE = AF Ta có: AE = 1 AB; AF = AC 2 Nên AE = AF ⇒ AB = AC Vậy ∆ABC vuông cân A tứ giác AEDF hình vng Bài 15 9 trang 10 0 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH