Các dạng toán về hình chữ nhật I Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông Tứ giác ABCD là hình chữ nhật oA B C D 90 Nhận xét Hình chữ nhật cũng là một hình bình[.]
Các dạng tốn hình chữ nhật I Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có góc vng o Tứ giác ABCD hình chữ nhật A B C D 90 B A O D C Nhận xét: Hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân Tính chất - Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành hình thang cân - Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết: a) Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật b) Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật c) Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật d) Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Áp dụng vào tam giác vuông: a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền b) Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng II Các dạng tốn ví dụ minh họa Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Phương pháp giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình chữ nhật a) Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật b) Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật c) Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật d) Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A, điểm M cạnh BC Gọi D E theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB AC Tứ giác ADME hình gì? Tại sao? B M D E A C Lời giải: ABC vuông A nên BAC 90 ; mà D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC nên o DAE 90o o Vì MD AB D nên ADM 90 ; ME AC E nên AEM 90 o Xét tứ giác ADME có: DAE ADM AEM 90o Vậy tứ giác ADME hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến BM, CN cắt G Gọi D điểm đối xứng với G qua M, gọi E điểm đối xứng với G qua N Tứ giác BEDC hình gì? Vì sao? A D E M N G C B Lời giải: Ta có hai đường trung tuyến BM CN cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: BG 2GM (1) CG 2GN Lại có: G đối xứng với với D qua M GM = MD GD = 2GM (2) G đối xứng với E qua N GN = EN GE = 2GN (3) BG GD Từ (1); (2); (3) G trung điểm BD; G trung điểm CE CG GE Xét tứ giác BCDE có: G trung điểm đường chéo BD G trung điểm đường chéo CE Do đó: tứ giác BCDE hình bình hành Lại có: ABC cân A nên AB = AC Mà M trung điểm AC, N trung điểm AB nên BN = CM Xét tam giác BNC tam giác CMB có: BC chung BN = CM NBC MCB (do tam giác ABC cân A) Do đó: BNC CMB (c – g –c) CN BM (hai cạnh tương ứng) CN EC Mà BM BD Do EC = BD Xét hình bình hành BCDE có hai đường chép EC BD Hình bình hành BCDE hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết) Dạng 2: Vận dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc đường chéo hình chữ nhật kiến thức học tứ giác đặc biệt Ví dụ: Tứ giác ABCD có AB CD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm BC, BD, AD, AC Chứng minh EG = FH E B C H A F D G Lời giải: Vì E trung điểm BC, H trung điểm AC nên EH đường trung bình ABC EH // AB (*) EH AB (tính chất đường trung bình tam giác) (1) Tương tự ta chứng minh GF đường trung bình ABD GF // AB GF AB (tính chất đường trung bình tam giác) (2) Từ (1) (2) HE // GF; HE = GF GHEF hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) (**) Mặt khác ta chứng minh EF đường trung bình BCD EF // CD (3) Kết hợp với AB CD (gt) (4) Kết hợp (*), (3) (4) HE EF HEF 90o (***) Từ (**) (***) ta có EFGH hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết) Từ suy hai đường chéo EG = FH (tính chất hình chữ nhật) Dạng 3: Sử dụng định lý thuận đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Phương pháp giải: Sử dụng định lý tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng để tính độ dài đoạn thẳng chứng minh hình chứng minh tam giác vng Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BD Biết HB = cm, HD = cm Tính độ dài AB, AD Lời giải: B C H A Ta có: BD = HB + HD = + = cm Xét tam giác giác BHA vng H ta có: BH2 AH2 AB2 (định lý Py – ta – go) AH2 AB2 BH2 AH2 AB2 22 AH2 AB2 (1) Xét tam giác AHD vng H ta có: HD2 AH2 AD2 (định lý Py – ta – go) AH2 AD2 HD2 AH2 AD2 62 AH2 AD2 36 (2) Từ (1); (2) AB2 AD2 36 (3) Xét tam giác ABD vng A có: AB2 AD2 DB2 (định lý Py – ta – go) D AB2 AD2 82 AB2 64 AD2 thay vào (3) 64 AD2 AD2 36 2AD2 96 AD2 48 AD AB2 64 AB2 16 AB cm Vậy AD cm;AB cm Ví dụ 2: Cho ABC vuông A, trung tuyến AM Biết AB = 3cm, AC = 4cm Tính độ dài AM B 3cm M A 4cm C Lời giải: ABC vuông A có: BC2 AB2 AC2 (định lý Pytago) Thay số: BC2 32 42 25 BC 5cm 1 Vì AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AM BC 2,5(cm) 2 Ví dụ 3: Cho hình thang vng ABCD ( A D 90 ) có điểm E, F thuộc cạnh AD o o o cho AE = DF BFC 90 Chứng minh BEC 90 Lời giải: A E N F B M D C Gọi N trung điểm EF NE = NF, mà AE = DF (gt) AE + NE = DF + NF AN = DN N trung điểm AD Gọi M trung điểm BC Khi đó: MN đường trung bình hình thang ABCD MN // AB Mặt khác AB AD (do hình thang ABCD vng A D) Nên MN AD MN EF Xét MEF có: MN đường cao, MN đường trung tuyến (do N trung điểm EF) MEF cân M nên ME = MF (1) Lại có: BFC vng F M trung điểm BC Nên MF = MB = MC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông) (2) Từ (1) (2) ME = MB = MC BEC vuông E (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) BEC 90 (đpcm) o Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật Ví dụ: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh EFGH hình bình hành b) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để EFGH hình chữ nhật Lời giải: A E H D B F G C a) Ta có: E trung điểm AB, H trung điểm AD nên HE đường trung bình ABD HE / /BD;HE BD (1) F trung điểm BC, G trung điểm DC nên FG đường trung bình BCD nên: FG / /BD;FG BD (2) Từ (1) (2) HE / /FG HE FG Xét tứ giác EFGH ta có HE / /FG HE FG Do đó: EFGH hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) o b) Giả sử EFGH hình chữ nhật HEF 90 HE EF (3) Ta có: E trung điểm AB, F trung điểm BC Do đó: EF đường trung bình ABC EF //AC (tính chất đường trung bình tam giác) (4) Mà HE // BD (chứng minh a) (5) Từ (3), (4), (5) BD AC Tứ giác ABCD có đường chéo vng góc Tứ giác ABCD cần có thêm điều kiện hai đường chéo vng góc EFGH hình chữ nhật III Bài tập tự luyện Bài Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì? Bài Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC, BC lấy điểm P, Q cho AP = CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M thuộc AB) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật Bài Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I trung điểm AC Lấy E điểm đối xứng với H qua I Gọi M, N trung điểm HC, CE Các đường thẳng AM, AN cắt HE G K Chứng minh: a) Tứ giác AHCE hình chữ nhật; b) HG = GK = KE Bài Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm M di động cạnh BC Gọi D E theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB AC a) Tứ giác ADME hình gì? Tại sao? b) Chứng minh AM = DE; c) Chứng minh điểm M thay đổi cạnh BC chu vi tứ giác ADME khơng thay đổi; d) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để DE có độ dài nhỏ Bài Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH FK vuông góc với đường thẳng AB AD H K Chứng minh: a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật; b) AF // BD; c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vuông A Về phía ngồi tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) ACE (EA = EC) Gọi M trung điểm BC, I giao điểm DM AB, K giao điểm EM AC Chứng minh: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng; b) Tứ giác IAKM hình chữ nhật; c) Tam giác DME tam giác vng cân Bài Cho hình chữ nhật ABCD Điểm E, F thuộc cạnh AD, AB Gọi I, K, M, N theo thứ tự trung điểm EF, FD, BE, BD Chứng minh IN = KM Bài Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi D, E, M theo thứ tự trung điểm AB, AC, BC Chứng minh tứ giác DEMH hình thang cân Bài Cho tam giác ABC vng A, điểm D thuộc cạnh AC Gọi E, F, G theo thứ tự trung điểm BD, BC, DC Chứng minh tứ giác AEFG hình thang cân Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AB, AC a) Tính số đo góc IHK; b) Chứng minh chu vi tam giác IHK nửa chu vi tam giác ABC Bài 11 Cho hình thang cân ABCD, đường cao AH Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh bên AD, BC Chứng minh EFCH hình bình hành Bài 12 Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vng góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M giao điểm tia Ax tia By Nối M với trung điểm P AB, đường thẳng MP cắt AC Q BQ cắt AI H a) Tứ giác AMBQ hình gì? b) Chứng minh CH AB ; c) Chứng minh tam giác PIQ cân Bài 13 Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC, AC, AB a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành; b) Xác định vị trí điểm O để tứ giác MNPQ hình chữ nhật Bài 14 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC, BC a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng; b) Chứng minh tứ giác ABPN hình thang cân; c) Tìm hệ thức liên hệ AB CD để ABPN hình chữ nhật ... vng góc EFGH hình chữ nhật III Bài tập tự luyện Bài Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì? Bài Cho tam giác... giác IAKM hình chữ nhật; c) Tam giác DME tam giác vng cân Bài Cho hình chữ nhật ABCD Điểm E, F thuộc cạnh AD, AB Gọi I, K, M, N theo thứ tự trung điểm EF, FD, BE, BD Chứng minh IN = KM Bài Cho... đó: BNC CMB (c – g –c) CN BM (hai cạnh tương ứng) CN EC Mà BM BD Do EC = BD Xét hình bình hành BCDE có hai đường chép EC BD Hình bình hành BCDE hình chữ nhật (dấu hiệu nhận