Các dạng toán về đối xứng trục, đối xứng tâm I Lý thuyết 1 Đối xứng trục a) Định nghĩa đối xứng trục + Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua một đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn t[.]
Các dạng toán đối xứng trục, đối xứng tâm I Lý thuyết Đối xứng trục a) Định nghĩa đối xứng trục + Hai điểm gọi đối xứng với qua đường thẳng d d đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm A đối xứng với A’ qua d d trung trực đoạn thẳng AA’ d AA' + Quy ước: Một điểm nằm trục đối xứng điểm đối xứng với nó + Điểm nằm trục đối xứng cách hai đầu đoạn thẳng b) Hai hình đối xứng qua trục Hai hình đối xứng với qua đường thẳng ln có điểm hình đối xứng với điểm hình qua đường thẳng ngược lại + Nếu hai đoạn thẳng, góc, tam giác đối xứng với qua đường thẳng c) Hình có trục đối xứng Hình có trục đối xứng: Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình điểm đối xứng với điểm thuộc hình qua đường thẳng d thuộc hình + Đường thẳng qua trung điểm hai đáy hình thang cân trục đối xứng hình thang cân Đối xứng tâm a) Định nghĩa Hai điểm gọi đối xứng với qua điểm O O trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm A đối xứng với B qua O O trung điểm AB Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O điểm O b) Hai hình đối xứng qua điểm Hai hình gọi đối xứng với qua điểm O điểm thuộc hình đối xứng với điểm thuộc hình qua O ngược lại Tam giác ABC tam giác A’B’C’ đối xứng với qua tâm I Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua điểm c) Hình có tâm đối xứng Điểm O gọi tâm đối xứng hình H điểm đối xứng với điểm thuộc hình H thuộc hình H Hình bình hành có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo Hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo nên O tâm đối xứng hình bình hành II Các dạng tập Dạng Chứng minh hai điểm hai hình đối xứng với qua trục tâm Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm, hai hình đối xứng với qua trục tâm Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A, AM đường trung tuyến Chứng minh AB AC đối xứng với qua AM Lời giải: Vì ABC tam giác cân A nên AM vừa đường trung tuyến vừa đường cao AM BC AM trung tuyến nên M trung điểm BC, suy BM = MC mà AM BC nên B đối xứng với C qua AM Mặt khác: A AM nên A đối xứng với A qua AM AB đối xứng với AC qua AM Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt cạnh AD, BC E F Chứng minh E F đối xứng với qua O Lời giải: Vì ABCD hình bình hành AD / /BC DAO BCO (hai góc so le trong) Có O giao điểm hai đường chéo AC BD O trung điểm AC AO OC Xét tam giác AOE tam giác COF có: EAO FCO DAO BCO EOA FOC (hai góc đối đỉnh) AO = OC Do đó: AOE COF (g – c – g) OE OF (hai cạnh tương ứng) Mà O, E, F thẳng hàng nên E đối xứng với F qua O Dạng Sử dụng tính chất đối xứng trục đối xứng tâm để giải toán Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng, hai tam giác, hai hình đối xứng với qua trục tâm Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A Lấy M cạnh BC Gọi E F điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh A trung điểm EF Lời giải: Gọi D giao điểm ME AB, H giao điểm MF AC Vì E đối xứng với M qua AB nên ED = MD; EDA MDA 90 Xét tam giác EDA tam giác MDA có DA chung EDA MDA 90 ED = MD Do đó: EDA MDA (c – g – c) EA AM (hai cạnh tương ứng) (1); EAD DAM (hai góc tương ứng) (2) Vì F đối xứng với M qua AC nên FH = MH; FHA MHA 90 Xét tam giác FHA tam giác MHA có HA chung FHA MHA 90 FH = MH Do đó: FHA MHA (c – g – c) FA AM (hai cạnh tương ứng) (3); AMH HFA (hai góc tương ứng) (4) Từ (1) (3) EA FA (5) Lại có: MH AC MH // AB MAD AMH (hai góc so le trong) (6) AB AC Từ (2); (4) (6) EAD HFA Mà HFA FAH 90 (tam giác AHF vng H) Do đó: FAH EAD 90 Ta có: FAH EAD BAC 90 90 180 Suy A, E, F thẳng hàng (7) Từ (5) (7) ta có A trung điểm EF III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC có AB < AC, gọi d đường trung trực BC Vẽ K đối xứng với A qua d a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua đường thẳng d; tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AC qua d; b) Tứ giác AKCB hình gì? Bài 2: Cho tam giác ABC có A 60 , trực tâm H Gọi M điểm đối xứng với H qua BC a) Chứng minh BHC = BMC; b) Tính BMC Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB AC Một điểm M thuộc cạnh BC, điểm đối xứng với M qua E P, điểm đối xứng với M qua F Q a) Chứng minh A thuộc đường thẳng PQ; b) BCQP hình bình hành Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC Từ D kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AC E đường thẳng qua D song song với AC cắt AB F Chứng minh hai điểm E F đối xứng với qua trung điểm I đoạn thẳng AD Bài 5: Cho tam giác ABC điểm M nằm đường phân giác đỉnh C Chứng minh: AC + CB < AM + MB Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt cạnh AD, BC E F Chứng minh E F đối xứng với qua O Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn, lấy M BC Gọi E, F điểm đối xứng với M qua AB AC Gọi I K giao điểm EF với AB, AC a) Chứng minh: MA phân giác IMK b) Khi M cố định, tìm vị trí điểm P AB Q AC để chu vi tam giác MPQ nhỏ Bài 8: Cho góc xOy Điểm A nằm góc Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy Tính số góc xOy để B đối xứng với C qua O Bài 9: Cho tam giác ABC Vẽ điểm D đối xứng với B qua A, vẽ điểm E đối xứng với C qua A Gọi M điểm nằm B C Tia MA cắt DE N Chứng minh MC = NE Bài 10: Cho hình bình hành ABCD điểm E đối xứng với A qua B, F đối xứng với A qua D Chứng minh E đối xứng với F qua C ... thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua điểm c) Hình có tâm đối xứng Điểm O gọi tâm đối xứng hình H điểm đối xứng với điểm thuộc hình H thuộc hình H Hình bình hành có tâm đối xứng giao điểm hai đường... góc đối đỉnh) AO = OC Do đó: AOE COF (g – c – g) OE OF (hai cạnh tương ứng) Mà O, E, F thẳng hàng nên E đối xứng với F qua O Dạng Sử dụng tính chất đối xứng trục đối xứng tâm để giải toán. .. trục đối xứng hình thang cân Đối xứng tâm a) Định nghĩa Hai điểm gọi đối xứng với qua điểm O O trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm A đối xứng với B qua O O trung điểm AB Quy ước: Điểm đối xứng