Mở đầu về phương trình I Lý thuyết 1 Khái niệm về phương trình một ẩn Phương trình một ẩn x là phương trình có dạng A(x) = B(x), trong đó A(x) và B(x) là các biểu thức của biến x 2 Các khái niệm liên[.]
Mở đầu phương trình I Lý thuyết Khái niệm phương trình ẩn - Phương trình ẩn x phương trình có dạng: A(x) = B(x), A(x) B(x) biểu thức biến x Các khái niệm liên quan - Giá trị x gọi nghiệm phương trình A(x) = B(x) đẳng thức A(x ) B(x ) - Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình - Tập nghiệm phương trình tập chứa tất giá trị nghiệm phương trình - Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Chú ý: Ta quy định hai phương trình vơ nghiệm tương đương II Dạng tập Dạng 1: Xét xem số cho trước có phải nghiệm phương trình hay khơng Phương pháp giải: Để xem số thực x có nghiệm phương trình A(x) = B(x) hay khơng, ta thay x vào phương trình để kiểm tra - Nếu A(x ) B(x ) đúng, ta nói x nghiệm phương trình cho - Nếu A(x ) B(x ) khơng đúng, ta nói x khơng nghiệm phương trình cho Ví dụ 1: Hãy xét xem số có phải nghiệm phương trình sau khơng? a) x – = – 2x b) x – = 5(x + 1) + 2x + Lời giải: a) Thay x = vào phương trình ta được: – = – 2.1 -1 = -1 (đúng) Vậy x = nghiệm phương trình x – = – 2x b) Thay x = vào phương trình ta được: – = 5.(1 + 1) + 2.1 + = 5.2 + + = 13 (vơ lí) Vậy x = khơng nghiệm phương trình Ví dụ 2: Cho phương trình 2x + m = x – Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x = Lời giải: Thay x = vào phương trình ta có: 2.4 + m = – 8+m=1 m=1–8 m = -7 Vậy m = -7 phương trình 2x + m = x – nhận x = nghiệm Ví dụ 3: Cho phương trình x + m = 2x + Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x = Lời giải: Thay x = vào phương trình ta có: + m = 2.3 + 3+m=6+3 3+m=9 m=9–3 m=6 Vậy m = phương trình x + m = 2x + nhận x = nghiệm Dạng 2: Xác định số nghiệm phương trình Phương pháp giải: Số nghiệm phương trình phụ thuộc vào số giá trị x thỏa mãn phương trình: - Phương trình A(x) = B(x) vô nghiệm A(x) B(x) với x - Phương trình A(x) = B(x) có nghiệm x = x A( x ) = B( x ) - Phương trình A(x) = B(x) có vô số nghiệm A(x) = B(x) với x Số nghiệm phương trình khơng vượt q số bậc cao đa thức tạo nên phương trình Ví dụ 1: Chứng minh phương trình x 2 vô nghiệm Lời giải: Ta có: x nên x 2 2 x 2 Ta thấy x 2 ln khác với x Vậy phương trình x 2 = vô nghiệm Ví dụ 2: Chứng minh phương trình x x x x 3 4x có vơ số nghiệm Lời giải: Ta có: x(x + 3) – 4x + = x + 3x – 4x + = x - x + Ta thấy: x x x x 3 4x với x nên phương trình có vơ số nghiệm Ví dụ 3: Tìm tất nghiệm phương trình x 1 x 5x Lời giải: Ta có: x 1 x 5x x 1 x 3x 2x x 1 x x 3 x 3 x 1 x 3 x x x x x x x Vậy phương trình cho có ba nghiệm với tập nghiệm S 1;2;3 Dạng 3: Chứng minh hai phương trình tương đương Phương pháp giải: Để xét tương đương hai phương trình ta thực bước sau đây: Bước 1: Tìm tập nghiệm S1;S2 hai phương trình cho Bước 2: Nếu S1 S2 ta kết luận hai phương trình cho tương đương Nếu S1 S2 ta kết luận hai phương trình cho khơng tương đương Ví dụ 1: Các cặp phương trình sau có tương đương không? Vf sao? a) x – = x = b) x x – = Lời giải: a) Xét phương trình x – = Nhận thấy x = nghiệm phương trình S1 2 tập nghiệm phương trình Xét phương trình x = Nhận thấy x = nghiệm phương trình S2 2 tập nghiệm phương trìnhh Vì S1 S2 nên hai phương trình cho tương đương b) Xét phương trình: x2 x x x x x x 4 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S1 4;4 Xét phương trình x – = Nhận thấy x = nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có tập nghiệm S2 2 Vì S1 S2 nên hai phương trình cho khơng tương đương Ví dụ 2: Cho hai phương trình: 2x 5x (1) 2 x 1 x 2x (2) 3 a) Chứng minh x nghiệm phương trình (1) (2)? b) Chứng minh x = - nghiệm phương trình (2) khơng phải nghiệm phương trình (1)? c) Hai phương trình có tương đương khơng? Vì sao? Lời giải: a) Thay x vào phương trình (1) ta có: 2 15 3 3 2. 5. 2 2 15 3 2 (đúng) Vậy x nghiệm phương trình (1) Thay x vào phương trình (2) ta có: 1 2 3 1 1 2 3 0. 2 (đúng) Vậy x nghiệm phương trình (2) Do x nghiệm chung hai phương trình b) Thay x = - vào phương trình (2) ta có: 2 5 1 5 2. 5 3 10 3 1 3 10 3 13 3 10 13 10 10 10 (đúng) Vậy x = -5 nghiệm phương trình (2) Thay x = -5 vào phương trình (1) ta có: 2. 5 5. 5 2.25 25 50 25 78 (vơ lí) Do x = -5 khơng phải nghiệm phương trình (1) c) Vì x = -5 nghiệm phương trình (2) khơng phải nghiệm phương trình (1) nên tập nghiệm hai phương trình khơng Do hai phương trình cho khơng tương đương Ví dụ 3: Tìm giá trị tham số m để hai phương trình x = 2mx = m + tương đương Lời giải: Vói phương trình x = S1 1 Để hai phương trình cho tương đương S1 tập nghiệm phương trình 2mx = m + Thay x = vào pương trình ta có: 2m.1 = m + 2m = m + 2m – m = m=2 Thay m = vào lại phương trình ta có: 2.2x = + 4x = x = (nghiệm nhất) Do m = hai phương trình cho tương đương III Bài tập tự luyện Bài 1: Hãy xét xem có nghiệm phương trình sau khơng? Vì sao? a) 2x + = x + b) 4(2x – 1) = x + + 3(x – 1) Bài 2: Các cặp phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x 25 x = b) 2x – = x – = Bài 3: Tìm m để x = nghiệm phương trình sau: a) 2m + 3(x + 1) = b) 4mx Bài 4: Cho phương trình: x 2x Chứng minh phương trình cho vơ nghiệm Bài 5: Cho phương trình x x 6x 8 Phương trình cho có nghiệm? Vì sao? Bài 6: Cho hai phương trình: 2x 3x (1) 2 x 1 x 1 2x (2) 5 a) Chứng minh x = nghiệm hai phương trình b) Chứng minh x = -1 nghiệm phương trình (1) khơng phải nghiệm phương trình (2) c) Hai phương trình cho có tương đương khơng? Vì sao? Bài 7: Cho phương trình x + m = 2x + Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x = Bài 8: Tìm giá trị tham số m để hai phương trình x = 2mx m x tương đương Bài 9: Cho hai phương trình: 5x 3x (1) -x 8x (2) a) Chứng minh x = nghiệm chung hai phương trình nghiệm phương trình (1) khơng phải nghiệm phương trình (2) b) Chứng minh x c) Hai phương trình cho có tương đương khơng? Vì sao? Bài 10: Cho phương trình: m x 2m x x = Tìm giá trị tham số m để hai phương trình tương đương ... sao? a) x – = x = b) x x – = Lời giải: a) Xét phương trình x – = Nhận thấy x = nghiệm phương trình S1 2 tập nghiệm phương trình Xét phương trình x = Nhận thấy x = nghiệm phương trình ... Bài 4: Cho phương trình: x 2x Chứng minh phương trình cho vơ nghiệm Bài 5: Cho phương trình x x 6x 8? ?? Phương trình cho có nghiệm? Vì sao? Bài 6: Cho hai phương trình: ... số m để phương trình có nghiệm x = Lời giải: Thay x = vào phương trình ta có: 2.4 + m = – ? ?8+ m=1 m= 1? ?8 m = -7 Vậy m = -7 phương trình 2x + m = x – nhận x = nghiệm Ví dụ 3: Cho phương trình x