50 bài tập về phân thức đại số (có đáp án 2022) – toán 8

Các phép toán về phân thức đại số I Lý thuyết 1 Phép cộng các phân thức đại số a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ ngu[.]

Các phép toán phân thức đại số I Lý thuyết Phép cộng phân thức đại số a) Quy tắc cộng hai phân thức mẫu thức Muốn cộng hai phân thức mẫu thức ta cộng tử thức với giữ nguyên mẫu thức (tương tự cộng hai phân số mẫu) b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức Bước 1: Quy đồng mẫu thức Bước 2: Cộng hai phân thức mẫu vừa tìm c) Tính chất phép cộng Cho ba phân thức A C E ; ; với  B;D;F   B D F + Tính giao hốn: A C C A    B D D B A C E A C E + Tính kết hợp:           B D F B D F + Cộng với 0: A A A 00  B B B Phép trừ phân thức đại số a) Phân thức đối - Hai phân thức gọi đối tổng chúng A A A phân thức  B   ngược lại phân thức B B B A A A   phân thức đối phân thức Ta có: B B B - Phân thức Như vậy:  A A A A    B B B B b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số Muốn trừ phân thức đối A C A cho phân thức ta lấy phân thức cộng với phân thức B D B C : D A C A  C      với  B;D   B D B  D  Phép nhân phân thức đại số a) Quy tắc nhân phân thức Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức mẫu thức với mẫu thức A C AC  với  B;D   B D BD b) Tính chất phép nhân: Cho ba phân thức A C E ; ; với  B;D;F   B D F - Tính giao hốn: A C C A  B D D B A C E A C E - Tính kết hợp:       B D F B D F A C E A E C E - Tính phân phối:       B D F B F D F Phép chia phân thức đại số a) Hai phân thức nghịch đảo - Hai phân thức nghịch đảo hai phân thức mà tích chúng - Nếu A B A phân thức khác  , đó: B A B + Phân thức nghịch đảo A B B A + Phân thức nghịch đảo B A A B b) Quy tắc chia hai phân thức A A C C  cho phân thức , ta nhân phân thức với    D D B B  C nghịch đảo phân thức D Muốn chia phân thức Tức A C A D AD  C  :     0 B D B C BC  D  Chú ý: Thứ tự thực phép tính phân thức giống thứ tự thực phép tính số II Các dạng tập Dạng 1: Cộng phân thức đại số Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số với tính chất phân thức đại số để giải tốn Ví dụ 1: Cộng phân thức đại số sau: a) 10  x x  18 x    với x  2 x  x  x2  b) 2x  3y  2  với x  0; y  xy x y x y c)  3x 3x  11x    với x  0;x  2x 2x  2x  4x Lời giải: a) 10  x x  18 x    x  x  x2   10  x x  18 x2   x  x   x   x    10  x x  18   x2 x2 x2  10  x  x  18  x2  2x  với x  2 x2 b) 2x  3y   xy x y2 x2y  2x 2x  3y 3y  2  2 2 x y x y x y  2x  2x  3y  3y x y2  4x  với x  0; y  2 x y xy c)  3x 3x  11x    2x 2x  2x  4x   3x 3x   11x  5   2x 2x  4x  2x   3x 3x  11x    2x 2x  2x  2x  1    3x  2x  1  3x  1.2x  11x  2x  2x  1 2x  2x  1 2x  2x  1  6x  6x   3x 6x  2x 11x    2x  2x  1 2x  2x  1 2x  2x  1  6x  6x    3x    6x  2x    11x   2x  2x  1 6x  6x   3x  6x  2x  11x   2x  2x  1  6x   6x    6x  3x  2x  11x    3   2x  2x  1  4x  2x  2x  1  2  2x  1 2x  2x  1  1 với x  0;x  x Ví dụ 2: Cho A = x x 4xy   với y  2x x  2y x  2y 4y  x a) Rút gọn A b) Tính A x = 1; y = Lời giải: a) A  x x 4xy   x  2y x  2y 4y  x A x x 4xy   x  2y x  2y x  4y A x x 4xy   x  2y x  2y  x  2y  x  2y  A x  x  2y  x  x  2y  4xy    x  2y  x  2y   x  2y  x  2y   x  2y  x  2y  x  2xy x  2xy 4xy A    x  2y  x  2y   x  2y  x  2y   x  2y  x  2y  x A  2xy    x  2xy   4xy  x  2y  x  2y  x  2xy  x  2xy  4xy A  x  2y  x  2y  x A  x    2xy  2xy  4xy   x  2y  x  2y  2x  4xy A  x  2y  x  2y  A 2x  x  2y   x  2y  x  2y  A 2x x  2y b) Với x = 1; y = (thỏa mãn điều kiện) thay vào A ta được: A 2.1 2    2.3  Vậy A  2 x = 1; y = Dạng 2: Trừ phân thức đại số Phương pháp giải: Thực theo bước Bước 1: Áp dụng quy tắc cộng với phân thức đối Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng mẫu thức khác mẫu thức Ví dụ 1: Thực phép tính a) 4xy  2xy   với x  0; y  5x y 5x y b) x  1  x 2x 1  x    với x  5 x  x  25  x Lời giải a) 4xy  2xy   5x y 5x y  4xy    2xy  1  5x y 5x y     4xy  1   2xy  1 5x y 4xy   2xy  5x y  4xy  2xy    1  1 5x y  2xy  với x  0; y  5x y 5x b) x  1  x 2x 1  x    x  x  25  x x  1  x 2x  2x    x  x  x  25 x 1 1 x 2x  2x    x  x   x  5 x   x  1 x  5 1  x  x  5  2x  2x     x  5 x  5  x  5 x  5  x  5 x  5  x  x  5x  x  x  5x  2x  2x    x  5 x  5  x  5 x  5  x  5 x  5 x   x  5x     x  x  5x     2x  2x   x  5 x  5 x  x  5x   x  x  5x   2x  2x   x  5 x  5 x   x  2x    x  5x  x  5x  2x       2x  10  x  5 x  5   x  5  x  5 x  5  với x  5 x 5  x  5 x  5 Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức 1   Từ đó, tính biểu thức x x  x  x  3 1    với x thỏa mãn tất x  x  3  x  3 x    x  12  x  15 mẫu khác M Lời giải: * Chứng minh biểu thức: 1 x 3 x x 3 x      (điểu phải chứng minh) x x  x  x  3 x  x   x  x   x  x   * Tính giá trị M: Ta có: 1 x 3 x x 3 x      x x  x  x  3 x  x   x  x   x  x    1 1      x  x  3  x x   x 6 x 3 x6 x 3      x  x   x  3 x    x  3 x    x  3 x    x  3 x    1 1      x  3 x    x  x   Chứng minh tương tự: …  1 1      x  12  x  15  x  12 x  15  Do đó: 1 1  1 1  1 1  M            3 x x   3 x  x    x  12 x  15  1 1 1 1  M         3 x x  x  x  x  12 x  15  1 1  M     x x  15    x  15 x M     x  x  15  x  x  15   x  15  x M x  x  15 15 M  x  x  15 x  x  15 Vậy M  x  x  15 Dạng 3: Nhân phân thức đại số Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc nhân phân thức đại số Chú ý: Đối với phép nhân có nhiều hai phân thức ta nhân tử thức với mẫu thức với Nếu có dấu ngoặc ta ưu tiên thực phép tính ngoặc trước Ví dụ 1: Thực phép tính x2 x2  a) A  với x  0;x  3 x  x3 x   12x  6x  x b) B  với x  3;x  2 x 4 x3  x   x3   x  x  1 với x  0;x  c) C  2x  x   Lời giải: x2 x2  a) A  x  x3 A x  x    x  3.x x  x  3 x  3 A  x  3.x A x 3 với x  0;x  3 x x   12x  6x  x b) B  x 4 x3 x3 2  x B  x   x   x   x  3  x  B  x   x   x  3 3   x  2 B  x   x     x  2 B với x  3;x  2 x2  x   x3   x  x  1 c) C  2x  x    x   x3 C    x  x  1  2x  x   x  x  1  x  1   x   x3  C    2x  x  x 1   x   x3 x3   C    2x  x  x   x  1 x3  x3   C   2x  x   C x 1 1  với x  0;x  2x x  2x Ví dụ 2: Tính hợp lí biểu thức sau M 1 1 1 với x  1  x  x  x  x  x  x16 Lời giải: M 1 1 1  x  x  x  x  x  x16  1 1  M  16 1 x 1 x  1 x 1 x 1 x 1 x   1 1 M  16  1  x 1  x    x  x  x  x M 1 1  x  x  x  x  x16  1  M 2  16 1 x 1 x  1 x 1 x 1 x   1 1   M  1  x 1  x    x  x  x16   M 1 1 4  x  x  x  x16  1  M 4  16 1 x 1 x  1 x 1 x   1  M 4  1  x 1  x    x  x16   M 1 8  x  x  x16   M 8  16 1 x 1 x  1 x   1  M  1  x 1  x    x16   M 1   x16  x16 1  x16  1  x16  M với x  1  x 32 Dạng 4: Chia phân thức đại số Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc chia phân thức Chú ý: Đối với phép chia có nhiều hai phân thức, ta nhân với nghịch đảo phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải Ưu tiên tính tốn biểu thức ngoặc trước Ví dụ 1: Làm tính chia x3  x  : a) với x  2 ; x  5x  10 x  x  4xy  4y2 4x  8y : b) với x   y;x  2y x  xy  y2 2x  2y3 c) x4 x5 x6 : : với x  4;x  5;x  6 x5 x6 x4 Lời giải: x3  x  : a) 5x  10 x  x3  x    5x  10 x   x  1  x  x  1  x     5 x  2  x  1  x  1  x  x  1  x     x   x  1  x2  x  với x  2 ; x  b) x  4xy  4y2 4x  8y : x  xy  y2 2x  2y3 x  4xy  4y2 2x  2y3   x  xy  y2 4x  8y    x  2y  x   xy  y   x  2y   x  2y  x 2  x  y3  2  xy  y2    x  y   x  xy  y2   x  2y   x  2y   x  y   x  xy  y    x  xy  y2 .4  x  2y    x  2y  x  y  với x   y;x  2y c) x4 x5 x6 : : x5 x6 x4  x4 x6 x4   x5 x5 x6   x   x   x    x  5 x  5 x    x  4   x  5 với x  4;x  5;x  6 Ví dụ 2: Tìm đa thức A biết: 2x  3y 4x  6xy 3 A  y với x  y ; x  3 x y 3x  3xy  3y Lời giải: 2x  3y 4x  6xy A  x  y3 3x  3xy  3y2 A 4x  6xy 2x  3y : 3x  3xy  3y2 x3  y3 4x  6xy x  y3 A 3x  3xy  3y2 2x  3y  x  y   x  xy  y2  A 3 x  xy  y2   2x  3y  2x  2x  3y  A 2x  x  y  với x  y Dạng 5: Sử dụng kết hợp phép toán phân thức đại số Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức với quy tắc dấu ngoặc Thứ tự thực phép tính: - Nếu phép tính có cộng, trừ có nhân, chia ta thực theo thứ tự từ trái sang phải - Nếu phép tính có cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực phép tính nâng lên lũy thừa trước, đến nhân, chia cuối đến, cộng trừ Lũy thừa  nhân chia  cộng trừ - Nếu biểu thức có dấu ngoặc: ngoặc trịn ( ), ngoặc vng [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực theo thứ tự ( ) [ ] { } Ví dụ: Thực phép tính  8x  x   x2   2  a) A  với x  1 x 1  x 1 x   2x  16x  20x  3x  b) B   với x   :   4x 4x   16x  8x  Lời giải:  8x  x   x2   2  a) A  x 1  x 1  x 1  x  1  8x  x   x2 A    x 1  x 1 x 1  x2 1 x   x2 2x   8x  A    x 1  x  x   x2 1 x  x  2x  8x  A  x 1 x 1 x 1 A  x    x  2x   x 1  8x  x2 1 x  2x  2x  2x  4x  8x  A  x2 1 x 1 x A  2x  2x  2x  4x    8x   x2 1 x  2x  2x  2x  4x   8x  A x2 1 A x   2x  2x    2x  4x  8x      x2 1 x  4x  2x  A x2 1 x   4x  2x  A  x  1 x  1  x  1  x  x  1   2x  x  1 A  x  1 x  1  x  1  x  x  1   2x  2x  x  1 A  x  1 x  1  x  1  x  x  1  2x  x  1   x  1 A  x  1 x  1  x  1  x  x  1   x  1 2x  1 A  x  1 x  1  x  1  x  x   4x   A  x  1 x  1 x  5x  với x  1 A x 1 2x  16x  20x  3x  b) B   :  4x 4x    16x  8x   3x. 4x  1 2x 1  4x   16x  20x B  :  4x 4x  1  4x 4x          16x  8x   12x  3x  16x  8x  2x  8x B    4x 4x  1  4x 4x          16x  20x  12x  3x  2x  8x  1  4x  B   1  4x  4x  1  4x  4x   4x  5x 1  4x  B 1  4x  4x  1 4x  4x   x  4x   1  4x  B 1  4x  4x  1 4x  4x   x  4x  1  4x  B 1  4x  4x  1 4x  4x   B  4x với x   1  4x  III Bài tập tự luyện Bài 1: Thực phép tính  x x  2x  5x   a) với x  x 3 3 x x 3 b) 1   với x  1;x  2;x  x  3x  x  4x  x  5x  c) x x  3y x   với x  0;x   y x  xy y  x xy  x 2 Bài 2: Thực phép tính a) 1 2x   với x  3 x 3 x 3 x 9 x2  b) với x  1 1 x  x 1 x 1 c) x 30   với x  6;x  x x  x  6x Bài 3: Thực phép tính: x  49 1 a) với x  ;x  2x   x x  x  7x  b) với x  1;x  2;x  x  x  5x  x3   x 1    c)  với x  2;x  2x   x  x  x   x3 2001  2x x3 x  16  d) với x  2;x  2017 x  2017 x  x  2017 x  Bài 4: Thực phép tính a)  x  25  : 4x  20 với x  5;x  3x  b) x  2x 2x  : với x  2;x  3x  6x  5x  c) x 7  x 8 x 9 :  với x  7;x  8;x  9 x 8  x 9 x 7 d) 4x  6y 4x  12xy  9y : với x  2;x   y x2 8x Bài 5: Tìm phân thức Q P trường hợp sau: a) 2x  4x với x  0;x  1 P  x2  x  1 x x3  2x Q  b) với x  1;x  x 1 x   x2 Bài 6: Tìm phân thức P, Q biết x  3x x  a) P với x  3;x  0;x   x4 x  4x 4x  4x  12x   b) Q : với x   ;x  2x  x 1 Bài 7: Thực phép tính  x  x  64 A   16   19 với x  0;x  x 8  x  Bài 8: Thực phép tính  x2  x   2  B      với x  1   x 1 x 1   Bài 9: Tìm phân thức T biết x x2 x4 x  14 x  16 x  18        T  x x2 x4 x6 x  16 x  18 x  20 Giả thuyết tất mẫu thức khác Bài 10: Tính hợp lí biểu thức N 1 1 với x   2x  2x  4x  16x  Bài 11: Chứng minh biểu thức 1   Từ đó, tính biểu thức a a  a a  2 1    với x thỏa mãn tất mẫu a  a    a   a    a  78 a  80  khác A ...Muốn trừ phân thức đối A C A cho phân thức ta lấy phân thức cộng với phân thức B D B C : D A C A  C      với  B;D   B D B  D  Phép nhân phân thức đại số a) Quy tắc nhân phân thức Muốn... C E - Tính phân phối:       B D F B F D F Phép chia phân thức đại số a) Hai phân thức nghịch đảo - Hai phân thức nghịch đảo hai phân thức mà tích chúng - Nếu A B A phân thức khác ... pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số với tính chất phân thức đại số để giải tốn Ví dụ 1: Cộng phân thức đại số sau: a) 10  x x  18 x    với x  2 x  x  x2  b) 2x