Đang tải... (xem toàn văn)
Phân thức đại số và các tính chất của phân thức đại số I Lý thuyết 1 Khái niệm phân thức đại số Phân thức đại số (hay gọi là phân thức) là biểu thức có dạng A B với A, B là các đa thức và B 0 A được[.]
Phân thức đại số tính chất phân thức đại số I Lý thuyết Khái niệm phân thức đại số Phân thức đại số (hay gọi phân thức) biểu thức có dạng thức B A với A, B đa B A gọi tử thức (hay tử) B gọi mẫu thức (hay mẫu) Hai phân thức + Hai phân thức A C (B, D 0) gọi A.D = B.C Ta D B viết: A C = (B, D 0) A.D = B.C B D Chú ý: - Các tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số phân số cho phân thức - Các giá trị biến làm cho mẫu gọi giá trị làm phân thức vơ nghĩa khơng xác định Các tính chất phân thức - Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác phân thức phân thức cho A A A.M (với phân thức; B, M 0) = B B B.M - Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung tử mẫu ta phân thức phân thức cho A A:N = (với N nhân tử chung A B) B B: N Quy tắc đổi dấu - Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức cho ta phân thức phân thức ban đầu A −A = (với B 0) B −B - Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức đồng thời đổi dấu phân thức ta phân thức phân thức cho A −A A =− =− (với B 0) B B −B II Các dạng tập Dạng 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Phương pháp giải: Phân thức A có nghĩa B B Ví dụ 1: Tìm điều kiện để phân thức sau có nghĩa a) 4x − 2+x b) 5x − 3x − Lời giải: a) Phân thức 4x − có nghĩa + x x −2 2+x b) Phân thức 5x − có nghĩa 3x − 3x x 3x − Ví dụ 2: Tìm điều kiện để phân thức sau có nghĩa a) 3x + x − 5x + b) 3x − 2x − 7x + 2 Lời giải: a) Phân thức 3x + có nghĩa x − 5x + x − 5x + x − 3x − 2x + x ( x − 3) − ( x − 3) ( x − 3)( x − ) x − x − x x Vậy để phân thức có nghĩa x x b) Để phân thức 3x − có nghĩa 2x − 7x + 2x − 7x + 2x − 6x − x + 2x ( x − 3) − ( x − 3) ( 2x − 1)( x − ) 2x − x − 2x x x x Vậy để phân thức có nghĩa x x Dạng 2: Tính giá trị phân thức giá trị biến Phương pháp giải: Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa phân thức Bước 2: Kiểm tra giá trị biến với điều kiện Bước 3: Tính giá trị phân thức cách thay giá trị biến vào phân thức thực tính tốn biểu thức số Ví dụ 1: Tính giá trị phân thức 3x + điểm x = 5x + Lời giải: Điều kiện xác định: 5x + x −6 Thay x = (thỏa mãn điều kiện) vào phân thức ta 3.3 + 11 = 5.3 + 21 Vậy giá trị phân thức 11 x =3 21 Ví dụ 2: Tính giá trị phân thức −6 x+2 điểm x = x = x − 6x + Lời giải: Điều kiện xác định: x − 6x + x − 4x − 2x + x ( x − 4) − ( x − 4) ( x − )( x − ) x − x − x x Với x = (không thỏa mãn điều kiện) nên phân thức không xác định Với x = −6 (thỏa mãn điều kiện) thay vào phân thức ta −6 +2 5 = = 416 104 −6 −6 − + 25 Vậy: Với x = ta không xác định giá trị phân thức Với x = −6 phân thức có giá trị 104 Dạng 3: Tìm giá trị biến để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Cho biểu thức với giá trị cho trước Sau dùng phương pháp tìm x thơng thường để giải Ví dụ 1: Tìm x để phân thức 3x + có giá trị 4x − Lời giải: Điều kiện xác định: 4x − 4x x Ta có: 3x + =2 4x − 3x + = ( 4x − 1) 3x + = 8x − 8x − 3x = + 5x = 4 x = (thỏa mãn điều kiện) 3x + Vậy x = phân thức có giá trị 4x − x2 −1 Ví dụ 2: Cho phân thức A = Tìm x để A = 2x − 3x + Lời giải: Điều kiện xác định: 2x − 3x + 2x − 2x − x + 2x ( x − 1) − ( x − 1) ( 2x − 1)( x − 1) 2x − x − 2x x 1 x x x2 −1 =1 Để A = 2x − 3x + x − = 2x − 3x + 2x − x − 3x + + = x − 3x + = x − 2x − x + = x ( x − 2) − ( x − 2) = ( x − )( x − 1) = x − = x − = x = 2(tm) x = 1(ktm) Vậy để A = x = Dạng 4: Chứng minh phân thức Phương pháp giải: Hai phân thức A C (B, D 0) gọi D B A.D = B.C Ta viết: A C = (B, D 0) A.D = B.C B D Chọn bốn cách biến đổi sau Cách 1: Dùng định nghĩa A C = (B, D 0) A.D = B.C B D Cách 2: Biến đổi vế trái thành vế phải Cách 3: Biến đổi vế phải thành vế trái Cách 4: Biến đổi đồng thời hai vế Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau 2x − 1 với x −2;x = 2x + 3x − x + 2 Lời giải: Đặt VT = 2x − 2x + 3x − VP = x+2 Ta biến đổi vế trái VT = 2x − 2x + 3x − 2 VT = 2x − 2x + 4x − x − VT = 2x − 2x ( x + ) − ( x + ) VT = 2x − ( x + )( 2x − 1) VT = = VP (điều phải chứng minh) x+2 Ví dụ 2: Hai phân thức x 2;x ; x x−2 x−4 có khơng với x − 5x + x − 3x + Lời giải: Ta có: x−4 x−4 = x − 5x + x − 4x − x + = x−4 x−4 = x ( x − ) − ( x − ) ( x − 1)( x − ) = (1) x −1 Ta lại có: x−2 x−2 = x − 3x + x − 2x − x + = x−2 x−2 = x ( x − ) − ( x − ) ( x − 1)( x − ) = (2) x −1 Từ (1) (2) x−4 x−2 (điều phải chứng minh) = = x − 5x + x − 3x + x − Dạng 5: Tìm phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Ta thực theo hai bước Bước 1: Phân tích tử thức, mẫu thức hai vế Bước 2: Triệt tiêu nhân tử chung rút đa thức cần tìm Chú ý: Áp dụng tính chất hai phân thức A C = A.D = B.C ( B,D ) B D Ví dụ 1: Tìm đa thức A đẳng thức sau x −1 A với x = x + 2x + x − Lời giải: x −1 A = x + 2x + x − x −1 A = x + 2x + ( x − ) ( x + 2x + ) Ta có: x + 2x + = x + 2x + + = ( x + 1) + Vì ( x + 1) với x nên ( x + 1) + với x 2 x + 2x + Nhân hai vế với x + 2x + x −1 = A x−2 A = ( x − 1)( x − ) A = x − 2x − x + A = x − 3x + Vậy A = x − 3x + với x 2x + 4x B Ví dụ 2: Tìm đa thức B thỏa mãn đẳng thức sau với x 2 = x −4 x−2 Lời giải: 2x + 4x B = x2 − x−2 2x ( x + ) B = ( x + )( x − ) x − 2x B = x−2 x−2 2x = B (vì x 2 nên x – 0) Vậy B = 2x với x 2 III Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm điều kiện phân thức sau a) 4x − 2x + b) 4x − 2x − 3x + c) d) 3x − ( x − 2) 2x − x − x2 + x −1 Bài 2: Tính giá trị phân thức a) 4x − với x = 2x − 3x + b) 3x − với x = 2x − Bài 3: Tìm đa thức B trường hợp sau a) 2x − 1 1 với x ;x 1;x = x − B x − 4x + 3 B 2x + 3x = b) với x 2x − 4x − x − 2x − Bài 4: Tính giá trị phân thức A = x trường hợp sau: x − 2x + a) x = b) 2x − = c) 4x + = − x + 3x − x − 4x + = Bài 5: Chứng minh đẳng thức với − x2 ( x − 1)( x + ) x 2;x Bài 6: Tìm cặp đa thức A, B thỏa mãn đẳng thức Với x 1;x −2;x (x − 1) A x − 2x + = ( x + 1) B x2 − x − Bài 7: Cho ba phân thức x − x − x − x − 3x + ; có khơng? Vì ; x x2 + x x2 − x sao? Bài 8: Cho đẳng thức ( x + 3) A = ( x − 1) B với x −3 x2 − x 3 Tìm cặp số A, B thỏa mãn Bài 9: Tìm đa thức M thỏa mãn đẳng thức sau: x + x − 2x + = a) với x −1;x −2 M x3 + b) x −3 2x − 8x − 6x + 36 M = với x 3;x −2 x+3 x+2 3x − 10x + Bài 10: Cho B = với x 2;x x − 4x + Tính giá trị B x thỏa mãn x − 8x + 15 = ... phân thức cho ta phân thức phân thức ban đầu A −A = (với B 0) B −B - Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức đồng thời đổi dấu phân thức ta phân thức phân thức cho A −A A =− =− (với B 0) B B −B II Các. .. giá trị biến với điều kiện Bước 3: Tính giá trị phân thức cách thay giá trị biến vào phân thức thực tính tốn biểu thức số Ví dụ 1: Tính giá trị phân thức 3x + điểm x = 5x + Lời giải: Điều kiện xác... dạng tập Dạng 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Phương pháp giải: Phân thức A có nghĩa B B Ví dụ 1: Tìm điều kiện để phân thức sau có nghĩa a) 4x − 2+x b) 5x − 3x − Lời giải: a) Phân thức