Ôn tập chương A Lý thuyết 1 Định lí Ta let trong tam giác 1 1 Tỉ số của hai đường thẳng Định nghĩa Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo Tỉ số của hai đoạn thẳng A[.]
Ôn tập chương A Lý thuyết Định lí Ta- let tam giác 1.1 Tỉ số hai đường thẳng - Định nghĩa Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo Tỉ số hai đoạn thẳng AB CD kí hiệu AB CD - Chú ý: Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo Ví dụ - Cho AB = 10 cm; CD = 30 cm - Cho AB = dm; CD = dm AB CD AB CD 10 30 1.2 Đoạn thẳng tỉ lệ - Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ C’D’ có tỉ lệ AB A B AB CD thức hay CD C D AB CD 1.3 Định lý Ta – lét tam giác - Định lý Ta – lét: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lai định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Tổng quát : Ta có: AB AB ABC, B C / /BC; B AC AB ; AC BB AB, C AC BB ; C C AB AC CC AC Ví dụ Tính độ dài cạnh AN hình vẽ sau, biết MN// BC Lời giải: Ta có MN// BC, áp dụng định lý Ta – lét ta có: AM MB x 17 AN hay 10 NC 17.9 10 x 15,3 Vậy AN = 15,3 Định lí đảo hệ định lí Ta – lét 2.1 Định lý đảo - Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác Giả thiết ABC, B AB, C AC; AB BB AC CC Kết luận B’C’// BC Ví dụ Trong tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm Lấy cạnh AB điểm B’, cạnh AC lấy điểm C’ cho AB’ = 4cm; AC’ = 6cm Chứng minh B’C’// BC Lời giải: Ta có: B’B = AB – AB’ = 10 – = 6cm, Và CC’ = AC – AC’ = 15 – = cm Ta có: AB' AC' ; BB' CC' AB' AC' BB' CC' Theo định lí ta – lét đảo, suy ra: B’C’ // BC 2.2 Hệ định lý Ta – lét - Nếu đường thẳng cắt hai cạnh lại một tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh lại tam giác cho Giả thiết Kết luận ABC, B C / /BC; B AB AB AC AC AB, C AC BC BC - Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng song song với cạnh cắt phần kéo dài hai cạnh cịn lại Ví dụ Trong tam giác ABC có AB = 6cm B’C’// BC Lấy cạnh AB điểm B’, cạnh AC lấy điểm C’ cho AB’ = 4cm; AC’ = 3cm Tính độ dài cạnh AC Lời giải: Áp dụng hệ ta có: AB AB AC AC BC BC Khi ta có: AB AB AC AC AC 6.3 4 AC cm Tính chất đường phân giác tam giác 3.1 Định lý Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn Giả thiết ∆ ABC có AD đường phân giác góc BAC D BC Kết luận DB DC AB AC Ví dụ Cho tam giác ABC có AD đường phân giác góc BAC cho DB = 4cm, AB = 6cm; AC = 8cm Tính độ dài cạnh DC Lời giải: Áp dụng định lí ta có: DB DC Hay AB AC DC DC 4.8 16 cm 3.2 Chú ý Định lí với đường phân giác góc ngồi tam giác Nếu AE’ phân giác góc BAx Ta có: AB AC D'B D'C Khái niệm tam giác đồng dạng 4.1.Tam giác đồng dạng a) Định nghĩa Tam giác A’B’C’ gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: AB AC BC A A ; B B ; C C AB AC BC Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC kí hiệu ∆A’B’C’ ∆ ABC Tỉ số cạnh tương ứng AB AB AC AC BC BC k gọi tỉ số đồng dạng b) Tính chất Các tính chất hai tam giác đồng dạng: Tính chất Mỗi tam giác đồng dạng với Tính chất Nếu ∆ABC Tính chất Nếu ∆A’B’C’ ABC ∆ A’B’C’ ∆A’B’C’ ∆ ABC ∆ A”B”C” ∆A”B”C ∆ ABC ∆A’B’C’ ∆ Ví dụ Cho ∆A’B’C’ ∆ ABC hình vẽ Tính tỉ số đồng dạng ? Lời giải: Ta có ∆A’B’C’ ∆ ABC Khi tỉ số đồng dạng AB AB AC AC BC BC 2,5 4.2 Định lý Một đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho Giả thiết ∆ ADC có DE // BC ( (D Kết luận ∆ADE AB ;E AC) ∆ ABC - Chú ý: Định lí cho trường hợp đường thẳng d cắt phần kéo dài hai tam giác song song với cạnh lại Trường hợp đồng dạng thứ 5.1 Định lí - Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng Giả thiết Kết luận ∆ABC ∆A’B’C’ AB AC BC AB AC BC ∆A’B’C’ ∆ ABC - Ví dụ Cho ∆ABC ∆A’B’C’ có độ dài cạnh hình vẽ Ta có: AB AC AB AC 2,5 BC BC Do đó, ∆A’B’C’ ∆ ABC Trường hợp đồng dạng thứ hai 6.1 Định lí - Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng Giả thiết Kết luận ∆ABC ∆A’B’C’ AB AC ; A A' AB AC ∆A’B’C’ ∆ ABC - Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = 15cm; AC = 20cm Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm E, D cho AD = 8cm; AE = 6cm Chứng minh ∆AED Lời giải: ∆ ABC Xét ∆AED ∆ABC có: A chung AE AB AD AC 15 Suy ra: ∆AED 20 ∆ ABC Trường hợp đồng dạng thứ ba 7.1 Định lí - Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với - Ví dụ Cho tam giác ABC đường cao BH, CK Chứng minh ∆ABH ACK Lời giải: Xét ∆ABH ∆ACK có: A chung AHB AKC 900 ∆ Bài Cho tam giác ABC , đường thẳng d song song với BC cắt cạnh AB AC M N Biết AM = Tỉnh tỉ số chu vi tam giác AMN MB ABC ? Lời giải: Ta có: AM AM AM = = = MB MB +AM +1 AB Vì MN// BC nên theo hệ định lí Ta let ta có: AM AN MN = = = AB AC BC Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: AM AN MN AM +AN +MN = = = = AB AC BC AB + AC+BC Do đó, tỉ số chu vi tam giác AMN ABC Bài Cho tam giác ABC vng A có AB = 6cm; BC = 10cm, AD đường phân giác tam giác Tính BD; CD Lời giải: Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vng ABC ta có: AC2 = BC2 – AB2 nên AC BC2 AB2 102 62 cm Tam giác ABC có AD đường phân giác góc BAC D BC Ta có: DB DC AB AC Khi ta có: DB DC AB AC DB DB DC AB ( tính chất tỉ lệ thức) AB AC Hay DB 10 DC BC DB DB 30 cm; 40 cm 30 cm DC Vậy DB 40 cm Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD Tính AB, BC biết AD = cm DC = 5cm Lời giải: Áp dụng tính chất đường phân giác BD tam giác ABC, ta có: AB BC Đặt DA DC AB AB BC AB BC BC = t ( t > 0) 4t 5t Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC ta có: BC2 = AC2 + AB2 hay ( 5t)2 = 92 + (4t)2 9t2 = 81 t2 = nên t = ( t > 0) Khi đó: AB = 4.3 = 12 cm; BC = 5.3 = 15 cm Vậy AB = 12cm, BC = 15cm Bài 11 Cho tam giác ABC, đường phân giác BD CE Biết EA EB AD DC , Tính cạnh tam giác ABC, biết chu vi tam giác 45cm Lời giải: Áp dụng tính chất đường phân giác BD CE tam giác ABC ta được: AB AD BC DC AB AB BC t BC 4t 6t AC AE BC EB AC BC t 5t 6t AC BC Theo giả thiết ta có, chu vi tam giác ABC 45 nên: AB + BC + AC = 15t = 45 nên t = Vậy AB = 12 cm; BC = 18cm; AC = 15cm Bài 12 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường phân giác AD góc BAC Biết AB = 12 cm; AC = 8cm BC = 15cm Tính tỉ số BM BD Lời giải: 1 Do M trung điểm BC nên: BM = MC= BC = 15 = 7,5cm 2 Theo tính chất tia phân giác góc ta có: Suy ra: AB DB = AC DC AB AC = DB DC Theo tính chất dãy tỉ số ta có: AB AC AB+ AC 12 +8 = = = = DB DC DB +DC 15 Suy ra: AB 3.AB 3.12 = BD = = = 9cm BD 4 Do đó: Vậy BM 7,5 = = BD BM = BD AB Biết hiệu số chu vi ∆A’B’C’ AB ∆ABC 40cm Tính chu vi hai tam giác ABC A’B’C’ Bài 13 Cho ∆A’B’C’ ∆ ABC có Lời giải: Ta có: ∆A’B’C’ ∆ ABC nên: AB AB AC AC BC BC ... HE ET EF.HE EG 3. 3 4,5 Vậy x = 4,5 Bài Tính độ dài x, y hình sau biết DE // BC Lời giải: a) Áp dụng hệ định lí Ta – lét ta có: x 28, 5 9,5 38 BC AB hay DE AD 9,5 9,5 x 8 . 38 9,5 32 b) Ta có: A’B’//... dạng tam giác vuông 8. 1 Áp dụng trường hợp đồng dạng tam giác vào tam giác vuông Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu: + Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng + Tam giác vng có hai cạnh... có: A B / /AB AB AB AO AO hay x 4,2 x 8, 4 Áp dụng định lí Py – ta – go với tam giác OAB ta có: OB2 AB2 OA Vậy x = 8, 4 y y 8, 42 62 10 ,32 10 ,32 Bài Cho tam giác ABC , đường thẳng d cắt cạnh AB