Ôn tập chương 3 A Lý thuyết 1 Góc ở tâm Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn • Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung + Cung nhỏ cung[.]
Ôn tập chương A Lý thuyết Góc tâm Góc tâm góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn • Hai cạnh góc tâm cắt đường trịn hai điểm, chia đường tròn thành hai cung + Cung nhỏ: cung nằm bên góc (với góc α (0 < α < 180°)) + Cung lớn: Cung nằm bên ngồi góc • Cung AB kí hiệu AB Để phân biệt hai cung có chung mút A B hình vẽ (0 < α < 180°), ta kí hiệu: AmB , AnB Trong đó: AnB cung nhỏ, AmB cung lớn Với α = 180° cung nửa đường trịn • Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn Khi đó, AnB cung bị chắn góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ AnB Số đo cung • Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung • Số đo cung lớn hiệu 360° số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) • Số đo nửa đường tròn 180° Số đo cung AB kí hiệu sđ AB Liện hệ cung dây a) Định lí Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Hai cung căng hai dây - Hai dây căng hai cung b) Định lí Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Cung lớn căng dây lớn - Dây lớn căng cung lớn c) Mở rộng Trong đường tròn: - Hai cung bị chắn hai dây song song - Đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung - Đường kính qua trung điểm dây (khơng qua tâm) qua điểm cung bị căng dây - Đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại Góc nội tiếp a) Định nghĩa - Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn - Cung bị chắn cung nằm bên góc b) Định lí Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Ta viết: BAC = sđ BC c) Hệ Trong đường tròn: - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung - Góc nội tiếp (nhỏ 90°) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Góc tạo tiếp tuyến dây cung a) Định nghĩa - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh nằm đường tròn, cạnh tia tiếp tuyến cạnh chứa dây cung đường tròn - Cung nằm bên cung bị chắn b) Định lí Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn Góc có đỉnh bên đường trịn - Góc có đỉnh nằm bên đường trịn gọi góc có đỉnh bên đường trịn - Định lí: Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Trong hình vẽ trên, BEC góc có đỉnh nằm bên đường trịn chắn hai cung BnC, AmD Do đó, BEC sđ BnC sđ AmD 2 Góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn - Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn cạnh có điểm chung với đường trịn - Định lí: Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Ví dụ Cho đường trịn (O) có hai dây AB CD cắt E (điểm E nằm bên ngồi đường trịn) hình vẽ Trong hình vẽ trên, BEC góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn chắn hai cung BnC, AmD Do đó, BEC sđ BnC sđ AmD Tứ giác nội tiếp a) Định nghĩa Một tứ giác có bốn đỉnh nằm tên đường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) b) Định lí tứ giác nội tiếp - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180° - Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180° tứ giác nội tiếp đường trịn c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối 180° - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α - Chú ý: Để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp ta chứng minh tứ giác hình sau: Hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân d) Định lí đa giác nội tiếp - Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp - Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp gọi tâm đa giác - Tâm giao điểm hai đường trung trực hai cạnh hai đường phân giác hai góc e) Cơng thức mở rộng - Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh - Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh Cho n-giác cạnh a Khi đó: - Chu vi đa giác: 2p = na (p nửa chu vi) o - Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo (n 2) 180 n o - Mỗi góc tâm đa giác có số đo 360 n - Bán kính đường trịn ngoại tiếp: 180o a 2R sin R o n 180 2sin n a - Bán kính đường trịn nội tiếp: r 180o a 2r tan o n 180 tan n a a2 - Liên hệ bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp: R r 2 - Diện tích đa giác đều: S nar 10 Độ dài đường tròn “Độ dài đường tròn” hay cịn gọi “chu vi hình trịn” kí hiệu C Cơng thức: C = 2πR C = πd Trong đó: C độ dài đường trịn; R bán kính đường trịn; d đường kính đường trịn 11 Độ dài cung trịn Độ dài cung tròn no l Rn 180 Trong đó: l độ dài cung trịn no; R bán kính đường trịn; n số đo độ góc tâm 12 Diện tích hình trịn Cơng thức diện tích hình trịn là: d2 S R Trong đó: S diện tích hình trịn; R bán kính hình trịn; d đường kính hính trịn 13 Diện tích hình quạt trịn Cơng thức diện tích hình quạt tròn là: R n lR S 360 Trong đó: S diện tích hình quạt trịn; R bán kính đường trịn; l độ dài cung tròn no B Bài tập tự luyện Bài Cho đường tròn (O; R) Trên đường trịn lấy hai điểm A B cho AB R Tính số đo hai cung AB Lời giải: Đặt cung nhỏ AB AmB cung lớn AB AnB Hai điểm A B nằm đường tròn (O; R) nên OA = OB = R Ta có: OA2 + OB2 = R2 + R2 = 2R2; AB2 R 2R Ta thấy: OA2 + OB2 = AB2 = 2R2 Nên ΔABC vuông A (theo định lý Py – ta – go đảo) Do sđ AmB = AOB 90o ; sđ AnB 360o AOB = 360o – 90o = 270o Vậy số đo cung nhỏ cung lớn AB 90o 270o Bài Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) O; R Trên đường tròn nhỏ lấy điểm M Tiếp tuyến M đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn A B Tia OM cắt đường tròn lớn C Chứng minh CA CB Lời giải: Tiếp tuyến M đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn A B hay AM tiếp tuyến đường tròn O; R nên OM AB Do OM đường cao ΔOAB Mặt khác, ΔOAB có OA = OB = R nên ΔOAB cân O Xét ΔOAB cân O có OM đường cao nên OM đường phân giác hay AOM BOM Mà sđ CA AOM , sđ CB BOM Do sđ CA = sđ CB Vậy CA CB Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Biết A 70o Hãy so sánh cung nhỏ AB, AC BC Lời giải: a) Do MA MB hai tiếp tuyến cắt M Nên MO tia phân giác AMB hay AMO AMB 20o ∆AMO vuông A nên AMO AOM 90o Suy AMO 90o AOM 90o 20o 70o Vậy AMO 20o ; AOM 70o b) OM tia phân giác AOB nên AOB AOM 70o 140o Do sđ AmB = AOB = 140o; sđ AnB = 360o – AOB = 360o – 140o = 220o Vậy số đo cung AB nhỏ số đo cung AB lớn 140o 220o Bài 10 Cho đường trịn đường trịn (O) có hai dây AB CD cắt M hình vẽ Tính số đo cung BD, biết AMB 120o Lời giải: Ta có AMC 180o CMB 180o 120o 60o Mà AMC sđ AC sđ BD Nên sđ AC sđ BD 2AMC 60o 120o Do sđ BD 120o 30o 90o Vậy số đo cung BD 90o Bài 11 Cho đường trịn đường trịn (O) đường kính BC Lấy điểm A nằm đường tròn, vẽ tiếp tuyến AM (A tiếp điểm) Tính AMC , biết số đo cung AC 120o Lời giải: Ta có: sđ AC 120o nên sđ AB 180o 120o 60o Mà AMC sđ AC sđ AB 120o 60o 30o Vậy AMC 30o Bài 12 Từ điểm A nằm bên ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD Vẽ dây BM vng góc với tia phân giác góc BAC H cắt CD E Chứng minh BM đường phân giác góc CBD Lời giải: ∆ABE có AH đường phân giác đồng thời đường cao nên ∆ABE cân đỉnh A Do ABE AEB Mà ABE sđ BM sđ BC sđ CM ; AEB sđ BC sđ MD Suy sđ CM sđ MD Do CBM MBD Vậy BM đường phân giác góc CBD Bài 13 Cho góc vng xOy, tia Ox lấy điểm A cố định, B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho ABC vuông cân C Lời giải: - Phần thuận: Vẽ CH Ox (H Ox) CK Oy (K Oy) Xét ∆CAH vuông H ∆CBK vng K có: CA = CB (vì ABC vuông cân C) CAH CBK Do CAH = CBK (cạnh huyền – góc nhọn) Suy CH = CK (hai cạnh tương ứng) Mà xOy cố định Do C thuộc tia phân giác Oz góc vng xOy - Phần đảo: Lấy điểm C thuộc tia C’z Vẽ đường thẳng vuông góc CA C cắt tia Oy B Vẽ CH Ox (H Ox) CK Oy (K Oy) Ta có CH = CK KHC 90o Xét ∆CAH vuông H ∆CBK vng K có: CH = CK CAH CBK Nên CAH = CBK (cạnh góc vng – góc nhọn kề) Suy CA = CB (hai cạnh tương ứng) Do ABC vng cân C - Kết luận: Tập hợp điểm C tia C’z tia phân giác Oz góc xOy Bài 14 Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định cạnh CD chuyển động đường thẳng d song song với AB Gọi I trung điểm CD Tia AI cắt BC N Tìm quỹ tích điểm N CD thay đổi đường thẳng d Lời giải: - Phần thuận: Gọi khoảng cánh đường thẳng AB đường thẳng d h khơng đổi Vì ABCD hình bình hành nên BC // AD hay CN // AD Suy IDA ICN (hai góc so le trong) Xét ∆IAD ∆INC có: AID CIN (đối đỉnh) ID = IC (vì I trung điểm CD) IDA ICN (cmt) Do IAD = INC (g.c.g) Suy CN = AD (hai cạnh tương ứng) Mà AD = BC (vì tứ giác ABCD hình bình hành) Do CN = AD = BC Kẻ NH AB , NH cắt đường thẳng d K ∆NBH có CB = CN CK // BH nên suy KH = KN Từ ta HN = 2KH = 2h không đổi Khi CD chuyển động đường thẳng d với vị trí CD, điểm N ln cách đường thẳng AB khoảng 2h không đổi Vậy điểm N thuộc đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB cách đường thẳng AB khoảng 2h không đổi - Phần đảo: Lấy điểm N đường thẳng d’ ... giải: Xét tứ giác APBO có: OAP 90 o ; OBP 90 o (vì PA, PB tiếp tuyến); APB 55o Ta có: AOB OAP OBP APB 36 0o AOB 36 0o OAP OBP APB = 36 0o – 90 o – 90 o – 55o = 125o Do số đo cung... OA = OC) Do ΔOAC Suy BAC 60o Xét ΔABC có ACB 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ABC = 90 o – 60o = 30 o Vậy ACB > BAC > ABC (90 o > 60o > 30 o) b) Ta có: ABM CBM (góc nội tiếp chắn cung... vuông A (theo định lý Py – ta – go đảo) Do sđ AmB = AOB 90 o ; sđ AnB 36 0o AOB = 36 0o – 90 o = 270o Vậy số đo cung nhỏ cung lớn AB 90 o 270o Bài Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) O;