Đang tải... (xem toàn văn)
Ôn tập chương 4 A Lý thuyết 1 Bất đẳng thức Hệ thức dạng a < b (hay dạng a > b; a ≥ b; a ≤ b) được gọi là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức 2 Liên hệ giữa thứ tự và[.]
Ôn tập chương A Lý thuyết Bất đẳng thức Hệ thức dạng a < b (hay dạng a > b; a ≥ b; a ≤ b) gọi bất đẳng thức gọi a vế trái, b gọi vế phải bất đẳng thức Liên hệ thứ tự phép cộng Tính chất: Cho ba số a, b c, ta có: Nếu a < b a + c < b + c; Nếu a ≤ b a + c ≤ b + c; Nếu a > b a + c > b + c; Nếu a ≥ b a + c ≥ b + c Liên hệ thứ tự phép nhân với số dương a) Tính chất Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho b) Tổng quát Với ba số a, b c mà c > 0, ta có: Nếu a < b ac < bc; Nếu a ≤ b ac ≤ bc; Nếu a > b ac > bc; Nếu a ≥ b ac ≥ bc Liên hệ thứ tự phép nhân với số âm a) Tính chất Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho b) Tổng quát Với ba số a, b c mà c < 0, ta có: Nếu a < b ac > bc; Nếu a ≤ b ac ≥ bc; Nếu a > b ac < bc; Nếu a ≥ b ac ≤ bc Bất phương trình ẩn - Định nghĩa bất phương trình ẩn: Bất phương trình ẩn x hệ thức A (x) > B (x) A (x) < B (x) A (x) ≥ B (x) A (x) ≤ B (x) Trong đó: A (x) gọi vế trái; B (x) gọi vế phải - Nghiệm bất phương trình giá trị ẩn để thay vào bất phương trình ta khẳng định Định nghĩa bất phương trình bậc ẩn Bất phương trình dạng ax + b < (hoặc ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) a b hai số cho, a ≠ 0, gọi bất phương trình bậc ẩn Hai quy tắc biến đổi a) Quy tắc chuyển vế Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta đổi dấu hạng tử b) Quy tắc nhân với số Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: - Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương - Đổi chiều bất phương trình số âm Giải bất phương trình bậc ẩn Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc ẩn sau: Dạng ax + b > ax > − b x> − b b a > x < − a < a a Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: a S= b x − a a Hoặc S = b x − a Các dạng toán ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ tương tự Giải bất phương trình đưa dạng ax + b < ; ax + b > ; ax + b ≤ ; ax + b ≥ Cách giải phương trình đưa dạng ax + b > 0: Để giải phương trình đưa ax + b > 0, ta thường biến đổi phương trình sau: Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế khử mẫu (nếu có) Bước 2: Thực phép tính để bỏ dấu ngoặc chuyển vế hạng tử để đưa phương trình dạng ax > c Bước 3: Tìm x Các phương trình đưa dạng ax + b < 0, ax + b ≤ ax + b ≥ làm tương tự 10 Giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối số a, kí hiệu | a |, ta định nghĩa sau: a a 0; | a |= −a a 11 Giải số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối a) Phương pháp chung Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bước 2: Rút gọn hai vế phương trình, giải phương trình Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trường hợp xét Bước 4: Kết luận nghiệm b) Một số dạng Dạng | A | = B A A Cách 1: | A |= B −A = B A = B B B Cách 2: | A |= B A = −B A = B Dạng | A | = | B | A = B A = − B Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: - Xét dấu biểu thức chứa ẩn nằm dấu giá trị tuyệt đối - Chia trục số thành nhiều khoảng cho khoảng, biểu thức nói có dấu xác định - Xét khoảng, khử dấu giá trị tuyệt đối, giải phương trình tương ứng trường hợp - Kết hợp trường hợp xét, suy số nghiệm phương trình cho B Bài tập tự luyện Bài Mỗi khẳng định sau hay sai? Vì sao? a) −5 > + (−10); b) (−6) < (−8); c) −6 ≤ (−4); d) x2 + ≥ Lời giải: (Kí hiệu: VP = vế phải; VT = vế trái) a) Ta có: + (−10) = − Vì − > − nên −5 > + (−10) Do khẳng định −5 > + (−10) b) Ta có: (−6) = −12; (−8) = − 16 Vì − 12 > − 16 nên (−6) > (−8) Do khẳng định (−6) < (−8) sai c) Ta có: (−4) = −8 Vì −6 > −8 nên −6 > (−4) Do khẳng định −6 ≤ (−4) sai d) Với số thực x ta có: x2 ≥ Suy x2 + ≥ Do khẳng định x2 + ≥ với số thực x Vậy khẳng định a) d) đúng, khẳng định b) c) sai Bài Cho a > b, so sánh: a) a + 25 b + 25; b) a – 12 b – 12 Lời giải: Bất đẳng thức: a > b a) Cộng hai vế bất đẳng thức a > b với 25, ta được: a + 25 > b + 25 b) Cộng hai vế bất đẳng thức a > b với (–12), ta được: a + (–12) < b + (–12) Hay a – 12 < b – 12 Bài So sánh a b nếu: a) a – 34 ≤ b – 34; b) 21 + a ≥ 21 + b Lời giải: a) Ta có: a – 34 ≤ b – 34 Cộng hai vế bất đẳng thức a – 34 ≤ b – 34 với 34, ta được: a – 34 + 34 ≥ b – 34 + 34 Do a ≥ b b) Ta có: 21 + a ≥ 21 + b Cộng hai vế bất đẳng thức 21 + a ≥ 21 + b với (−21), ta được: 21 + a + (−21) ≤ 21 + b + (−21) Do a ≤ b Bài Số a số âm, số hay số dương nếu: a) 10a > 2a; b) −6b > 9b; c) 8a ≤ 15a Lời giải: a) Vì 10 > mà 10a > 2a nên a số dương; b) Vì −6 < mà −6a > 9a nên a số âm; c) Vì < 15 mà 8a ≤ 15a nên a số không âm (tức a ≥ 0) Bài Đặt dấu thích hợp (, =) vào chỗ chấm: a) 5,12 2,4 5,12 3,1; b) (–22) 12,55 (–22) 45 Lời giải: a) Ta có 2,4 < 3,1 2,4 > Nhân hai vế bất đẳng thức 2,4 < 3,1 với 2,4 ta được: 5,12 2,4 < 5,12 3,1 b) Ta có 12,55 < 45 –22 < Nhân hai vế bất đẳng thức 12,55 < 45 với (–22), ta được: (–22) 12,55 > (–22) 45 Bài Cho m > n, chứng minh: a) m – > n – 5; b) 2m + > 2n Lời giải: a) Cộng hai vế bất đẳng thức m > n với – 4, ta được: m – > n – (1) Cộng hai vế bất đẳng thức – > – với n, ta được: n – > n – (2) Từ (1) (2), theo tính chất bắc cầu, suy ra: m – > n – b) Nhân hai vế bất đẳng thức m > n với 2, ta được: 2m > 2n Cộng hai vế bất đẳng thức 2m > 2n với 8, ta được: 2m + > 2n + (3) Cộng hai vế bất đẳng thức > với 2n, ta được: 2n + > 2n (4) Từ (3) (4), theo tính chất bắc cầu, suy ra: 2m + > 2n Bài Kiểm tra xem giá trị x = nghiệm bất phương trình bất phương trình sau: a) 2x – < 10 b) −4x > 3x + c) – 2x > 4x – Lời giải: Thay x = vào vế bất phương trình, ta được: a) 2x – = – = – < 10 Vậy x = nghiệm bất phương trình 2x + < b) – 4x = – = – 8; 3x + = + = 13 Vì – < 13 nên x = khơng phải nghiệm bất phương trình −4x > 3x + c) – 2x > 4x – – 2x = – = 1; 4x – = – = Vì < nên x = nghiệm bất phương trình – x > 3x – 12 Bài Viết biểu diễn tập nghiệm trục số bất phương trình x ≤ −6 Lời giải: Tập nghiệm bất phương trình x ≤ −6 tập hợp số nhỏ −6, tức tập hợp {x | x ≤ −6} Ta biểu diễn tập hợp trục số hình vẽ: Bài Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình nào? (Chỉ nêu bất phương trình) a) b) c) Lời giải: a) Hình a) biểu diễn tập nghiệm bất phương trình x > 4; b) Hình b) biểu diễn tập nghiệm bất phương trình x < −5; c) Hình c) biểu diễn tập nghiệm bất phương trình x ≥ Bài 10 Giải bất phương trình sau: a) 6x – 16 < 2; b) 4x – ≥ 2x + Lời giải: a) 6x – 16 < 6x < + 16 6x < 18 6x : < 18 : x < Vậy tập nghiệm bất phương trình {x | x < 3} b) 4x – ≥ 2x + 4x – 2x ≥ + 2x ≥ 2x : ≥ : x≥2 Vậy tập nghiệm bất phương trình {x | x ≥ 2} Bài 11 Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số: a) 3x – 12 < 0; b) –2x + 16 < Lời giải: a) 3x – 12 < 3x < 12 3x : < 12 : x < Vậy tập nghiệm bất phương trình {x | x < 4} Biểu diễn tập nghiệm trục số: b) –2x + 16 < –2x < – 16 –2x : (–2) > – 16 : (–2) ⇔ x > Vậy tập nghiệm bất phương trình {x | x > 8} Biểu diễn tập nghiệm trục số: Bài 12 Giải bất phương trình sau: a) 3x − 1; b) 5x + ≥ 9x – 12 Lời giải: 3x − 1 3x – > a) 3x > + 3x > 3x : > : x 5 Vậy tập nghiệm bất phương trình x | x 3 b) 5x + ≥ 9x – 12 5x – 9x ≥ – 12 – – 4x ≥ – 16 – 4x : (– 4) ≤ – 16 : (– 4) x ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình {x | x ≤ 4} Bài 13 Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức sau: a) A = 3x + + | 4x | với x > b) B = | x – | – 2x + với x > c) C = | x – | – x + với x < Lời giải: a) Khi x > ta có 4x > nên | 4x | = 4x Do A = 3x + + | 4x | = 3x + + 4x = 7x + b) Khi x > ta có x – > nên | x – | = x – Do B = | x – | – 2x + = x – – 2x + = – x c) Khi x < ta có x – < nên | x – | = – (x – 5) = – x Do C = | x – | – x + = – x – x + = – 2x Bài 14 Giải phương trình sau: a) | 5x | = 4x – 8; b) | 2x | + 12 = 3x; c) | x + | = 3x – 14 Lời giải: a) Ta có | 5x | = 4x − + Với x ≥ ta có | 5x | = 5x Khi đó, phương trình trở thành 5x = 4x – 5x − 4x = −8 x = −8 (không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0) Do x = −8 khơng phải nghiệm phương trình cho + Với x < ta có | 5x | = −5x Khi đó, phương trình trở thành −5x = 4x − −2x − 4x = −8 −6x = −8 x= (không thỏa mãn điều kiện x < 0) Do x = khơng phải nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có vơ nghiệm b) Ta có | 2x | + 12 = 3x + Với x ≥ ta có | 2x | = 2x Khi đó, phương trình trở thành 2x + 12 = 3x 2x − 3x = −12 −x = −12 x = 12 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0) Do x = 12 nghiệm phương trình cho + Với x < ta có | 2x | = −2x Khi đó, phương trình trở thành −2x + 12 = 3x −2x − 3x = −12 −5x = −12 x= 12 (không thỏa mãn điều kiện x < 0) Do x = 12 khơng phải nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {12} c) Ta có | x + | = 3x – 14 + Với x + ≥ hay x ≥ –2 ta có | x + | = x + Khi đó, phương trình trở thành x + = 3x – 14 x − 3x = −14 – −2x = −16 x = (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0) Do x = nghiệm phương trình cho + Với x < ta có | x + | = − (x + 2) = – x – Khi đó, phương trình trở thành – x – = 3x – 14 −x − 3x = −14 −4x = −12 x = (không thỏa mãn điều kiện x < 0) Do x = khơng phải nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {8} ... sánh a b nếu: a) a – 34 ≤ b – 34; b) 21 + a ≥ 21 + b Lời giải: a) Ta có: a – 34 ≤ b – 34 Cộng hai vế bất đẳng thức a – 34 ≤ b – 34 với 34, ta được: a – 34 + 34 ≥ b – 34 + 34 Do a ≥ b b) Ta có:... a) 5,12 2 ,4 5,12 3,1; b) (–22) 12,55 (–22) 45 Lời giải: a) Ta có 2 ,4 < 3,1 2 ,4 > Nhân hai vế bất đẳng thức 2 ,4 < 3,1 với 2 ,4 ta được: 5,12 2 ,4 < 5,12 3,1 b) Ta có 12,55 < 45 –22 < Nhân... (? ?8) = − 16 Vì − 12 > − 16 nên (−6) > (? ?8) Do khẳng định (−6) < (? ?8) sai c) Ta có: (? ?4) = ? ?8 Vì −6 > ? ?8 nên −6 > (? ?4) Do khẳng định −6 ≤ (? ?4) sai d) Với số thực x ta có: x2 ≥ Suy x2 +