Đang tải... (xem toàn văn)
Ôn tập chương 1 A Lý thuyết 1 Nhân đơn thức với đa thức Quy tắc Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau Tổng quát Với A, B, C l[.]
Ôn tập chương A Lý thuyết Nhân đơn thức với đa thức Quy tắc: Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với Tổng quát: Với A, B, C đơn thức, ta có: A.(B + C) = A.B + A.C Ví dụ: 3x.(x3 + 2x – 5) = 3x.x3 + 3x.2x – 3x.5 = 3x4 + 6x2 – 15x 2 2 x y x xy x y.x x y xy x y x y3 3 Chú ý: Ta thường sử dụng phép toán liên quan đến lũy thừa sau thực phép nhân: Với m, n số tự nhiên, a ≠ 0, ta có: am.an = am+n am : an = am-n (với m ≥ n) (am)n = am.n Nhân đa thức với đa thức Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với Tổng quát: Với A, B, C, D đơn thức, ta có: (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD Nhận xét: Tích hai đa thức đa thức Ví dụ: a) (x + 3).(x2 + x – 5) = x.x2 + x.x – x.5 + 3.x2 + 3.x – 3.5 = x3 + x2 – 5x + 3x2 + 3x – 15 = x3 + (x2 + 3x2) + (3x – 5x) – 15 = x3 + 4x2 – 2x – 15 1 b) xy (2xy 8) 2 1 xy.2xy xy.8 3.2xy 3.8 2 = x2y2 – 4xy + 6xy – 24 = x2y2 + (6xy – 4xy) – 24 = x2y2 + 2xy – 24 Các đẳng thức đáng nhớ 3.1 Bình phương tổng Bình phương tổng bình phương số thứ cộng hai lần tích số thứ số thứ hai cộng bình phương số thứ hai Với A, B biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Ví dụ: (x + 3)2 = x2 + 2.x.3 + 32 = x2 + 6x + (2a + b)2 = (2a)2 + 2.2a.b + b2 = 4a2 + 4ab + b2 3.2 Bình phương hiệu Bình phương hiệu bình phương số thứ trừ hai lần tích số thứ số thứ hai cộng bình phương số thứ hai Với A, B biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 Ví dụ: 2 1 1 1 2 y y 2.y y y 4 4 16 (3x – y)2 = (3x)2 – 2.3x.y + y2 = 9x2 – 6xy + y2 3.3 Hiệu hai bình phương Hiệu hai bình phương tích hiệu với tổng chúng Với A, B biểu thức tùy ý, ta có: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Ví dụ: m2 – = m2 – 22 = (m – 2)(m + 2) (2a – b)(2a + b) = (2a)2 – b2 = 4a2 – b2 3.4 Lập phương tổng Lập phương tổng lập phương số thứ cộng ba lần tích bình phương số thứ nhân số thứ hai cộng ba lần tích số thứ nhân bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai Với A, B biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 Ví dụ: 3 x x3 x x x x x 1 1 .1 27 3 3 3 (2m + n)3 = (2m)3 + 3.(2m)2.n + 3.2m.n2 + n3 = 8m3 + 12m2n + 6mn2 + n3 3.5 Lập phương hiệu Lập phương hiệu lập phương số thứ trừ ba lần tích bình phương số thứ nhân số thứ hai cộng ba lần tích số thứ nhân bình phương số thứ hai trừ lập phương số thứ hai Với A, B biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 Ví dụ: 3 2 3 1 1 1 3 y 3. y .y y y y y 2 2 2 (x2 – y)3 = (x2)3 – 3.(x2)2.y + 3.x2.y2 – y3 = x6 – 3x4y + 3x2y2 – y3 3.6 Tổng hai lập phương Tổng lập phương hai biểu thức tích tổng hai biểu thức bình phương thiếu hiệu hai biểu thức Với A, B biểu thức tùy ý, ta có: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) Chú ý: A2 – AB + B2 gọi bình phương thiếu hiệu Ví dụ: x3 + 43 = (x + 4)(x2 – 4x + 42) = (x + 4)(x2 – 4x + 16) 1 1 1 u 3 u u u u u u u 27 3 3 3.7 Hiệu hai lập phương Hiệu lập phương hai biểu thức tích hiệu hai biểu thức bình phương thiếu tổng hai biểu thức Với A, B biểu thức tùy ý, ta có: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Chú ý: A2 + AB + B2 gọi bình phương thiếu tổng Ví dụ: x3 – (2y)3 = (x – 2y)[x2 + 2xy + (2y)2] = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) 27a3 – = (3a)3 – 13 = (3a – 1)[(3a)2 + 3a.1 + 12] = (3a – 1)(9a2 + 3a + 1) Phân tích đa thức thành nhân tử Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức 4.1 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp: Khi tất số hạng đa thức có thừa số chung, ta đặt thừa số chung ngồi dấu ngoặc () để làm nhân tử chung - Các số hạng bên dấu () có cách lấy số hạng đa thức chia cho nhân tử chung Ví dụ: a) x2 – 3x = x.x – 3.x = x(x – 3) b) (y + 3)2 + 3(y + 3) = (y + 3).(y + 3) + 3.(y + 3) = (y + 3)(y + + 3) = (y + 3)(y + 6) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử (lưu ý tới tính chất A = – (– A)) Ví dụ: 3(x – y ) – 10x(y – x) = 3(x – y ) + 10x(x – y) = (x – y)(3 + 10x) 4.2 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức Khi áp dụng phương pháp dùng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần lưu ý: - Trước tiên nhận xét xem hạng tử đa thức có chứa nhân tử chung khơng, có áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung - Nếu khơng ta sử dụng đẳng thức sau để phân tích đa thức thành nhân tử: 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 3) A2 – B2 = (A – B)(A + B) 4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5) (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví dụ: Phân tích đa thức x3 + 3x2 + 3x – thành nhân tử Lời giải: x3 + 3x2 + 3x – = x3 + 3x2 + 3x + – = (x + 1)3 – 23 = (x + – 2)[(x + 1)2 + 2.(x + 1) + 22] = (x – 1)(x2 + 2x + + 2x + + 4) = (x – 1)(x2 + 4x + 7) 4.3 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử cách nhóm hạng tử phù hợp nhằm xuất nhân tử chung sẻ dụng đẳng thức - Ta vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khơng thể phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung hay phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ: Phân tích đa thức x2 – 4x + xy – 4y thành nhân tử Lời giải: x2 – 4x + xy – 4y = (x2 – 4x) + (xy – 4y) = x(x – 4) + y(x – 4) = (x – 4)(x + y) 4.4 Phân tích đa thức thành nhân tử phối hợp nhiều phương pháp Khi thực phân tích đa thức thành nhân tử biểu thức phức tạp ta thường sử dụng phối hợp ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bản: phương pháp nhân tử chung, phương pháp đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử Chú ý: Nếu hạng tử đa thức có nhân tử chung ta nên sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước để đa thức trở lên đơn giản tiếp tục phân tích đến kết cuối Ví dụ: Phân tích đa thức x3y + 6x2y2 + 9xy thành nhân tử Lời giải: x3y + 6x2y2 + 9xy = xy(x2 + 6xy + 9) = xy(x2 + 2.xy.3 + 32) = xy(x + 3)2 Chia đơn thức cho đơn thức Khái niệm: Cho A B hai đơn thức, B ≠ Ta nói đơn thức A chia hết cho đơn thức B tìm đơn thức Q cho A = B.Q A gọi đơn thức bị chia, B gọi đơn thức chia, Q gọi đơn thức thương Kí hiệu: Q = A : B Q A B Nhận xét: Đơn thức A chia hết cho đơn thức B biến B biến A với số mũ khơng lớn số mũ A Quy tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm sau: - Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B - Chia lũy thừa biến A cho lũy thừa biến B - Nhân kết vừa tìm với Chú ý: Với x ≠ 0, m, n ∈ ℕ, m ≥ n xm : xn = xm – n m > n xm : xn = m = n Ví dụ: a) 15x2y5z : 5xy3z = (15 : 5)(x2 : x)(y5 : y3)(z : z) = 3xy2 b) 35x5y2 : (−7x4y) =[35 : (−7)](x5 : x4)(y2 : y) = −5xy Chia đa thức cho đơn thức Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp hạng tử đa thức A chia hết cho B) ta làm sau: - Chia hạng tử đa thức A cho đơn thức B; - Cộng kết tìm lại với Chú ý: Trong thực hành ta nhẩm bỏ bớt số phép tính trung gian Ví dụ: (15x2y + 17xy3 – 6xy ) : 3xy = (15x2y : 3xy) + (17xy3 : 3xy) – (6xy : 3xy) 5x 17 y Chú ý: Trường hợp đa thức A phân tích thành nhân tử, ta thường phân tích A trước để rút gọn cho nhanh Ví dụ: (8x3 – 27y3) : (2x – 3y) = (2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) : (2x – 3y) = 4x2 + 6xy + 9y2 Chia đa thức biến xếp 7.1 Phép chia hết: - Phép chia hết phép chia có đa thức dư Quy tắc chia: + Sắp xếp đa thức theo thứ tự giảm dần biến + Lấy hạng tử cao đa thức bị chia chia cho hạng tử cao đa thức chia ta thương + Nhân thương với đa thức chia lấy đa thức bị chia trừ tích + Lấy hạng tử cao đa thức vừa tìm chia cho hạng tử cao đa thức chia ta thương + Tiếp tục lặp lại bước đến nhận hiệu Ví dụ: Làm tính chia: (x3 – x2 – 5x – 3) : (x – 3) Lời giải: Ta có: x – x – 5x – x 3x x 3 x 2x 2 2x 5x 2x 6x x 3 x 3 Vậy (x3 – x2 – 5x – 3) : (x – 3) = x2 + 2x + 7.2 Phép chia có dư: - Phép chia có dư phép chia có đa thức dư khác Quy tắc chia: Làm tương tự phép chia hết đến thu đa thức dư có bậc nhỏ bậc đa thức chia Chú ý: Với hai đa thức tùy ý A B biến (B ≠ 0), tồn cặp đa thức Q R cho A = B.Q + R, R = bậc R nhỏ bậc B (R gọi dư phép chia A cho B) Khi R = phép chia A cho B phép chia hết Ví dụ: Làm tính chia: (3x3 + 2x2 + 5x – 3) : (x2 + 1) Lời giải: Ta có: 3x x 5x – x 3x 3x 3x 2x 2x 2x 2 2x Bài 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = 2x2 – 4x + 4xy + 4y2 – Lời giải: Ta có: A = 2x2 – 4x + 4xy + 4y2 – A = x2 – 4x + + x2 + 4xy + 4y2 – A = (x – 2)2 + (x + 2y)2 – Vì (x – 2)2 ≥ với x; (x + 2y)2 ≥ với x; y Do A ≥ – với x; y x x Dấu “=” xảy x 2y y 1 Vậy giá trị nhỏ A –5 đạt x = y = –1 Bài 11: Khai triển đẳng thức sau: 1 a) 2x ; y b) (x2 + 1)3; xy c) y Lời giải: 3 1 1 1 12x 6x 3 a) 2x (2x) 3.(2x) 3.2x 8x 2 y y y y y y y b) (x2 + 1)3 = (x2)3 + 3.(x2)2.1 + 3.x2.12 + 13 = x6 + 3x4 + 3x2 + 3 xy x y3 x y3 xy xy xy 3 c) y y 3.y 3.y. y xy 3 27 Bài 12: Tính giá trị biểu thức a) P = x3 – 3x2 + 3x – x = 1001 b) Q = 27x3y6 – 54x2y4z + 36xy2z2 – 8z3 x = 4; y = 5; z = 150 c) R = y3 + 3y2(1 – y) + 3y(1 – y)2 + (1 – y)3 y = 1000 Lời giải: a) P = x3 – 3x2 + 3x – P = (x – 1)3 Thay x = 1001 vào P, ta được: P = (1001 – 1)3 = 10003 = 000 000 000 b) Q = 27x3y6 – 54x2y4z + 36xy2z2 – 8z3 Q = (3xy2)3 – 3.(3xy2)2.2z + 3.3xy2.(2z)2 – (2z)3 Q = (3xy2 – 2z)3 Thay x = 4; y = 5; z = 150 vào Q, ta được: Q = (3.4.52 – 2.150)3 = c) R = y3 + 3y2(1 – y) + 3y(1 – y)2 + (1 – y)3 R = (y + – y)3 R = 13 R = Vậy R = Bài 13: Tính nhanh a) A = 1023 – 6.1022 + 12.102 – 8; b) B = 473 + 9.472 + 27.47 + 27 Lời giải: a) A = 1023 – 6.1022 + 12.102 – A = 1023 – 3.1022.2 + 3.102.22 – 23 A = (102 – 2)3 A = 1003 A= 000 000 b) B = 473 + 9.472 + 27.47 + 27 B = 473 + 3.472.3+ 3.47.32 + 33 B = (47 + 3)3 B = 503 B = 125 000 Bài 14: Viết biểu thức sau dạng tích y3 a) x ; 64 b) 8u3 – v3 Lời giải: y3 y xy y2 y a) x x x x 64 16 4 3 b) 8u3 – v3 = (2u)3 – v3 = (2u – v)(4u2 + 2uv + v2) Bài 15: Viết biểu thức sau dạng tổng hiệu lập phương x x x a) P 1 1 ; 2 xy x y x y b) Q x x Lời giải: x x x a) P 1 1 x x x P 1 1 x P 13 2 x P 1 2 xy x y x y b) Q x x xy 2 xy xy Q x x x ... 3)(2x – 1) – (8x + 1) (x + 3) + 29 = 4x.2x – 4x .1 + 3.2x – 3 .1 – (8x.x + 8x.3 + 1. x + 1. 3) + 29 = 8x2 + 2x – – (8x2 + 25x + 3) + 29 = 8x2 + 2x – – 8x2 – 25x – + 29 = – 23x + 23 = 23x = 23 x =1 Vậy... 5; z = 15 0 vào Q, ta được: Q = (3.4.52 – 2 .15 0)3 = c) R = y3 + 3y2 (1 – y) + 3y (1 – y)2 + (1 – y)3 R = (y + – y)3 R = 13 R = Vậy R = Bài 13 : Tính nhanh a) A = 10 23 – 6 .10 22 + 12 .10 2 – 8; b) B... + 12 – = Vậy giá trị biểu thức M a = 2; b = Bài 3: Tìm x biết: 4x(8x + 5) – 16 x(2x + 1) – = Lời giải: Ta có: 4x(8x + 5) – 16 x(2x + 1) – = 4x.8x + 4x.5 – 16 x.2x – 16 x – = 32x2 + 20x – 32x2 – 16 x