TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 DẠNG 3 5 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp về PT cơ bản hoặ[.]
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489 Bài MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP - LỜI GIẢI CHI TIẾT • Chương PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp PT PT thường thặp ( PT bản, PT hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc sin x , cos x tốn sử dụng phép biến đổi lượng giác để đưa PT dạng tích tốn thường xun xuất kì thi tuyển sinh gần Một số điểm ý - Các biểu thức sin 2x ; cos 2x ; tan x ; cot x ; sin x cos3 x ; cos4 x sin x ; cos 3x sin 3x ; tan x cot x ; sin x thường có nhân tử chung là: sin x cos x - Các biểu thức sin 2x ; cos 2x ; tan x ; cot x ; cos3 x sin x ; cos4 x sin x ; cos 3x sin 3x ; tan x cot x ; sin x thường có nhân tử chung là: sin x cos x - Các biểu thức sin x ; sin2 x ; tan2 x thường có nhân tử chung cos x cos x - Các biểu thức cos3 x ; cos2 x ; cot2 x thường có nhân tử chung sin x sin x A Bài tập tự luận Câu Giải phương trình sau a) sin 3x cos2 x sin 5x cos x b) cos x cos x cos x c) cos x cos x cos x d) sin x sin x sin x cos x cos x cos x Lời giải a) sin 3x cos2 x sin 5x cos x sin 3x sin 5x cos x cos x sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x cos x.sin x 2sin x.cos x 2sin x.sin x cos x.cos x sin x.sin x sin10 x.sin x sin x sin10 x sin x xk sin x sin x.sin x.cos x , sin x x k k b) cos x cos x cos x cos x cos x cos x x cos x cos x cos x cos x sin x sin x cos x cos x 1 cos x 1 cos2 x cos x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ 1 cos x 1 cos x 1 cos x cos x 1 cos x 1 cos x cos x cos x 1 cos x cos x 3cos x 1 c) x k x k cos x cos x 1 x k 2 x k 2 , k cos x cos x k 2 cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x 2 sin x sin x cos x sin x.sin x sin x sin x sin x sin x d) x k sin x sin x cos x sin x cos x x k , cos x x k sin x sin x sin x cos x cos x cos x sin x cos x cos x cos x sin x cos x k cos x 1 sin x cos x 2 2 x k 2 x k 2 cos x , 2 sin x x k cos x 4 k Câu Giải phương trình sau a) sin x cos x sin x cos x b) cos6 x sin x cos x c) sin x 3cos x 4sin x 1 d) cos x 3sin x sin x 3cos x Lời giải a) sin x cos x sin x cos x 4sin x cos x 2sin x 7sin x 2cos x cos x 2sin x 1 2sin x sin x cos x sin x 1 sin x 1 sin x sin x 1 cos x sin x x k 2 Vì cos x sin x vô nghiệm nên sin x , 5 x k 2 b) k 2cos6 x sin x cos x 1 sin x sin x 2sin x 1 3sin x 3sin x sin x sin x 2sin x 2sin x 7sin x 8sin x Đặt t sin x Điều kiện t Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 L t Phương trình theo t là: 2t 7t 8t t t 2 L Với t sin x cos x cos x x k , c) k sin x 3cos x sin x 1 8sin x.cos x 2sin x 12sin x 4sin x.cos x 3sin x 6sin x sin x cos x 3sin x Vì cos x 3sin x vô nghiệm 42 32 62 nên sin x x k , d) k cos x 3sin x sin x 3cos x 2sin x 6sin x cos x 5sin x 3cos x 3cos x sin x 1 sin x 5sin x 3cos x sin x 1 sin x sin x 1 sin x 1 3cos x sin x x k 2 Vì 3cos x sin x 2 vô nghiệm nên sin x , x 5 k 2 Giải phương trình sau sin x sin x a) k Câu b) sin x 1 5sin x Lời giải a) sin x sin x 5sin x 3sin x sin x sin x sin x sin x cos x.sin x 2sin x.cos x cos x sin x sin x cos x cos x.sin x sin x.cos x.cos x cos x.sin x sin x.cos x.cos2 x sin x cos2 x cos x 1 cos x sin x 3cos2 x cos x sin x x k sin x , cos x x arccos k cos x 2 3 cos x b) sin x Điều kiện sin x x k , 5.sin x sin x sin x sin x sin x sin x k k cos x.sin x sin x sin x cos x.cos x 1 Do điều kiện nên cos3x.cos x 4cos3 x 3cos x cos x 1 cos x 4.cos x 3cos x cos x L Phương trình vơ nghiệm L Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Giải phương trình sau sin x 2cos x sin x 0 a) tan x Câu b) sin x cos x sin x.sin x cot x Lời giải a) tan x sin x 2cos x sin x Điều kiện: tan x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 1 sin x 1 x k 2 cos x , sin x 1 cos x 1 x k 2 sin x Do điều kiện nên phương trình có nghiệm x b) k 2 , k k sin x cos x sin x.sin x Điều kiện sin x x k , cot x k sin x 1 sin x cos x 2 sin x.cos x cos x cos x sin x cos x x k cos x , cos x cos x sin x x k 2 4 Câu a) a) k (Thoả mãn ĐK) Giải phương trình sau tan x cot x sin x cos x tan x cot x sin x cos x b) tan x tan x.tan 3x Lời giải sin x Điều kiện: xk , cos x k sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x sin x sin x cos x sin 2 x sin x.cos x sin x.cos x cos 2 x cos x sin x cos x cos x x k cos x , sin x sin x sin x cos x x k 2 b) k (TM điều kiện) cos x tan x tan x.tan 3x Điều kiện cos x x k , k cos 3x sin x sin x sin 3x sin x sin x.cos x cos x.sin x cos x.cos x cos x cos x cos x sin x.sin 2 x cos x.cos x 2sin x.cos x 2cos x.cos3x 1 sin x cos x.cos3x 1 cos x cos x cos x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 cos x 1 x k , k Giải phương trình sau x x a) sin tan x cos2 2 4 (Thoả mãn ĐK) Câu b) sin x cot x tan x cos x Lời giải a) x x sin tan x cos2 Điều kiện: cos x x k , 2 2 4 k 1 sin x 1 cos x 1 sin x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 2 cos x 1 sin x b) cos2 x cos x 1 1 cos x 1 cos x sin x cos x x k 2 cos x 1 1 cos x sin x cos x , x k sin x cos x sin x sin x cot x tan x cos x Điều kiện cos x k (TM ĐK) cos x cos x sin x sin x cos x cos x sin x sin x.cos x sin x cos x 2cos2 x 4cos2 x cos x 4 cos x cos x cos x x k , cos x x k Câu a) a) k (Thoả mãn ĐK) Giải phương trình sau cot x tan x 16 1 cos x cos x b) tan x cot x 2sin x Lời giải x cos x x sin tan x cos2 Điều kiện: xk , sin x 2 4 sin x k cos2 x sin x 4cos x sin x cos x 16 cos x sin 2 x 16 cos x cos x cos x cos x sin 2 x 1 cos x sin 2 x 1 cos x 1 1 cos x cos x 2 cos x x b) 16 k tan x cot x 2sin x , k sin x Điều kiện sin x cos x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ 2 sin x cos x 4sin x cos x 2sin 2 x sin x cos x sin x sin x 4sin x 2sin x 8sin x.cos2 x sin x 1 1 cos x L sin x cos x N x k , k (Thoả mãn ĐK) Giải phương trình sau 3sin x tan x a) 1 cos x tan x sin x Câu b) a) 1 cos x 1 cos x 1 sin x tan x sin x 1 sin x tan x Lời giải cos x 3sin x tan x sin x 1 cos x Điều kiện: tan x sin x tan x sin x sin x tan x cot x cos x 1 1 cos x 1 cos x tan x sin x cot x cos x cos x 1 1 cos x 1 cos x 2 cos x 1 cos x cos x 2 x k 2 , k b) 1 cos x 1 cos x 1 sin x 1 cos x 1 sin x tan x sin x L N cos x 1 sin x tan x ĐK: sin x sin x sin x sin x sin x sin x 1 cos2 x 1 sin x 2sin3 x 1 sin x 1 sin x 2sin x 1 cos2 x 1 sin x 1 sin x cos2 x 2sin x 1 sin x sin x 1 1 sin x cos x cos x Câu a) a) L x k , k N Giải phương trình sau cos x tan x sin x b) sin x sin x 1 cot x sin x sin x Lời giải cos x tan x sin x Điều kiện: cos x sin x cos x sin x sin x.cos x sin x.cos x cos x xk 1 , sin x sin x sin12 x sin x sin12 x sin x 2 x k 20 10 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ k Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 5 Thử lại: x k cos k x b) 20 k cos k loại k lẻ 2 cos k (Thỏa mãn) 2 10 4 sin x sin x cos x 1 cot x ĐK: 2sin x sin x sin x sin 2 x sin x.sin x cos x 2cos x 4cos x.sin x 2cos x.sin x cos x 4cos x 4cos2 x 1 cos2 x cos x 1 cos2 x cos x 4cos2 x 4cos4 x 2cos3 x cos x 2cos x 1 2cos2 x cos x 1 Vì cos x cos x x nên cos2 x cos x x k , k Câu 10 Giải phương trình sau a) tan x.cot 2 x.cot 3x tan x cot 2 x cot 3x b) x cot x sin x 1 tan x.tan 2 Lời giải a) 2 tan x.cot x.cot 3x tan x cot x cot 3x cos x sin x Điều kiện: sin x sin x sin x cot 3x tan x.cot 2 x 1 tan x cot 2 x cos x cos x cos x cos x cot 3x 1 cos x cos x cos x cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x cos x cos x cot 3x 1 cos x 1 cos x cos x cos x 2cos x 2cos x 2cos x 2cos x cot 3x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x cos x 4 sin 3x sin x 4 cos 3x.cos x cos x sin x cos x sin x x k cos x , k sin x cos x x k b) sin x sin x x x cot x sin x 1 tan x.tan ĐK: cos x k , x 2 cos cos x k Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ x x x sin cos x.cos sin x.sin cos x sin x cos x sin x 2 4 sin x x x sin x sin x cos x cos cos x.cos 2 x cos x cos x cos x sin x sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x.cos x 2 x k 12 , sin x x 5 k 12 k B Bài tập trắc nghiệm Câu 11 Giải phương trình sin 3x 4sin x cos x k 2 x A x 2 k k x B x k x k 2 C x k x k D x k Lời giải Cách 1: ĐK: x (*) Phương trình sin x sin x sin x cos x cos x sin x 4cos x sin x 1 2cos x sin x x k x k cos x cos x k 2 x k 3 k thỏa mãn (*) Cách 2: Phương trình sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x 1 x k sin x 1 cos x x k Câu 12 Tập tất nghiệm phương trình sin x 2sin x 6sin x 2cos x A x C x k 2 , k B x k 2 , k D x k 2 , k k , k Lời giải Cách 1: Ta có: sin x 2sin x 6sin x 2cos x 2sin x cos x 2cos x 2sin x 6sin x cos x sin x 1 sin x sin x 1 sin x 1 sin x cos x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 x k 2 sin x x k 2 , k sin x VN sin x cos x 4 Câu 13 Biểu diễn tập nghiệm phương trình cos x cos x cos x đường tròn lượng giác ta số điểm cuối A B C D Lời giải Ta có cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x.cos x cos x cos x cos x 1 2 x k x k cos x 2 2 x k 2 x k 2 , k cos x 3 x 2 k 2 x k 2 3 Vậy biểu diễn tập nghiệm phương trình cos x cos x cos x đường tròn lượng giác ta số điểm cuối Câu 14 Tổng tất nghiệm phương trình sin x cos x cos x sin x 0; 2 A 19 B 9 C 5 D 7 Lời giải 1 Ta có phương trình sin x cos x cos x sin x sin12 x sin x sin12 x sin x 2 k x sin x sin x sin x sin x cos x I cos x x k 4 5 3 2 , , , , , Vì x 0; 2 nên từ I suy x , 3 2 3 2 4 5 3 7 Vậy tổng tất nghiệm phương trình 3 3 2 Câu 15 Phương trình sin x cos x có nghiệm khoảng 0; C D Lời giải sin x cos x sin x.cos x cos x cos x sin x 3 A B cos x x k k sin x loai sin x 1;1 Theo đề: x 0; k x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Câu 16 Gọi S tập hợp nghiệm thuộc đoạn 0;13 phương trình 2cos3 x cos2 x cos x Tính tổng phần tử S 380 420 A B 3 C 120 D 400 Lời giải 3 2cos x cos x cos x 2cos x cos x 2cos2 x cos x cos x k 2 ,k 2cos x 3cos x cos x 1 x k 2 Vì x 0;13 nên 7 13 19 25 31 37 5 11 17 23 29 35 S , , , , , , , , , , , , , ,3 ,5 , 7 ,9 ,11 ,13 3 3 3 3 3 3 400 Vậy tổng phần tử S là: Câu 17 Tổng tất nghiệm phương trình cos3x cos x 9sin x khoảng 0;3 A 5 B 11 25 Lời giải D 6 C Ta có: cos3x cos x 9sin x 4cos3 x 3cos x 2sin x 9sin x cos x 1 sin x 2sin x 9sin x cos x 2sin x 1 2sin x 1 2sin x 1 sin x 2sin x 1 2sin x.cos x cos x sin x (*) Do sin x cos x sin x ; 2sin x.cos x sin x 1 4 nên: 2sin x.cos x cos x sin x sin x cos x sin x x k 2 (*) 2sin x sin x x 5 k 2 Với x k 2 , x 0;3 k k 2 3 1 17 k 12 12 13 k k 0;1 x ; 6 5 5 5 13 k 2 , x 0;3 Với x k 2 3 k 6 12 12 5 17 k k 0;1 x ; 6 5 13 17 Tập nghiệm phương trình cho là: S ; ; ; 6 6 Tổng tất nghiệm 6 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 Câu 18 Cho phương trình 2sin x 1 tan x 2sin x cos x Gọi T tập hợp nghiệm thuộc đoạn 0; 20 phương trình Tính tổng phần tử T A 570 Điều kiện: x B 875 880 Lời giải C 1150 k , k Z Phương trình cho tương đương với 2sin x 1 2sin x 1 D tan x 2sin x 4sin x tan x x k 2 5 x k 2 sin x 5 x k 2 , k (thỏa mãn điều kiện) tan x x k x k 5 *Trường hợp 1: Với x k 2 , k 1 5 5 115 Mà k nên k 0; 1; ; 9 x 0; 20 k 2 20 k 12 12 Tổng tất nghiệm thuộc đoạn 0; 20 họ nghiệm 1 là: 5 295 S1 k 2 k 0 *Trường hợp 2: Với x k , k 1 119 Mà k nên k 0;1; ;19 x 0; 20 k 20 k 6 Tổng tất nghiệm thuộc đoạn 0; 20 họ nghiệm là: 19 580 S2 k k 0 875 Câu 19 Số nghiệm phương trình 2sin 2 x cos x 0; 2018 Vậy tổng phần tử T S1 S A 1008 B 2018 C 2017 D 1009 Lời giải Ta có 2sin 2 x cos x 8sin x cos2 x 2cos x 2cos2 x 4sin x 1 cos2 x cos x x Bài x 0; 2018 nên k k k 0; 2018 k 0; 1; 2; 3; ; 2017 Do số nghiệm phương trình 2sin 2 x cos x 0; 2018 2018 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Câu 20 Số nghiệm phương trình sin x 4cos x sin x khoảng 0;5 là: B A C D Lời giải sin x cos x sin x sin x 2sin x cos x 4cos x sin x cos x sin x sin x 1 2cos x sin x l x k 2 k cos x 5 7 11 13 x 0;5 x ; ; ; ; 3 3 Vậy phương trình có nghiệm khoảng 0;5 Câu 21 Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình 8cot x sin x cos6 x sin x đường tròn lượng giác : A B C D Lời giải Điều kiện sin x cos x cos x 2sin x.cos x 8cot x sin x cos6 x sin x sin x 8 cos x cos x cos x x k , k y 3 x O 7 5 Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình đường trịn lượng giác 3 3 x là: Câu 22 Số nghiệm thuộc ; phương trình sin x cos A B C D Lời giải Ta có 3 sin x cos x sin x sin x sin x sin x sin x 2sin x cos x Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 sin x x k cos x cos 5 x 5 k 2 k 3 3 Bài x ; nên k ; k 1 x 5 7 3 k 2 ; k 1 x 6 5 3 k 2 ; k x 3 Do số nghiệm thuộc ; phương trình cho 4 ; phương trình cos x sin x sin 3x Câu 23 Số nghiệm thuộc khoảng 2 2 A B D C Lời giải Ta có: cos x sin x sin 3x cos x sin x cos 3x 2 2sin x sin x sin x sin x 2sin x x k sin x x k , k sin x x k 4 4 ; ta có: k k Với x k , nửa khoảng 3 2 k 1; 0 Suy nghiệm x , x 4 4 k , nửa khoảng ; ta có: k k 6 2 2 5 , x k 1; 0 Suy nghiệm x 6 4 4 ; ta có: k k Với x k , nửa khoảng 3 3 2 Với x k 1; 0 Suy nghiệm x 2 , x 3 4 ; phương trình Suy số nghiệm nửa khoảng 2 Câu 24 Với x số nghiệm phương trình cos x cos x cos 3x cos x A B C D Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Phương trình cos x cos x cos 3x cos x 2cos 3x cos x cos x cos x x k cos x 5x x 5x 2k cos x cos cos cos x , k 2 5 x 2k x cos Do x nên: x x k ; x 3 x k x ; 5 x Câu 25 Phương trình 1 cos x sin x 3cos 2 x có tổng nghiệm đoạn 0; là: A B 3 C D 2 Lời giải 1 cos x sin x 3cos 2 x 2cos x.sin x 3cos 2 x cos 2 x sin x cos x x k x k k k k 0;1 2 3 Vậy tổng nghiệm 4 Xét k Câu 26 Tìm số nghiệm phương trình 3sin 2 x cos x 0, x 0; 4 A B C D 12 Lời giải Chọn D 3sin 2 x cos x 1=0,x 0; 4 12sin x.cos2 x 2sin x sin x sin x cos x cos x = cos x (1) (2) (3) Họ nghiệm x k có nghiệm 0;4 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Trong nửa khoảng k 2 ; k 2 2 phương trình cos x cos x có nghiệm phân biệt Do 6 có nghiệm 0;4 Tương tự, nửa khoảng k 2 ; k 2 2 phương trình cos x cos x có nghiệm Do 6 có nghiệm 0; 4 Trong họ nghiệm của,, khơng có hai họ có phần tử chung nên chọn đáp án D 7 ;0 Câu 27 Phương trình sin x cos x sin x có nghiệm thuộc A B C D Lời giải sin x cos x sin x 3sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x Ta có: x k sin x sin x x k sin x 1 x k 2 5 7 Do x ; nên phương trình có nghiệm là: x ; x ; x 6 Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN) https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 ... 7? ?? 13 19 25 31 37? ?? 5 11 17? ?? 23 29 35 S , , , , , , , , , , , , , ,3 ,5 , 7? ?? ,9 ,11 ,13 3 3 3 3 3 3 400 Vậy tổng phần tử S là: Câu 17 Tổng tất nghiệm phương trình. .. 2 phương trình cos x cos x có nghiệm Do 6 có nghiệm 0; 4 Trong họ nghiệm của,, khơng có hai họ có phần tử chung nên chọn đáp án D 7? ?? ;0 Câu 27 Phương trình sin x cos... 11 Câu 18 Cho phương trình 2sin x 1 tan x 2sin x cos x Gọi T tập hợp nghiệm thuộc đoạn 0; 20 phương trình Tính tổng phần tử T A 570 Điều kiện: x B 875 880 Lời