50 bài tập về ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình (có đáp án 2022) – toán 11

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình 1 Lý thuyết a) Các công thức đạo hàm Đạo hàm các hàm số cơ bản Đạo hàm các hàm hợp u = u(x) (c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1   1x '''' x [.]

Đạo hàm tốn giải phương trình, bất phương trình Lý thuyết a) Các cơng thức đạo hàm Đạo hàm hàm số (c)’ = (c số) (x)’ =  x  '  .x  1 Đạo hàm hàm hợp u = u(x)  u  '  .u.u  1      2; x0 x x  x  ; x0 x (sin x)’ = cos x u      u u  u u  u (sin u)’ = u’.cos u (cos x)’ = -sin x (cos u)’ = -u’.sin u  tan x    tan u       tan x cos x  cot x      1  cot x  sin x   u  u.1  tan u  cos u  cot u    b) Các quy tắc tính đạo hàm Cho hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: (u + v)’ = u’ + v’ (u – v)’ = u’ – v’ (u.v)’ = u’.v + v’.u  u  uv  vu     v  v  x   0 v2 v Chú ý: a) (k.v)’ = k.v’ (k: số) v   b)      v  v(x)   v v Mở rộng: u  u.1  cot u  sin u u  u   u n   u1  u 2   u n  u.v.w   u.v.w  u.v.w  u.v.w c) Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x) Khi đó: y x  yu.u x Phương pháp giải: - Sử dụng quy tắc, cơng thức tính đạo hàm phần lý thuyết - Nhận biết tính đạo hàm hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức - Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: a) Cho f  x   2x  x  2,g  x   3x  x  Giải bất phương trình f’(x) > g’(x) 60 64   Giải phương trình f’(x) = x x3 c) Cho y = cos2x + sin x Giải phương trình y’ = Lời giải  a) Ta có f '  x   2x  x   6x  b) Cho f  x   3x       g'  x   3x  x   6x  Ta có: f '  x   g'  x   6x   6x   6x  6x   6x  x  1   x   ;0   1;   Vậy phương trình có tập nghiệm S   ;0   1;   60 192 60 64     5    b) Ta có f '  x    3x  x x x x   60 192 f '  x       1 x x Đặt t  ,  t   x  t  1  192t  60t     t   16 1 Với t     x   x  2 x 1 Với t     x  16  x  4 16 x 16 Vậy f’(x) = có nghiệm x  2 , x  4 c) Ta có: y’ = – 2sin x.cos x + cos x = – sin 2x + cos x Khi đó, phương trình có dạng:    sin 2x  cos x   sin 2x  cos x  sin   x  2   2k    x    2x   x  2k  ;k      x   2k  2x     x  2k   2  2k  ;x   2k,k  Vậy nghiệm phương trình x   Ví dụ 2: a) Cho y = tan x Chứng minh y’ – y2 – = b) Cho y = xsinx Chứng minh: x.y – 2(y’– sinx) + x(2cosx – y) = Lời giải   tan x cos x Ta có: y’ – y – = + tan2x – tan2x – = (đpcm) b) y’ = (xsin x)’ = x’.sin x + x.(sin x)’ = sin x + xcos x Ta có: x.y – 2(y’ – sin x) + x(2cos x – y) = x2.sin x – 2(sin x + xcosx – sin x) + x(2cosx – xsin x) = x2sin x – 2xcos x + 2xcosx – x2sinx = (đpcm) Bài tập tự luyện a) y'   tan x ’  Câu Cho hàm số y  x  Nghiệm phương trình y’.y = 2x + là: A x = B x = C Vô nghiệm D x = – 1 Câu Cho hàm số f  x   x  2x  8x  , có đạo hàm f’(x) Tập hợp giá trị x để f’(x) = là:   A 2   B 2;   C 4   D 2 Câu Cho hàm số y = 3x3 + x2 + 1, có đạo hàm y’ Để y'  x nhận giá trị thuộc tập sau đây?   A   ;0      B   ;0    9  C  ;    0;   2  2  D  ;    0;   9  Câu Cho hàm số y  x   2m  1 x  mx  , có đạo hàm y’ Tìm tất giá trị m để y  với x  1  A m   1;   4  1  B m   1;   4    C m   ; 1    ;      1 D m   1;   4 Câu Cho hàm số y   mx   m  1 x  mx  , có đạo hàm y’ Tìm tất giá trị m để phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x12  x 22  A m  1  ; m  1  B m  1  C m   ; m   D m  1  Câu Cho hàm số y = (2x2 + 1)3, có đạo hàm y’ Để y  x nhận giá trị sau đây? A Khơng có giá trị x B   ;0 C 0;   D R  3x  x Câu Cho hàm số f  x   Giải bất phương trình f’(x) > x 1 A x  \ 1 B x  C x  1;   D x  x3 Câu Cho hàm số f  x   Phương trình f’(x) = có tập nghiệm S là: x 1  2 A S  0;   3   B S   ;0     3 C S  0;   2   D S   ;0    Câu Cho hàm số f  x   x  2x Tập nghiệm S bất phương trình f '  x   f  x  có giá trị nguyên? A B C D Câu 10 Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3x – với m tham số Tìm tập hợp M tất giá trị m để y’ = có hai nghiệm phân biệt: A M = (– 3; 3) B M  (; 3]  [3; ) C M = R D M  (; 3)  (3; ) Câu 11 Cho hàm số y = x3 – 3x + 2017 Bất phương trình y’ < có tập nghiệm là: A S = (– 1; 1) B S  (; 1)  (1; ) C S  (1; ) D S  (; 1) Câu 12 Cho hàm số f(x) = x4 + 2x2 – Tìm x dể f’(x) > 0? A –1 < x < B x < C x > D x < – Câu 13 Cho hàm số y = (m – 1)x3 – 3(m + 2)x2 – 6(m + 2)x + Tập giá trị m để y'  0, x  R A [3; ) B [-2; 0] C [4 2; ) D [1; ) Câu 14 Cho hàm số f(x) = acosx + 2sinx – 3x + Tìm a để phương trình f’(x) = có nghiệm A | a | B | a | Câu 15 Cho hàm số f (x)  trình f’(x) =   x   k  12 A  (k  )  x   3  k     x    k  12 B  (k  )  x   3  k   C |a|>5 D |a|