Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình 1 Lý thuyết a) Các công thức đạo hàm Đạo hàm các hàm số cơ bản Đạo hàm các hàm hợp u = u(x) (c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1 1x '''' x [.]
Đạo hàm tốn giải phương trình, bất phương trình Lý thuyết a) Các cơng thức đạo hàm Đạo hàm hàm số (c)’ = (c số) (x)’ = x ' .x 1 Đạo hàm hàm hợp u = u(x) u ' .u.u 1 2; x0 x x x ; x0 x (sin x)’ = cos x u u u u u u (sin u)’ = u’.cos u (cos x)’ = -sin x (cos u)’ = -u’.sin u tan x tan u tan x cos x cot x 1 cot x sin x u u.1 tan u cos u cot u b) Các quy tắc tính đạo hàm Cho hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: (u + v)’ = u’ + v’ (u – v)’ = u’ – v’ (u.v)’ = u’.v + v’.u u uv vu v v x 0 v2 v Chú ý: a) (k.v)’ = k.v’ (k: số) v b) v v(x) v v Mở rộng: u u.1 cot u sin u u u u n u1 u 2 u n u.v.w u.v.w u.v.w u.v.w c) Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x) Khi đó: y x yu.u x Phương pháp giải: - Sử dụng quy tắc, cơng thức tính đạo hàm phần lý thuyết - Nhận biết tính đạo hàm hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức - Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: a) Cho f x 2x x 2,g x 3x x Giải bất phương trình f’(x) > g’(x) 60 64 Giải phương trình f’(x) = x x3 c) Cho y = cos2x + sin x Giải phương trình y’ = Lời giải a) Ta có f ' x 2x x 6x b) Cho f x 3x g' x 3x x 6x Ta có: f ' x g' x 6x 6x 6x 6x 6x x 1 x ;0 1; Vậy phương trình có tập nghiệm S ;0 1; 60 192 60 64 5 b) Ta có f ' x 3x x x x x 60 192 f ' x 1 x x Đặt t , t x t 1 192t 60t t 16 1 Với t x x 2 x 1 Với t x 16 x 4 16 x 16 Vậy f’(x) = có nghiệm x 2 , x 4 c) Ta có: y’ = – 2sin x.cos x + cos x = – sin 2x + cos x Khi đó, phương trình có dạng: sin 2x cos x sin 2x cos x sin x 2 2k x 2x x 2k ;k x 2k 2x x 2k 2 2k ;x 2k,k Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 2: a) Cho y = tan x Chứng minh y’ – y2 – = b) Cho y = xsinx Chứng minh: x.y – 2(y’– sinx) + x(2cosx – y) = Lời giải tan x cos x Ta có: y’ – y – = + tan2x – tan2x – = (đpcm) b) y’ = (xsin x)’ = x’.sin x + x.(sin x)’ = sin x + xcos x Ta có: x.y – 2(y’ – sin x) + x(2cos x – y) = x2.sin x – 2(sin x + xcosx – sin x) + x(2cosx – xsin x) = x2sin x – 2xcos x + 2xcosx – x2sinx = (đpcm) Bài tập tự luyện a) y' tan x ’ Câu Cho hàm số y x Nghiệm phương trình y’.y = 2x + là: A x = B x = C Vô nghiệm D x = – 1 Câu Cho hàm số f x x 2x 8x , có đạo hàm f’(x) Tập hợp giá trị x để f’(x) = là: A 2 B 2; C 4 D 2 Câu Cho hàm số y = 3x3 + x2 + 1, có đạo hàm y’ Để y' x nhận giá trị thuộc tập sau đây? A ;0 B ;0 9 C ; 0; 2 2 D ; 0; 9 Câu Cho hàm số y x 2m 1 x mx , có đạo hàm y’ Tìm tất giá trị m để y với x 1 A m 1; 4 1 B m 1; 4 C m ; 1 ; 1 D m 1; 4 Câu Cho hàm số y mx m 1 x mx , có đạo hàm y’ Tìm tất giá trị m để phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x12 x 22 A m 1 ; m 1 B m 1 C m ; m D m 1 Câu Cho hàm số y = (2x2 + 1)3, có đạo hàm y’ Để y x nhận giá trị sau đây? A Khơng có giá trị x B ;0 C 0; D R 3x x Câu Cho hàm số f x Giải bất phương trình f’(x) > x 1 A x \ 1 B x C x 1; D x x3 Câu Cho hàm số f x Phương trình f’(x) = có tập nghiệm S là: x 1 2 A S 0; 3 B S ;0 3 C S 0; 2 D S ;0 Câu Cho hàm số f x x 2x Tập nghiệm S bất phương trình f ' x f x có giá trị nguyên? A B C D Câu 10 Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3x – với m tham số Tìm tập hợp M tất giá trị m để y’ = có hai nghiệm phân biệt: A M = (– 3; 3) B M (; 3] [3; ) C M = R D M (; 3) (3; ) Câu 11 Cho hàm số y = x3 – 3x + 2017 Bất phương trình y’ < có tập nghiệm là: A S = (– 1; 1) B S (; 1) (1; ) C S (1; ) D S (; 1) Câu 12 Cho hàm số f(x) = x4 + 2x2 – Tìm x dể f’(x) > 0? A –1 < x < B x < C x > D x < – Câu 13 Cho hàm số y = (m – 1)x3 – 3(m + 2)x2 – 6(m + 2)x + Tập giá trị m để y' 0, x R A [3; ) B [-2; 0] C [4 2; ) D [1; ) Câu 14 Cho hàm số f(x) = acosx + 2sinx – 3x + Tìm a để phương trình f’(x) = có nghiệm A | a | B | a | Câu 15 Cho hàm số f (x) trình f’(x) = x k 12 A (k ) x 3 k x k 12 B (k ) x 3 k C |a|>5 D |a|