Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau I Lý thuyết Bổ sung định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến • Nếu hai tuyến tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì Điểm đó cách đều hai tiế[.]
Tính chất hai tiếp tuyến cắt I Lý thuyết Bổ sung định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến • Nếu hai tuyến tuyến đường trịn cắt điểm - Điểm cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến - Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua hai tiếp điểm Cho đường trịn (O;R) có AB; AC hai tiếp tuyến đường tròn; B, C hai tiếp điểm Khi ta có: + AB = AC + AO tia phân giác BAC hay CAO = BAO = BAC + OA tia phân giác BOC hay BOA = COA = BOC II Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho đường trịn (O), điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N tiếp điểm) a) Chứng minh AO vng góc với MN b) Vẽ đường kính NOC Chứng minh MC // AO c) Tính độ dài cạnh tam giác AMN biết: OM = 3cm, OA = 5cm Lời giải: a) Gọi H giao điểm AO MN Vì AM AN hai tiếp tuyến cắt A nên Oa tia phân giác MON MOA = NOA (tính chất) Xét tam giác OMH tam giác ONH có: OM = ON = R OH chung MOA = NOA (chứng minh trên) Do đó: OMH = ONH (c – g – c) OHM = OHN (hai góc tương ứng) Mà OHM + OHN = 180 (hai góc kề bù) Do đó: OHM = OHN = 90 hay OH ⊥ MN OA ⊥ MN (do H nằm OA) b) Xét tam giác MNC có ba đỉnh M, N, C nằm đường trịn (O) Lại có NC đường kính Do tam giác MNC vuông M MC ⊥ MN Ta có: MC ⊥ MN MC / /OA (quan hệ từ vng góc đến song song) OA ⊥ MN c) Xét tam giác OMA vuông M (do AM tiếp tuyến (O) với M tiếp điểm) ta có: OM + MA = OA (định lý Py – ta – go) 32 + MA = 52 MA = 25 − MA = 16 MA = 4cm Mà MA NA hai tiếp tuyến cắt MA = NA = 4cm (tính chất) Tam giác OAM vuông M, đường cao MH ta có: MA.MO = MH.OA 4.3 = MH.5 5MH = 12 MH = 12 : MH = 2,4cm Tam giác OMN có: OM = ON Do tam giác OMN cân O Khi OH vừa đường cao vừa đường trung tuyến Suy H trung điểm MN MN = 2MH = 2,4.2 = 4,8cm Vậy tam giác AMN có AM = AN = cm, MN = 4,8 cm Ví dụ 2: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Kẻ BE vng góc với AC, CF vng góc với AB (E thuộc AC, F thuộc AB), BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác OBHC hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng Lời giải: a) Vì AB tiếp tuyến đường trịn (O) B nên OB ⊥ AB Lại có CF ⊥ AB (giải thuyết) Do đó: OB // CF hay OB // CH (1) Vì AC tiếp tuyến đường tròn (O) C nên OC ⊥ AC Lại có: BE ⊥ AC (giả thuyết) Do đó: OC // BE hay OC // BH (2) Xét tứ giác OBHC có: OB // CH (theo (1)) OC // BH (theo (2)) Do tứ giác OBHC hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) Lại có: OB = OC nên hình bình hành OBHC hình thoi (dấu hiệu nhận biết) b) Vì OBHC hình thoi nên OH đường phân giác góc BOC (tính chất) (3) Do AB, AC hai tiếp tuyến đường tròn (O) chúng cắt A Nên OA đường phân giác góc BOC (tính chất) (4) Từ (3) (4) OA OH hay O, A, H thẳng hàng ... M (do AM tiếp tuyến (O) với M tiếp điểm) ta có: OM + MA = OA (định lý Py – ta – go) 32 + MA = 52 MA = 25 − MA = 16 MA = 4cm Mà MA NA hai tiếp tuyến cắt MA = NA = 4cm (tính chất) Tam... OBHC hình thoi nên OH đường phân giác góc BOC (tính chất) (3) Do AB, AC hai tiếp tuyến đường tròn (O) chúng cắt A Nên OA đường phân giác góc BOC (tính chất) (4) Từ (3) (4) OA OH hay O, A, H thẳng... minh MC // AO c) Tính độ dài cạnh tam giác AMN biết: OM = 3cm, OA = 5cm Lời giải: a) Gọi H giao điểm AO MN Vì AM AN hai tiếp tuyến cắt A nên Oa tia phân giác MON MOA = NOA (tính chất) Xét tam