tìm hiểu về đại số đa tuyên tính luan văn khoa học toán

Mục lục Lời nói đầu 3 1 Tích tensor 5 1.1 Tích tensor của các module . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Các tính chất cơ bản của tích tensor . . . . . . . . . . . 12 1.3 Một số đẳng cấu hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Tích tensor và dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Mở rộng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Tích tensor của các đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Đại số tensor 28 2.1 Đại số tensor của một module . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Các tính chất hàm tử của đại số tensor . . . . . . . . . . 30 2.3 Mở rộng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Đại số tensor của tổng trực tiếp và của module tự do . . 36 3 Đại số đối xứng 38 3.1 Đại số đối xứng của một module . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Các tính chất hàm tử của đại số đối xứng . . . . . . . . 40 3.3 Mở rộng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Đại số đối xứng của tổng trực tiếp và của module tự do. 43 4 Đại số ngoài 47 4.1 Đại số ngoài của một module, tích ngoài . . . . . . . . . 47 4.2 Các tính chất hàm tử của đại số ngoài . . . . . . . . . . 49 4.3 Mở rộng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4 Đại số ngoài của tổng trực tiếp và của module tự do . . . 53 4.5 Tiêu chuẩn độc lập tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 57 1 MỤC LỤC 2 5 Một số ứng dụng của đại số ngoài 61 5.1 Định thức của một tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2 Đa tạp Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 Phức Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Tài liệu tham khảo 72 Lời nói đầu Một mở rộng trực tiếp của khái niệm ánh xạ tuyến tính là khái niệm ánh xạ đa tuyến tính, nghĩa là một ánh xạ nhiều biến và tuyến tính một cách độc lập theo từng biến. Như tên gọi của nó, đại số đa tuyến tính nghiên cứu các ánh xạ đa tuyến tính và các đối tượng liên quan. Được phát triển bởi các nhà toán học Grassmann, Ricci–Curbastro, Levi- Civita , đại số đa tuyến tính đã được tổng quát và hệ thống hóa như ngày nay, với các tư tưởng của lý thuyết phạm trù, bởi nhóm Bourbaki. Cũng như đại số tuyến tính, đại số đa tuyến tính có rất nhiều ứng dụng khác nhau. Khái niệm dạng vi phân trong giải tích nhiều biến là một trong những ứng dụng hay gặp nhất của nó. Tuy nhiên, đại số đa tuyến tính lại ít được giảng dạy trong các chương trình đào tạo đại học và sau đại học. Các tài liệu trình bày đầy đủ về đại số đa tuyến tính cũng không nhiều, với [2] là cuốn sách chuyên khảo đầu tiên bằng tiếng Việt (theo hiểu biết của tác giả). Với những lý do trên, tác giả nhận thấy việc tìm hiểu một số nội dung của đại số đa tuyến tính theo quan điểm đại số hiện đại là cần thiết. Luận văn trình bày những kiến thức cơ bản, trong đó nhấn mạnh tính phổ dụng, các đẳng cấu hàm tử, tính đối ngẫu trong đại số đa tuyến tính. Cụ thể, luận văn gồm có 5 chương: Chương 1. Tích tensor, trình bày những vấn đề chung nhất về tích tensor, một số đẳng cấu hàm tử của tích tensor, tích tensor và dãy khớp, mở rộng vô hướng và tích tensor của các đại số. Chương này cũng là chương chuẩn bị cho các chương tiếp theo. Chương 2. Đại số tensor, bao gồm các vấn đề: đại số tensor của một module, các tính chất hàm tử của đại số tensor, mở rộng vô hướng, đại số tensor của tổng trực tiếp và của module tự do. Một kết quả đáng chú ý của chương đó là đại số tensor của một module tự do hạng n thì đẳng cấu với đại số kết hợp tự do của n biến. Chương 3. Đại số đối xứng, có cấu trúc tương tự chương 2. Kết 3 MỤC LỤC 4 quả tương ứng với kết quả nói trên là đại số đối xứng của một module tự do hạng n thì đẳng cấu với đại số đa thức của n biến. Đây là một ứng dụng hay gặp của đại số đối xứng, chẳng hạn khi người ta muốn sử dụng một vành đa thức nào đó mà không quan tâm tới các biến cụ thể. Chương 4. Đại số ngoài, bên cạnh các nội dung như đại số ngoài của một module, tích ngoài, tính đối ngẫu còn có tiêu chuẩn độc lập tuyến tính thông qua tích ngoài. Các tiêu chuẩn này sẽ được áp dụng ở chương tiếp theo. Đại số ngoài và tích ngoài có rất nhiều ứng dụng khác nhau trong toán học. Chương 5. Một số ứng dụng của đại số ngoài, trình bày một số ứng dụng đơn giản của đại số ngoài: định thức của một tự đồng cấu (đại số tuyến tính), đa tạp Grassmann (hình học đại số), phức Koszul (đại số giao hoán). Vì nhiều lý do, luận văn không trình bày một ứng dụng nổi bật của đại số ngoài và tích ngoài là dạng vi phân trên đa tạp. Bạn đọc nào quan tâm có thể tham khảo trong các cuốn sách về hình học vi phân. Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả luôn nhận được sự hướng dẫn tận tình của T.S. Nguyễn Quang Lộc. Từ sâu đáy lòng, tác giả xin gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành nhất! Gia đình đã luôn ở bên động viên và tạo điều kiện cho tác giả tập trung làm luận văn. Tác giả xin gửi tới gia đình mình lời cảm ơn sâu sắc nhất! Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp đã luôn ở bên cổ vũ; Phòng sau đại học, Giáo vụ khoa đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn. Do trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự thông cảm và những đóng góp chân thành của quý bạn đọc. Tác giả Ngô Thị Phương Chương 1 Tích tensor 1.1 Tích tensor của các module Ta luôn giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị. Cho E và F là các A-module. Nhắc lại rằng ánh xạ g : E → F được gọi là một ánh xạ tuyến tính hay một A-đồng cấu nếu g(x + y) = g(x) + g(y), g(ax) = ag(x), với mọi x, y ∈ E và với mọi a ∈ A. Định nghĩa 1.1. Cho E 1 , E 2 , . . . , E n và F là các A-module. Ánh xạ f : E 1 × E 2 × . . . × E n → F được gọi là một ánh xạ đa tuyến tính (n-tuyến tính) nếu nó tuyến tính đối với từng biến, tức là nếu cố định n − 1 biến bất kỳ thì được một ánh xạ tuyến tính theo biến còn lại. Ta ký hiệu bởi L n (E 1 , . . . , E n ; F ) tập các ánh xạ n-tuyến tính từ E 1 × . . . × E n vào F . Khi n = 1, tập các ánh xạ tuyến tính từ E vào F được ký hiệu bởi L(E, F ). Khi n = 2, một ánh xạ 2-tuyến tính cũng còn được gọi là một ánh xạ song tuyến tính. Dễ thấy L n (E 1 , . . . , E n ; F ) là một A-module với phép cộng và phép nhân ngoài được xác định như sau: với f, g ∈ L n (E 1 , . . . , E n ; F ), a ∈ A và với mọi (x 1 , . . . , x n ) ∈ E 1 × . . . E n , ta đặt (f + g)(x 1 , . . . , x n ) = f(x 1 , . . . , x n ) + g(x 1 , . . . , x n ), (af)(x 1 , . . . , x n ) = af(x 1 , . . . , x n ). 5 1.1. Tích tensor của các module 6 Định nghĩa 1.2. Cho E 1 , E 2 , . . . , E n là các A-module. Tích tensor của chúng là một cặp (T, θ), trong đó T là một A-module và θ : E 1 ×E 2 ×. . .× E n → T là một ánh xạ đa tuyến tính thỏa mãn tính chất phổ dụng: với mỗi A-module T  và một ánh xạ đa tuyến tính f : E 1 ×E 2 ×. . .×E n → T  , tồn tại duy nhất một đồng cấu A-module g : T → T  sao cho gθ = f, tức là biểu đồ sau giao hoán: T E 1 × × E n T  ❄ g ✑ ✑ ✑ ✑ ✑✸ θ ◗ ◗ ◗ ◗ ◗s f Nhận xét rằng A-module T nếu tồn tại thì là duy nhất, sai khác một đẳng cấu. Thật vậy, giả sử có một A-module T  cùng với một ánh xạ đa tuyến tính θ  có tính chất như cặp (T, θ). Khi đó tồn tại các đồng cấu j : T → T  và k : T  → T để θ  = jθ và θ = kθ  . Từ đó rút ra θ = (kj)θ. Mặt khác θ = Id T θ. Do tính duy nhất của g trong định nghĩa của cặp (T, θ), ta nhận được kj = Id T . Tương tự ta cũng có jk = Id T  . Vậy T và T  là đẳng cấu. Bây giờ ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của tích tensor. Gọi C là A-module tự do sinh bởi tập S = E 1 × . . . × E n . Như vậy, các phần tử của C là các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các phần tử (x 1 , . . . , x n ) ∈ E 1 × . . . × E n với hệ số thuộc A. Gọi D là module con của C sinh bởi tất cả các phần tử có dạng (x 1 , . . . , x i + x  i , . . . , x n ) − (x 1 , . . . , x i , . . . , x n ) − (x 1 , . . . , x  i , . . . , x n ) (x 1 , . . . , ax i , . . . , x n ) − a(x 1 , . . . , x i , . . . , x n ), với i = 1, . . . , n; a ∈ A. Gọi u : S → C là ánh xạ nhúng và p : C → C/D là phép chiếu chính tắc. Đặt θ = pu : S → C/D. Ta chứng minh cặp (C/D, θ) thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa tích tensor. Bởi cách xây dựng, dễ thấy θ là một ánh xạ đa tuyến tính. Cho f : S → T  là một ánh xạ đa tuyến tính. Vì C là module tự do sinh bởi tập S nên có một đồng cấu A-module f ∗ : C → T  là mở rộng của f. Do 1.1. Tích tensor của các module 7 f là một ánh xạ đa tuyến tính nên với mọi x i , x  i ∈ E i , i = 1, . . . , n, ta có: f ∗ ((x 1 , . . . , x i + x  i , . . . , x n ) − (x 1 , . . . , x i , . . . , x n ) − (x 1 , . . . , x  i , . . . , x n )) = f ∗ ((x 1 , . . . , x i + x  i , . . . , x n )) − f ∗ ((x 1 , . . . , x i , . . . , x n )) − f ∗ ((x 1 , . . . , x  i , . . . , x n )) = f((x 1 , . . . , x i + x  i , . . . , x n )) − f((x 1 , . . . , x i , . . . , x n )) − f((x 1 , . . . , x  i , . . . , x n )) = 0. Tương tự, f ∗ cũng làm triệt tiêu các phần tử có dạng (x 1 , . . . , ax i , . . . , x n ) − a(x 1 , . . . , x i , . . . , x n ); i = 1, . . . , n. Từ định nghĩa của D, ta có D ⊆ Ker f ∗ . Do đó f ∗ cảm sinh một đồng cấu A-module g : C/D → T sao cho gp = f ∗ . Khi đó gθ = gpu = f ∗ u = f. Vì ảnh của ánh xạ θ sinh ra module C/D nên đồng cấu f ∗ là duy nhất. Module C/D xây dựng như trên sẽ được ký hiệu bởi E 1 ⊗ A · · · ⊗ A E n , E 1 ⊗ · · · ⊗ E n hoặc n  i=1 E i và cũng được gọi là tích tensor của các module E 1 , . . . , E n . Nếu x i ∈ E i thì ta viết θ(x 1 , . . . , x n ) = x 1 ⊗ · · · ⊗ x n . Với mọi x i , x  i ∈ E i và với mọi a ∈ A, ta có x 1 ⊗· · ·⊗(x i +x  i )⊗· · ·⊗x n = x 1 ⊗· · ·⊗x i ⊗· · ·⊗x n +x 1 ⊗· · ·⊗x  i ⊗· · ·⊗x n x 1 ⊗ · · · ⊗ ax i ⊗ · · · ⊗ x n = a(x 1 ⊗ · · · ⊗ x n ). Mỗi phần tử của tích tensor E 1 ⊗ · · · ⊗ E n có thể được viết như là một tổng của các hạng tử x 1 ⊗ · · · ⊗ x n với x i ∈ E i , vì các phần tử như thế sinh ra module E 1 ⊗ · · · ⊗E n trên A, và a(x 1 ⊗ · · · ⊗x n ) = ax 1 ⊗ · · · ⊗x n với a ∈ A. Chú ý rằng biểu diễn tổng này nói chung không phải là duy 1.1. Tích tensor của các module 8 nhất. Để xây dựng một đồng cấu từ tích tensor vào một module cho trước, ta phải sử dụng tính chất phổ dụng của tích tensor. Ví dụ. Z m ⊗ Z Z n = {0} nếu (m, n) = 1. Thật vậy, vì (m, n) = 1 nên tồn tại a, b ∈ Z sao cho am + bn = 1. Khi đó với mọi x ∈ Z m , y ∈ Z n , ta có: x ⊗ y = 1(x ⊗ y) = (am + bn)(x ⊗ y) = am(x ⊗ y) + bn(x ⊗ y) = a(mx) ⊗ y + bx ⊗ (ny) = 0 + 0 = 0. Vì các phần tử x ⊗ y sinh ra Z m ⊗ Z n nên ta được Z m ⊗ Z n = {0}. Mệnh đề 1.3. Cho E 1 , E 2 , E 3 là các A-module. Thế thì tồn tại duy nhất các đẳng cấu E 1 ⊗ (E 2 ⊗ E 3 ) θ → (E 1 ⊗ E 2 ) ⊗ E 3 η → E 1 ⊗ E 2 ⊗ E 3 sao cho x ⊗ (y ⊗ z) → (x ⊗ y) ⊗ z → x ⊗ y ⊗ z với x ∈ E 1 , y ∈ E 2 , z ∈ E 3 . Chứng minh. Sự duy nhất của θ: vì các phần tử dạng (x ⊗ y) ⊗ z sinh ra tích tensor (E 1 ⊗ E 2 ) ⊗ E 3 nên tính duy nhất của đồng cấu θ trên là hiển nhiên. Sự tồn tại của θ: lấy x ∈ E 1 . Ánh xạ λ x : E 2 × E 3 → (E 1 ⊗ E 2 ) ⊗ E 3 (y, z) → (x ⊗ y) ⊗ z là song tuyến tính và do đó có đồng cấu cảm sinh λ x : E 2 ⊗ E 3 → (E 1 ⊗ E 2 ) ⊗ E 3 . Tiếp theo, ánh xạ ψ : E 1 × (E 2 ⊗ E 3 ) → (E 1 ⊗ E 2 ) ⊗ E 3 (x, α) → λ x (α) là song tuyến tính và do đó có đồng cấu cảm sinh θ : E 1 ⊗ (E 2 ⊗ E 3 ) → (E 1 ⊗ E 2 ) ⊗ E 3 x ⊗ (y ⊗ z) → (x ⊗ y) ⊗ z. 1.1. Tích tensor của các module 9 Tương tự, ta cũng có đồng cấu θ  : (E 1 ⊗ E 2 ) ⊗ E 3 → E 1 ⊗ (E 2 ⊗ E 3 ) (x ⊗ y) ⊗ z → x ⊗ (y ⊗ z). Dễ thấy θθ  = Id (E 1 ⊗E 2 )⊗E 3 và θ  θ = Id E 1 ⊗(E 2 ⊗E 3 ) . Vậy θ là đẳng cấu. Tương tự, ta cũng chứng minh được sự tồn tại duy nhất của đẳng cấu η. Mệnh đề 1.4. Cho E và F là các A-module. Khi đó tồn tại duy nhất đẳng cấu E ⊗ F → F ⊗ E sao cho x ⊗ y → y ⊗ x với x ∈ E, y ∈ F . Chứng minh. Ánh xạ E × F → F ⊗ E (x, y) → y ⊗ x là song tuyến tính, do đó cảm sinh đồng cấu ϕ : E ⊗ F → F ⊗ E x ⊗ y → y ⊗ x Vì ϕ có ánh xạ ngược ψ : F ⊗ E → E ⊗ F y ⊗ x → x ⊗ y nên ta được đẳng cấu phải tìm. Mệnh đề 1.5. Cho E 1 , . . . , E n , E n+1 là các A-module. Khi đó tồn tại duy nhất đẳng cấu (E 1 ⊗ · · · ⊗ E n ) ⊗ E n+1 → E 1 ⊗ · · · ⊗ E n ⊗ E n+1 sao cho (x 1 ⊗ · · · ⊗ x n ) ⊗ x n+1 → x 1 ⊗ · · · ⊗ x n ⊗ x n+1 với x i ∈ E i ; i = 1, . . . , n + 1. 1.1. Tích tensor của các module 10 Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Khẳng định là đúng với n = 2 theo Mệnh đề 1.3. Theo giả thiết quy nạp, ta có các đẳng cấu E 1 ⊗ · · · ⊗ E n ∼ → (E 1 ⊗ · · · ⊗ E n−1 ) ⊗ E n ∼ → . . . ∼ → (((E 1 ⊗ E 2 ) ⊗ E 3 ) ⊗ · · · ⊗ E n ) x 1 ⊗ · · · ⊗ x n → (x 1 ⊗ · · · ⊗ x n−1 ) ⊗ x n → . . . → (((x 1 ⊗ x 2 ) ⊗ x 3 ) ⊗ · · · ⊗ x n ). Tương tự như chứng minh của Mệnh đề 1.3, ta có thể xây dựng một đồng cấu (((E 1 ⊗ E 2 ) ⊗ E 3 ) ⊗ · · · ⊗ E n ) ⊗ E n+1 → E 1 ⊗ · · · ⊗ E n+1 (((x 1 ⊗ x 2 ) ⊗ x 3 ) ⊗ · · · ⊗ x n ) ⊗ x n+1 → x 1 ⊗ · · · ⊗ x n+1 bằng việc lần lượt xây dựng các ánh xạ song tuyến tính vào E 1 ⊗ · · · ⊗ E n+1 . Do đó có một đồng cấu ϕ : (E 1 ⊗ · · · ⊗ E n ) ⊗ E n+1 → E 1 ⊗ · · · ⊗ E n+1 (x 1 ⊗ · · · ⊗ x n ) ⊗ x n+1 → x 1 ⊗ · · · ⊗ x n+1 . Ngược lại, ánh xạ E 1 × · · · × E n+1 → (E 1 ⊗ · · · ⊗ E n ) ⊗ E n+1 biến (x 1 , . . . , x n+1 ) thành (x 1 ⊗ · · · ⊗ x n ) ⊗ x n+1 là một ánh xạ đa tuyến tính. Do đó, nó cảm sinh một đồng cấu ψ trên tích tensor. Dễ thấy ϕ và ψ là các ánh xạ ngược của nhau. Từ đó ta được điều phải chứng minh. Hệ quả 1.6. Cho E 1 , . . . , E r , E r+1 , . . . , E s là các A-module. Khi đó tồn tại duy nhất đẳng cấu (E 1 ⊗ · · · ⊗ E r ) ⊗ (E r+1 ⊗ · · · ⊗ E s ) → E 1 ⊗ · · · ⊗ E s sao cho (x 1 ⊗ · · · ⊗ x r ) ⊗ (x r+1 ⊗ · · · ⊗ x s ) → x 1 ⊗ · · · ⊗ x s với x i ∈ E i ; i = 1, . . . , s. Chứng minh. Suy ra ngay từ các Mệnh đề 1.3 và 1.5. [...]... tensor của các đại số 26 Vậy A ⊗ K = KA là một A -đại số Chú ý rằng ánh xạ x → 1 ⊗ x là một đồng cấu vành từ K tới A ⊗ K và ta được một biểu đồ giao hoán của các đồng cấu vành A ⊗A K = KA K ¨¨ ¨ ‰ r r 1.6 B ¨ ¨ rr r ‰ r r rr r A ¨ ¨ ¨¨ r A B ¨ ¨ Tích tensor của các đại số Cho M, N là các A -đại số Ta sẽ biến M ⊗A N thành một A -đại số Lấy (a, b) ∈ M × N , khi đó có một ánh xạ song tuyến tính Ma,b : M... trên vành giao hoán A, đại số tensor của M , ký hiệu T (M ) hoặc TA (M ), là đại số T n (M ) với phép n≥0 28 2.1 Đại số tensor của một module 29 nhân được định nghĩa ở (2.1) Phép nhúng chính tắc φ : T 1 (M ) → T (M ) được gọi là phép nhúng chính tắc của M vào T (M ) Mệnh đề 2.2 Giả sử E là một A -đại số và f : M → E là một ánh xạ A-tuyến tính Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu A -đại số g : T (M ) → E sao... tồn tại duy nhất đồng cấu A -đại số T (u) : T (M ) → T (N ) sao cho biểu đồ M u E φM φN c c T (M ) N E T (u) T (N ) giao hoán Hơn nữa, T (u) là một đồng cấu đại số phân bậc Chứng minh Sự tồn tại và duy nhất của T (u) được suy ra từ việc áp dụng Mệnh đề 2.2 cho đại số T (N ) và ánh xạ tuyến tính f = φN u : M → T (N ) Vì f (M ) ⊂ T 1 (N ) = N 2.2 Các tính chất hàm tử của đại số tensor 31 nên theo nhận... xạ B-tuyến tính 1B ⊗ φM : B ⊗A M → B ⊗A TA (M ) là một đẳng cấu của các B -đại số phân bậc Chứng minh Xét hai đồng cấu A -đại số: j : B = T 0 (B ⊗A M ) → T (B ⊗A M ) là phép nhúng chính tắc và h = T (i) : T (M ) → T (B ⊗A M ) mở rộng từ ánh xạ A-tuyến tính i : M → B ⊗A M Vì T 0 (B ⊗A M ) được chứa trong tâm của T (B ⊗A M ) nên có một đồng cấu A -đại số ψ : B ⊗A T (M ) → T (B ⊗A M ) 2.4 Đại số tensor của... tensor của các đại số 27 (i = 1, 2) là các đồng cấu A -đại số Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu A -đại số g : M1 ⊗ M2 −→ F thỏa mãn gi = g ◦ fi , trong đó f1 : M1 −→ M1 ⊗ M2 , x1 → x1 ⊗ 1; f2 : M2 −→ M1 ⊗ M2 , x2 → 1 ⊗ x2 Chứng minh Ta luôn có một ánh xạ song tuyến tính θ : M1 × M2 −→ M1 ⊗ M2 Dễ thấy ánh xạ ϕ : M1 × M2 −→ F (x1 , x2 ) −→ g1 (x1 )g2 (x2 ) là song tuyến tính Khi đó theo tính chất phổ... cấu chính tắc sau là đơn ánh: T (N + P ) → T (M ); T (P ) → T (M ); T (N ) → T (M ) T (N ∩ P ) → T (M ) Các đại số T (N ), T (P ), T (N ∩ P ) do đó là các đại số con của T (N + P ) và chúng đều là các đại số con của T (M ) Đặt Q = N ∩ P , khi đó nếu coi T (Q), T (N ⊕ Q) và T (P ⊕ Q) là các đại số con của T (N ⊕ P ⊕ Q) thì điều phải chứng minh tương đương với T (N ⊕ Q) ∩ T (P ⊕ Q) = T (Q) (∗) Xét biểu... ) và v ∈ T q (M ) 2.2 Các tính chất hàm tử của đại số tensor 30 Nhận xét Cho E là một A -đại số phân bậc với các thành phần thuần nhất là (En ) và giả sử rằng f (M ) ⊂ E1 Khi đó từ g(x1 ⊗ x2 ⊗ ⊗ xn ) = f (x1 )f (x2 ) f (xn ) suy ra g(T n (M )) ⊂ En với mọi n ≥ 0 và do đó g là một đồng cấu đại số phân bậc Nhận xét Từ định nghĩa của tích tensor ta thấy rằng với mọi số nguyên n ≥ 1, module T n... (xn ) là một ánh xạ đa tuyến tính, do đó có ánh xạ tuyến tính cảm sinh gn : T n (M ) → E x1 ⊗ ⊗ xn → f (x1 ) f (xn ) Ta cũng có ánh xạ g0 : T 0 (M ) → E a → ae Gọi g : T (M ) → E là ánh xạ A-tuyến tính duy nhất mà hạn chế của nó lên T n (M ) bằng gn (n ≥ 0) Dễ thấy g ◦ φ = g1 = f Ta còn phải chứng minh g là một đồng cấu A -đại số Bởi sự xây dựng, g(1) = e và vì g là tuyến tính nên chỉ cần chứng... một ánh xạ tuyến tính ma,b : M ⊗ N −→ M ⊗ N a ⊗ b −→ aa ⊗ bb Nhưng ma,b phụ thuộc song tuyến tính vào a và b, nên từ hệ thức (1.1), ta được một ánh xạ song tuyến tính duy nhất M ⊗ N × M ⊗ N −→ M ⊗ N (a ⊗ b, a ⊗ b ) −→ aa ⊗ bb Dễ thấy ánh xạ này là kết hợp và có một đồng cấu vành tự nhiên A −→ M ⊗ N c −→ 1A ⊗ c = c ⊗ 1A Do đó M ⊗ N là một A -đại số Mệnh đề 1.21 Cho F là một A -đại số giao hoán, M1... tensor thứ n của M ) có tính chất phổ dụng sau: Với mỗi A-module F và một ánh xạ n-tuyến tính f : M × × M −→ F , tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính g : T n (M ) −→ F làm cho biểu đồ sau giao hoán T n (M ) ¨ B θ ¨ ¨¨ M × × M g rr r f rr j r 2.2 c F Các tính chất hàm tử của đại số tensor Mệnh đề 2.3 Cho A là một vành giao hoán, M và N là các A-module và u:M →N là một ánh xạ A-tuyến tính Khi đó tồn tại . tensor, trình bày những vấn đề chung nhất về tích tensor, một số đẳng cấu hàm tử của tích tensor, tích tensor và dãy khớp, mở rộng vô hướng và tích tensor. theo. Chương 2. Đại số tensor, bao gồm các vấn đề: đại số tensor của một module, các tính chất hàm tử của đại số tensor, mở rộng vô hướng, đại số tensor của tổng trực