đại số đa tuyến tính – phùng hồ hải

Từ định nghĩa một không gian véc tơ ta suy ra ngay các tính chất sau: 0 · v = 0,−1 · v = −v Chúng ta cũng sẽ quy ước như mọi khi là phép nhân với vôhướng sẽ được thực hiện trước phép cộn

ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH

PHÙNG HỒ HẢI

Viện Toán học Bản nháp 0.01 Ngày 30.11.2009

Chương I Không gian véc tơ 5

1.4 Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 16

2.4 Tích ten xơ của ánh xạ, của tổng trực tiếp, tính khớp 392.5 Tích ten xơ của các không gian con và không gian thương 41

4.1 Ánh xạ đa tuyến tính đối xứng và lũy thừa đối xứng 654.2 Lũy thừa đối xứng của ánh xạ, tổng trực tiếp 69

3

4.5 Ten xơ đối xứng, trường hợp đặc số dương 74

5.1 Ánh xạ tuyến tính thay phiên và lũy thừa ngoài 79

Không gian véc tơ

1.1 Trường

ĐỊNH NGHĨA1.1.1 Một trường là một tập hợpk cùng hai phéptoán “cộng”, ký hiệu +, và “nhân”, ký hiệu · thỏa mãn các điềukiện sau:

(i) (k, +) là một nhóm giao hoán với phần tử đơn vị ký hiệu

là 0, gọi là phần tử không củak,

(ii) (k×, ·)là một nhóm giao hoán (ở đâyk× :=k \ {0}), vớiphần tử đơn vị ký hiệu là 1, gọi là phần tử đơn vị củak,(iii) phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng:

(1.1.1) (a + b) · c = (a · b) + (a · c)

CHÚ Ý 1.1.2 (i) Chúng ta sẽ quy ước như thông lệ làphép nhân được thực hiện trước phép cộng và thôngthường sẽ bỏ dấu · khi ký hiệu phép nhân

(ii) Từ định nghĩa, một trường có ít nhất hai phần tử 0 và 1

VÍ DỤ 1.1.3 (i) Các tập hợp Q, R, C với các phép toánthông thường lập thành trường

(ii) Trường có đúng hai phần tử 0 và 1 thường được ký hiệu

là F2 Cấu trúc trường trên F2 có thể được mô tả thôngqua các phép cộng và nhân modulo 2

(iii) Tương tự, với mỗi số nguyên tố p, tập các lớp đồng dưtheo modulo p với các phép toán cộng và nhân tạo thành

5

một trường, thường được ký hiệu là Fp Trường Fp nhưvậy có p phần tử.

(iv) Cố định một trường k, ta có thể xây dựng một trườngmới chứa k như sau Xét tập hợp các phân thức hữu tỷtheo một biến t:

như một trường con1

(v) Trường k(t) thường được gọi là trường hàm trên k theobiến t Nó còn được gọi là trường các thương của vành đathứck[t] Ta cũng có thể xây dựng các trường khác chứa

k bằng cách xét các trường thặng dư của k[t] modulo một

đa thức bất khả quy nào đó Trong vành các đa thức, đathức bất khả quy đóng vai trò của một số nguyên tố, tậphợp các lớp đồng dư modulo một đa thức bất khả quyvới phép cộng và nhân thông thường cũng lập thành mộttrường

ĐỊNH NGHĨA1.1.4 Đặc số của một trường là số nguyên dương

(ở đây 1 ký hiệu phần tử đơn vị củak) Trong trường hợp không

tồn tại số p như vậy ta nói trường có đặc số 0.

• Dễ dàng kiểm tra rằng nếu p > 0 là đặc số của k thì pphải là số nguyên tố Thật vậy, nếu p không là nguyên tố,

p = p1p2, pi > 1, thì

(p1· 1)(p2· 1) = p · 1 = 0dẫn tới p1 · 1 hoặc p2 · 1 phải bằng 0, mâu thuẫn với giảthiết nhỏ nhất của p

• Nếu trườngk có đặc số 0 thì ta có thể coi Q như là mộttrường con của nó Thật vậy, với mỗi số nguyên b 6= 0,phần tử b · 1 là khác 0 trong k, do đó khả nghịch Phần

tử nghịch đảo của nó được ký hiệu là 1/b Như vậy ta cóthể ứng mỗi phân số a/b với phần tử a · 1/b củak

• Ngược lại, nếuk có đặc số p > 0, thì có thể coi Fp như làmột trường con củak

1.2 Không gian véc tơ

ĐỊNH NGHĨA1.2.1 (Không gian véc tơ) Cố định một trườngk.Một không gian véc tơ trênk là một tập hợp V cùng với các phép

toán cộng véc tơ, ký hiệu là +, và phép nhân với vô hướng, ký hiệu

là ·:

k × V −→ V ; (λ, v) 7−→ λ · vthỏa mãn các điều kiện sau:

(i) (V, +) là một nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là 0,

(ii) phép nhân với vô hướng có tính đơn vị:

1 · v = v, với mọi v ∈ V(iii) phép nhân với vô hướng tương thích với phép nhân trongk:

(λµ) · v = λ · (µ · v)

(iv) phép nhân với vô hướng có tính phân phối đối với phépcộng véc tơ:

λ · (a + b) = (λ · a) + (λ · b)

NHẬN XÉT 1.2.2 Từ định nghĩa một không gian véc tơ ta suy

ra ngay các tính chất sau:

0 · v = 0,(−1) · v = −v

Chúng ta cũng sẽ quy ước như mọi khi là phép nhân với vôhướng sẽ được thực hiện trước phép cộng véc tơ cũng như sẽ bỏdấu · khi ký hiệu phép nhân với vô hướng

VÍ DỤ 1.2.3 (i) Trên mặt phẳng cố định một điểm O Tậpcác véc tơ với gốc là O và ngọn là một điểm bất kỳ trongmặt phẳng lập thành một không gian véc tơ trên R vớiphép cộng véc tơ thông thường

(ii) Ví dụ trên có thể mở rộng ra không gian Một không gianvéc tơ trên R thường được gọi là một không gian véc tơ

thực.

(iii) Tập hợp các đa thức với hệ số trong một trườngk là mộtkhông gian véc tơ trênk, phép cộng véc tơ ở đây là phépcộng đa thức, phép nhân với vô hướng là phép nhân một

đa thức với một phần tử của k Chú ý trong trường hợpnày ta có thể đồng nhất trường k một cách chính tắc với

tập các đa thức bậc 0 Đối với một không gian bất kỳkhông có phép đồng nhất (một cách chính tắc) như vậy

ĐỊNH NGHĨA 1.2.4 (Không gian con) Tập con U trong khônggian véc tơ V được gọi là không gian con nếu (U, +) là nhóm concủa (V, +) và U đóng với phép nhân với vô hướng

ĐỊNH NGHĨA 1.2.5 (Ánh xạ tuyến tính) Cho hai không gianvéc tơ V và W trên trườngk Một ánh xạ f : V −→ W được gọi làánh xạ tuyến tính nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

i) f (u + v) = f (u) + f (v) với mọi u, v ∈ V ,

ii) f (λu) = λf (u) với mọi λ ∈k, u ∈ V

Hạch của ánh xạ tuyến tính f được định nghĩa là tập

Ker(f ) := {v ∈ V |f (v) = 0}

Đây là một không gian con của V

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f

Im(f ) := {f (v)|v ∈ V }cũng là không gian con của W

ĐỊNH NGHĨA1.2.6 Tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trongk làmột tổng dạng

λ1v1+ λ2v2+ λnvnvới λi ∈k và vi ∈ V Bộ các véc tơ (vi)được gọi là phụ thuộc tuyến

tính nếu tồn tại một bộ các phần tử λi ∈k không đồng thời bằng

0 sao cho

λ1v1+ λ2v2+ λnvn = 0Trong trường hợp ngược lại bộ (vi)được gọi là độc lập tuyến tính.

Một tập con S trong V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tậpcon hữu hạn của nó là độc lập tuyến tính

Nhận xét rằng một tập độc lập tuyến tính không thể chứa véc

tơ 0 Ngược lại một tập bao gồm chỉ một véc tơ khác 0 luôn là độclập tuyến tính

ĐỊNH NGHĨA 1.2.7 Tập sinh của một không gian véc tơ V là

một tập con S của V sao cho mọi phần tử của V biểu diễn được

dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S.

Cơ sở của V là một tập con B sao cho mọi phần tử của V biểu

diễn được một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các

phần tử trong B

NHẬN XÉT1.2.8 i) Một cách tổng quát hơn, với mỗi tậpcon S ⊂ V , tập các tổ hợp tuyến tính của các véc tơ từ

S lập thành một không gian con, gọi là không gian con

căng bởi S, ký hiệu hSi S là tập sinh của V nếu hSi = V

ii) Tập sinh trong một không gian véc tơ luôn tồn tại, chẳnghạn ta có thể lấy S = V Tuy nhiên sự tồn tại của một cơ

sở là không hiển nhiên

ĐỊNH LÝ 1.2.9 Cho V là một không gian véc tơ trên trường k.

Các điều kiện sau đây là tương đương đối với một tập con B ⊂ V :

(i) B là một cơ sở của V ;

(ii) B là tập sinh tối thiểu của V (nghĩa là mọi tập con thực

sự của B không là tập sinh của V );

(iii) B là tập sinh của V và B là độc lập tuyến tính.

HỆ QUẢ 1.2.10 Cơ sở B của không gian véc tơ V thỏa mãn

tính chất phổ dụng sau: với mọi không gian véc tơ W , mọi ánh xạ

f : B −→ W có thể mở rộng một cách duy nhất thành ánh xạ tuyến tính ϕ : V −→ W

B

nhúng

∀f A A A

ĐỊNH LÝ1.2.11 Trong một không gian véc tơ bất kỳ luôn tồn tại

ít nhất một cơ sở Hai cơ sở bất kỳ có cùng lực lượng Hơn thế nữa, nếu cho một tập các véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian thì

ta luôn có thể bổ sung vào đó các véc tơ để thu được một cơ sở của không gian.

ĐỊNH NGHĨA1.2.12 Lực lượng của cơ sở trong một không gian

véc tơ được gọi là số chiều (hoặc nói một cách rút gọn là chiều)

của không gian véc tơ đó

CHÚ Ý 1.2.13 Trong giáo trình này, nếu không nói ngược lại,một không gian véc tơ sẽ luôn được giả thiết là hữu hạn chiều

Xét một không gian véc tơ V và giả sử (x1, x2, , xn) là một

cơ sở của V Để thuận tiện, ta sẽ quy ước ký hiệu một cơ sở nhưvậy là (x) Với mỗi v ∈ V ta có khai triển

k]của các tọa độ của x0

k theo cơ sở (x) Nói cách khác ta có

Ma trận P được gọi là ma trận chuyển cơ sở (x) sang (x0) Ta có

i) Chỉ số của một véc tơ cơ sở được đánh ở dưới,

ii) Chỉ số của tọa độ được đánh ở trên;

iii) Ngoài ra chúng ta sẽ quy ước mô tả rút gọn một tổngtheo chỉ số như sau2: tổng sẽ được lấy theo một chỉ sốnào đó nếu chỉ số đó xuất hiện 2 lần, một lần ở vị trí trên

Ví dụ công thức v = (x)[v] có thể viết

v = vixinhư vậy ở vế phải tổng được lấy theo i

VÍ DỤ 1.2.15 i) Cho A = [aji]là ma trận kích thước m ×

n (nghĩa là có m hàng và n cột) và B = [bl

k] là ma trậnkích thước n × p Khi đó ta có tích của chúng là ma trận

BCvà CB tồn tại và là các ma trận vuông cấp tương ứng

là m × m và n × n Ta có

trace(BC) = bjkckj = ckjbjk =trace(CB)iii) Tương tự ta dễ dàng kiểm tra rằng ma trận biểu diễn củamột ánh xạ hợp thành là tích của ma trân biểu diễn củatừng ánh xạ

1.3 Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính

Trong mục này ta sẽ xét các không gian véc tơ hữu hạn chiều.Giả sử V và W là hai không gian véc tơ với chiều tương ứng là n

và m Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là

L(V, W ) Ta có thể định nghĩa phép cộng các anh xạ tuyến tínhcũng như phép nhân với vô hướng:

(λf )(v) := λ(f (v))

Từ đó L(V, W ) có cấu trúc một không gian véc tơ

Nếu cố định hai cơ sở (x) = (xi)và (y) = (yj)tương ứng trong

V và W thì ta có thể mô tả f thông qua một ma trận như sau Vì

f là một ánh xạ tuyến tính nên nó được xác định một cách duynhất bởi ảnh của các véc tơ xi Thật vậy, với mỗi v ∈ V ta viết

MỆNH ĐỀ 1.3.2 Chiều của không gian L(V, W ) là tích các số

j biến xi vào yj còn các phần tử khác của

cơ sở (x) vào 0 Từ các tính chất trên của một ánh xạ tuyến tính

ta thấy f là tổ hợp tuyến tính của các ánh xạ ei

j với hệ số là cácphần tử trong ma trận biểu diễn của f theo các cơ sở (x) và (y):

f = ajieij

Trong trường hợp V = W , ánh xạ tuyến tính f : V −→ V đượcgọi là một tự đồng cấu tuyến tính hoặc một phép biến đổi tuyếntính Trong trường hợp này thay vì chọn hai cơ sở như ở trên tachỉ chọn 1 cơ sở Nói cách khác, ma trận biểu diễn của ánh xạ ftheo cơ sở (x) của V được cho bởi điều kiện:

f (xi) = ajixj

Hợp thành của hai tự đồng cấu của V lại là một tự đồng cấu của

f Dễ thấy phép hợp thành thỏa mãn tính phân phối đối với phépcộng ánh xạ và phép nhân với vô hướng:

(f + g) ◦ h = (f ◦ h)+)g ◦ h)(λf ) ◦ g = λ(f ◦ g)

Từ đó tập L(V, V ), thường được ký hiệu tắt là E(V ), là một vànhtheo hai phép toán cộng và hợp thành ánh xạ

Quay lại trường hợp một ánh xạ tuyến tính f : V −→ W với

ma trận A theo các cơ sở (x) và (y) Ta quan tâm tới mối liên hệgiữa A và ma trận A0 cũng của f nhưng theo các cơ sở khác, (x0)

và (y0)tương ứng của V và W

Giả thiết P ma trận chuyển cơ sở từ (x) sang (x0) và Q là matrận chuyển cơ sở từ (y) sang (y0)ký hiệu là Q Khi đó ta có côngthức liên hệ sau giữa A và A0:

A0 = Q−1AP

Trong trường hợp f : V −→ V là một tự đồng cấu tuyến tính

và P là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (x) sang cơ sở (x0) Khi đó

ma trận biểu diễn A và A0 của f tương theo các cơ sở (x) và (x0)tương ứng được liên hệ bởi công thức

A0 = P−1AP

1.4 Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ

Giả sử U1, U2 là các không gian con của V khi đó tổng U =

U1 + U2 tập hợp các véc tơ có dạng u1 + u2 với ui ∈ Ui Dễ thấyđây lại là một không gian con của V

ĐỊNH NGHĨA 1.4.1 Giả thiết U1,2 là các không gian con củamột không gian véc tơ V Tổng U = U1+ U2 được gọi là tổng trựctiếp nếu mọi véc tơ trong U được biểu diễn một cách duy nhất ởdạng u1+ u2 với ui ∈ Ui Ta nói U là tổng trực tiếp (trong) của U1

và U2, ký hiệu U = U1⊕ U2

MỆNH ĐỀ 1.4.2 Điều kiện cần và đủ để V là tổng trực tiếp

(trong) của hai không gian con U1và U2là: V = U1+U2và U1∩U2 =

0.

CHỨNG MINH Nếu V là tổng trực tiếp của U1 và U2, thì vớimọi v ∈ U1 ∩ U2 từ hệ thức v − v = 0 ta có ngay v = 0 Ngượclại nếu V là tổng của U1 và U2 đồng thời U1 ∩ U2 = 0, thì từmột hệ thức dạng u1 + u2 = v1 + v2 với ui, vi ∈ Ui, ta suy ra

u1− v1 = v2 − u2 ∈ U1 ∩ U2 = 0 Nghĩa là u1 = v1, u2 = v2 

ĐỊNH NGHĨA1.4.3 Tổng trực tiếp (ngoài) của hai không gianvéc tơ V1 và V2 (không nhất thiết hữu hạn chiều) là một khônggian véc tơ V cùng các ánh xạ tuyến tính

j1,2 : V1,2 −→ V, p1.2 : V −→ V1,2thoả mãn các hệ thức sau:

iii) Khi nói tới tổng trực tiếp ta không chỉ quan tâm tới mìnhkhông gian V mà cả các ánh xạ pi, ji

iv) Ví dụ: cho 0 −→ U −→ Vf −→ W −→ 0 là một dãy khớpgngắn, khi đó mỗi phép chẻ h : W −→ V xác định mộtcấu trúc tổng trực tiếp V = U ⊕ W mà trong đó các ánh

xạ nhúng là f và h còn g là một trong hai phép chiếu vàphép chiếu thứ hai là l = f−1(idV − hg)

VÍ DỤ 1.4.5 (Ánh xạ lũy đẳng)

Một ánh xạ tuyến tính p : V −→ V được gọi là lũy đẳngnếu p2 = p Ký hiệu U = Imp Khi đó ánh xạ hạn chế của plên U là một ánh xạ đồng nhất Ta nói p là một phép chiếu

từ V lên không gian con U Mặt khác ta cũng có ánh xạ

id − p là lũy đẳng: (id − p)2 =id − 2p + p2 =id − p Từ đó

id − p là một phép chiếu lên không gian W = Im(id − p)

Dễ dàng kiểm tra rằng V = U ⊕ W Thực ra đây là mộtcách mô tả khác của tổng trực tiếp, tuy nhiên nó có rấtnhiều ứng dụng

Giả sử U ⊂ V là các k-không gian véc tơ Với mỗi v ∈ V xéttập con có dạng

v + U := {v + u|u ∈ U }của V Một tập như vậy được gọi là lớp ghép của v theo U Tưởngtượng hình học, đây là không gian con U được tịnh tiến đi bởi véc

tơ v Dễ dàng kiểm tra rằng các lớp ghép của các véc tơ v và v0

theo U hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau Tưởng tượng hìnhhọc ta thấy chúng song song với nhau Tập các lớp ghép của các

phần tử của V theo U được gọi là tập thương của V theo U

Điều kiện để v + U và v0+ U trùng nhau là v − v0 ∈ U

Trên tập thương V /U có một cấu trúc không gian véc tơ đượcđịnh nghĩa như sau

0+ U ) = (v + v0) + Uλ(v + U ) = (λv) + U

Tập V /U với cấu trúc này được gọi là không gian thương của V theo U Ánh xạ tự nhiên V −→ V /U , v 7−→ v + U , gọi là ánh xạ

thương, là một ánh xạ tuyến tính Nhận xét rằng đây là một toàn

ánh

Không gian thương V /U có tính chất quan trọng sau Giả thiết

f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính biến U vào 0 Khi đó f cảmsinh một ánh xạ tuyến tính ¯f : V /U −→ W, xác định bởi

được gọi là một dãy khớp ngắn Dãy khớp ngắn như vậy được gọi

là chẻ ra nếu tồn tại ánh xạ h : W −→ V sao cho g ◦ h = idW

MỆNH ĐỀ1.4.6 Mọi dãy khớp ngắn các không gian véc tơ đều

chẻ ra Ánh xạ chẻ không được xác định duy nhất Mỗi ánh xạ chẻ

hxác định một đẳng cấu giữa V và U ⊕ W

CHỨNG MINH Đây là một hệ quả hiển nhiên của sự tồn tại cơ

sở trong một không gian véc tơ Sự tồn tại ánh xạ chẻ h tươngđương với sự tồn tại không gian con W0 trong V sao cho W0 ⊕

1.5 Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu

Không gian các ánh xạ tuyến tính L(V,k) được gọi là khônggian véc tơ đối ngẫu với V Một phần tử của L(V,k) được gọi là

một dạng tuyến tính hoặc một phiếm hàm (tuyến tính) trên V Để

thuận tiện ta sẽ ký hiệu

V∗ := L(V,k)Giả sử f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính Khi đó f xácđịnh một ánh xạ, ký hiệu là f∗từ W∗ tới V∗, như sau Với ϕ ∈ W∗,định nghĩa

f∗(ϕ) = ϕ ◦ fTrên ngôn ngữ sơ đồ ta có sơ đồ giao hoán

Nếu g : U −→ V là một ánh xạ tuyến tính khác thì ta có quytắc hợp thành

g∗◦ f∗ = (f ◦ g)∗Trươc tiên ta sẽ giả thiết V có chiều hữu hạn Cố định một cơ

sở (x) = (x1, x2, , xn) trong V Khi đó theo tính chất của cơ sở(xem 1.2.10) tồn tại các ánh xạ ξi : V −→k thỏa mãn

ξi(xj) = δji

Từ đó ξi(v) = vi Vậy ξi là phiếm hàm tuyến tính xác định tọa độthứ i của một véc tơ theo cơ sở (x) đã cho Với ϕ : V −→k ta có

ϕ(v) = viϕ(xi) = ϕ(xi)ξi(v)

nghĩa là

ϕ = ϕ(xi)ξiVậy (ξ) = (ξi) là một cơ sở của V Cơ sở này được gọi là cơ sở

đối ngẫu với cơ sở (x) Chú ý rằng cơ sở đối ngẫu được đánh số

bởi các chỉ số trên, điều này cũng tương thích với việc ξi là phiếmhàm xác định tọa độ thứ i của một véc tơ

V∗ Nhận xét rằng mỗi phần tử của V cũng xác định một phiếmhàm tuyến tính trên V∗ bởi công thức

v 7−→ ηv : ηv(ϕ) := ϕ(v)Như vậy ta có một ánh xạ tự nhiên từ V vào V∗∗

MỆNH ĐỀ 1.5.1 Ánh xạ tự nhiên cho ở trên là một đẳng cấu

tuyến tính của V vào không gian đỗi ngẫu hai lần V∗∗ của nó Thông thường ta sẽ dùng đẳng cấu này để đồng nhất V∗∗ với V

CHỨNG MINH Ta chứng minh ánh xạ là đơn ánh Thật vậy, nếu

ηv = 0nghĩa là ϕ(v) = 0 với mọi ϕ ∈ V Thì v = 0 Mặt khác theotrên ta thấy V∗và V có chiều bằng nhau, do đó V∗∗cũng có chiềubằng chiều của V Vậy một ánh xạ đơn ánh giữa chúng phải là

iii) Ánh xạ đối ngẫu f∗ của một ánh xạ tuyến tính f : V −→

W được định nghĩa tương tự

• Tuy nhiên các phiếm hàm ξi, i ∈ I không lập thành một

cơ sở của V Ví dụ phiếm hàm ϕ ánh xạ tất cả các xi vàophần tử 1 trongk không là tổ hợp tuyến tính của ξi Do

đó không gian V được đồng nhất một cách chính tắc với

một không gian con thực sự của V∗∗

Dưới đây ta sẽ xét một số tính chất của không gian đỗi ngẫuđúng cả đối với không gian vô hạn chiều

Giả thiết V = V1⊕ V2 Khi đó ta có đẳng cấu chính tắc

V∗ ∼= V∗

1 ⊕ V2∗

Thật vậy, giả thiết ji, pi, i = 1, 2 là các ánh xạ cấu trúc xác địnhtổng trực tiếp V1⊕ V2 Khi đó đẳng cấu trên được cho bởi các ánh

Giả thiết U là không gian con của V và W là không gianthương Khi đó không gian đối ngẫu W∗có thể được đồng nhất vớikhông gian con U⊥của V∗bao gồm các phiếm hàm triệt tiêu trên

U Thật vậy mỗi phiếm hàm trên V , triệt tiêu trên U sẽ xác địnhmột phiếm hàm trên không gian thương Ngược lại mọi phiếmhàm trên V /U khi hợp thành với ánh xạ thương sẽ cho ta mộtphiếm hàm trên V

Không gian U⊥ còn được gọi là phần bù trực giao của U trong

V∗ Ngược lại U∗ có thể được đồng nhất với không gian thươngcủa V∗ bao gồm các lớp tương đương của các phiếm hàm nhậncùng giá trị trên V Ta cũng sẽ dùng ký hiệu (V /U )⊥ cho U∗ Vậytheo trên ta có đẳng thức

V∗/U⊥ = (V /U )⊥

Ta có các tính chất sau của phần bù trực giao

MỆNH ĐỀ1.5.3 i) Giả thiết U1, U2 là các không gian con của V Khi đó

(U1+ U2)⊥= U1⊥∩ U2⊥, (U1∩ U2)⊥ = U1⊥+ U2⊥

ii) Giả thiết f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính Khi đó

(Imf )⊥=Kerf∗, (Kerf )⊥ =Imf∗

CHỨNG MINH Các tính chất trong (i) được suy ra từ định nghĩa.Việc chứng minh dành cho bạn đọc

Ta chứng minh (ii) Từ định nghĩa ϕ ∈ (Imf )⊥nghĩa là ϕ ◦ f =

0 Nhưng điều đó cũng có nghĩa ϕ ∈ Kerf∗

Đẳng thức thứ hai chứng minh phức tạp hơn một chút Giảthiết ϕ là một phiếm hàm tuyến tính trên V mà nhận giá trị 0 khihạn chế lên U := Kerf Thế thì theo 1.4.3 ta có các ánh xạ tuyếntính

ϕ : V /U −→k và f : V /U −→ W¯với ¯f là đơn ánh

$$I I I I I I

ϕ

6 66 66 66 66 66 66 66

ϕ

kTheo trên ánh xạ ¯f∗ là toàn ánh và do đó đối với phiếm hàm

ϕ ∈ (V /U )∗ tồn tại phiếm hàm ψ ∈ W∗ để ¯f∗(ψ) = ϕ Nghĩa là

ϕ = ψ ◦ ¯f Từ đó ϕ = ψ ◦ f , hay ϕ = f∗ψ, nghĩa là ϕ ∈ Imf∗ Điều

1.6 Bài toán phổ dụng

Khái niệm bài toán phổ dụng có thể được giải thích một cách

đơn giản thông qua các ví dụ

VÍ DỤ 1.6.1 (Tích trực tiếp của tập hợp) Giả thiết S1 và S2 làhai tập hợp Tích trực tiếp hoặc tích Đề Các của hai tập hợp này

sau: với mọi cặp ánh xạ fi : T −→ Si, tồn tại duy nhất ánh xạ

f : S −→ S1× S2 thỏa mãn

fi = pri◦ fThật vậy, f được xác định bởi: f (t) = (f (t1), f (t2)) Mô tả bằng sơđồ:

VÍ DỤ 1.6.2 (Đối tích của hai tập hợp) Coi hai tập hợp S1, S2

là hoàn toàn không có liên hệ gì với nhau và xét hợp của chúng

ta thu được hợp rời S1` S2 Các tập hợp S1 và S2 có thể coi mộtcách tự nhiên là tập con của S1` S2 ta ký hiệu các ánh xạ nhúng

là ji : Si −→ S1` S2 Tương tự như trong ví dụ trên, S1` S2

cùng các ánh xạ nhúng thỏa mãn tính chất sau: với mọi cặp ánh

xạ gi : Si −→ T , tồn tại duy nhất ánh xạ S1` S2 −→ T thỏa mãn

So sánh hai sơ đồ ở (1.6.1) và (1.6.2) ta thấy tất cả các mũi tên

bị đảo chiều Ta nói khái niệm hợp rời là đối ngẫu với khái niệm tích trực tiếp Vì thế hợp rời của hai tập hợp còn được gọi là đối

tích trực tiếp của chúng.

VÍ DỤ1.6.3 (Tập 1 phần tử) Ta tiếp tục với một ví dụ đơn giảnnhưng quan trọng Tập có duy nhất một phần từ thường được ký

hiệu {∗} Ta có nhận xét sau: từ một tập hợp bất kỳ tồn tại duy

nhất một ánh xạ tới {∗} Tính phổ dụng của {∗} được mô tả như

sau:

Ta nói {∗} là vật cuối trong phạm trù các tập hợp cùng các ánh xạ

giữa chúng

VÍ DỤ1.6.4 (Tập rỗng) Đối ngẫu với khái niệm vật cuối là khái

niệm vật đầu Tính phổ dụng của vật đầu, được ký hiệu chẳng hạn

là I, được mô tả như sau;

Dễ dàng kiểm tra rằng tập rỗng ∅ là tập duy nhất thỏa mãn tínhphổ dụng ở trên3.

VÍ DỤ1.6.5 (Không gian véc tơ 0) Ta tìm không gian véc tơ cótính chất tương tự như tập rỗng Tất nhiên ở đây phạm vi nghiêncứu của chúng ta là các không gian véc tơ cùng các ánh xạ tuyếntính giữa chúng, thay vì các tập hợp và ánh xạ Theo trên, không

gian véc tơ này phải thỏa mãn bài toán phổ dụng trong phạm trù

các không gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính:

Dễ thấy không gian véc tơ 0 là không gian duy nhất thỏa mãn

bài toán phổ dụng này Vậy không gian 0 là vật đầu trong phạm

trù các không gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính Mặt khác ta cũngnhận xét rằng không gian 0 đồng thời là vật cuối vì nó thỏa mãnbài toán phổ dụng

Nhận xét rằng (V1 ⊕ V2, j1, j2) cũng đồng thời thỏa mãn bài toánphổ dụng ở (1.6.2)

VÍ DỤ 1.6.7 (Không gian sinh bởi một tập) Ta kết thúc mụcnày bằng ví dụ của không gian véc tơ sinh bởi một tập Cho S

là một tập hợp, xét bài toán phổ dụng sau: tìm không gian véc tơ

F (S) cùng một ánh xạ i : S −→ F (S) sao cho với mọi không gian véc tơ V và mọi ánh xạ j : S −→ V , tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : F (S) −→ V thỏa mãn j = f ◦ i Mô tả bằng sơ đồ:

∀j DD!!D D

∃!f

VNhận xét rằng trong ví dụ này có sự liên hệ giữa hai đối tượng:tập hợp và không gian véc tơ

Để xây dựng lời giải cho bài toán phổ dụng này có thể làmtheo 2 cách Cách thứ nhất là định nghĩa F (S) như là tập hợpcác ánh xạ f từ S vào k với tính chất chỉ có một số hữu hạn giátrị f (s), s ∈ S là khác 0 Với các phép toán cộng và nhân với vôhướng được định nghĩa một cách hiển nhiên, F (S) có cấu trúcmột không gian véc tơ Ánh xạ i được xác định như sau Với mỗi

s ∈ S, i(s) là ánh xạ S −→k cho bởi

i(s) = 1, i(s0) = 0, ∀s 6= s0 ∈ S

Dễ thấy tập i(S) ⊂ F (S) là một cơ sở của F (S) (đây là chỗ mà tacần điều kiện hữu hạn của các ánh xạ trong F (S)) Tính phổ dụngcủa (Sfin, i)được suy ra từ tính chất của cơ sở (Hệ quả 1.2.10).Một cách xây dựng khác của F (S) là định nghĩa nó như là tậpcác tổ hợp tuyến tính hình thức

X

λsstrong đó λs là các phần tử củak và ở mỗi tổng trên chỉ có một sốhữu hạn λs khác 0 Phép cộng và phép nhân với vô hướng đượcthực hiện theo thành phần, nghĩa là

µ(P λss) =P µλss(P λss) + (P µss) =P(λs+ µs)s

f (v1+ v2, w) = f (v1, w) + f (v2, w)

f (v, w1+ w2) = f (v, w1) + f (v, w2)

f (λv, µw) = λµf (v, w)Nói cách khác f là một ánh xạ theo hai biến mà khi cố định mộttrong hai biến ta được một ánh xạ tuyến tính Trong trường hợp

U =k, f được gọi là một dạng song tuyến tính.

Tập hợp tất cả các ánh xạ song tuyến tính từ V × W vào Uđược ký hiệu là B(V × W, U ) Dễ dàng kiểm tra rằng B(V × W, U )

có cấu trúc một không gian véc tơ

Giả thiết V1 ⊂ V , W1 ⊂ W Khi đó ánh xạ song tuyến tính

f hạn chế lên tập con V1 × W1 cho ta một ánh xạ tuyến tính

f1 : V1× W1 −→ U Mặt khác, ký hiệu NV(f ) là tập hợp các véc

tơ v trong V thoả mãn f (v, w) = 0 với mọi w trong W Dễ dàngkiểm tra rằng NV(f ) là một không gian con trong V Ta cũng có

31

định nghĩa tương tự của NW(f ) Bây giờ giả sử V1 ⊂ NV(f ) Khi

đó f cảm sinh một ánh xạ song tuyến tính ¯f trên V /V1× W

f (¯v, w) = f (v, w)

ở đây ¯v ký hiệu lớp tương đương của v trong không gian thương

V /V1 Ta cũng có thể làm tương tự đối với các không gian con của

NW(f )

VÍ DỤ 2.1.1 i) Tích vô hướng trên một không gian véc

tơ V là ví dụ của một ánh xạ song tuyến tính V × V −→

K Cố định một cơ sở của V thì một tích vô hướng trên

V được cho bởi một hàm bậc hai trên các tọa độ Chẳnghạn nếu (xi)là một cơ sở thì

(v, w) = aijvivjvới aij thỏa mãn aij = aji.ii) Tổng quát, bất kỳ một bộ aij các phần tử từk cũng xácđịnh một dạng song tuyến tính trên V với cơ sở xi đãcho

iii) Ánh xạ giá trị

ev : L(V, W ) × V −→ Wcho bởi (f, v) 7−→ f (v) là một ánh xạ song tuyến tính

Tổng quát, cho các không gian véc tơ V1, V2, , Vp Một ánh

xạ từ V1 × V2× × Vp vào một không gian véc tơ U được gọi là

đa tuyến tính nếu khi cố định p − 1 biết bất kỳ ta thu được một

ánh xạ tuyến tính theo biến còn lại

2.2 Tích ten xơ

ál;kdfj

Nhận xét rằng trên V × W tồn tại một cấu trúc không gianvéc tơ làm cho nó đẳng cấu với V ⊕ W Tuy nhiên một ánh xạ

song tuyến tính từ V × W tới U nói chung không là một ánh xạtuyến tính từ V ⊕ W tới U và ngược lại Nói cách khác, hai tậphợp B(V × W, U ) và L(V ⊕ W, U ) là hoàn toàn khác nhau Tíchten xơ của V và W chính là không gian thay thế cho V ⊕ W đểhai không gian trên đẳng cấu với nhau.

ĐỊNH NGHĨA 2.2.1 Cho V , W là hai không gian véc tơ Tíchten xơ của chúng là một cặp (V ⊗ W, ⊗) trong đó V ⊗ W là mộtkhông gian véc tơ và ⊗ : V × W −→ V ⊗ W là ánh xạ song tuyếntính, thỏa mãn tính chất phổ dụng sau:

(∗) Với mọi ánh xạ song tuyến tính f : V × W −→ U tồn tại

duy nhất một ánh xạ tuyến tính g : V ⊗ W −→ U thỏa

∃!g

{{wwwwwwwww

UNói cách khác, ánh xạ ⊗ xác định một đẳng cấu tự nhiênL(V ⊗ W, U ) ∼= B(V × W, U ), g 7−→ g ◦ ⊗

Trong phần còn lại của mục này chúng ta sẽ chứng minh sựtồn tại và tính duy nhất của tích ten xơ

Tính duy nhất được hiểu như sau Giả sử cặp (T,⊗) cũng thỏaemãn các điều kiện của tích ten xơ của V và W Khi đó tồn tại duynhất một ánh xạ tuyến tính

θ : V ⊗ W −→ T

thỏa mãn sơ đồ giao hoán sau:

⊗

%%L L L L L

Vì thế theo (2.2.1) chúng phải trùng nhau Tương tự ta cũng có

θ0θ là ánh xạ đồng nhất Vậy θ là đẳng cấu Ta nói tích ten xơ của

hai không gian véc tơ nếu tồn tại thì duy nhất sai khác một đẳng cấu duy nhất.

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra xây dựng tường minh của V ⊗ W Vớimỗi tập S, ký hiệu F (S) là không gian véc tơ với cơ sở là S Các

phần tử của không gian này là các tổ hợp tuyến tính hình thứchữu hạn

và đặt

V ⊗ W = F (V × W )/N (V, W )Ánh xạ ⊗ được cho bởi

ĐỊNH LÝ2.2.2 Giả sử (xi)là một cơ sở của V và (yj)là một cơ

sở của W (không nhất thiết hữu hạn chiều) Khi đó (xi⊗ yj)là một

cơ sở của V ⊗ W

CHỨNG MINH Dễ thấy tập {xi⊗yj} là một tập sinh của V ⊗W

Để chứng minh chúng độc lập tuyến tính ta cần bổ đề sau

BỔ ĐỀ2.2.3 Giả sử ai là các véc tơ độc lập tuyến tính trong V Khi đó từ hệ thức

X

i

ai⊗ bi = 0

trong V ⊗ W ta phải có bi = 0 với mọi i.

CHỨNG MINH Giả sử ϕi : V −→ k là ánh xạ tuyến tính thỏamãn ϕi(aj) = δij Khi đó từ sơ đồ giao hoán

ϕ i id W HH$$H H

g

{{vvvvvvvvv

Wvới g là một ánh xạ tuyến tính nào đó, ta có bi = 0 

Quay trở lại chứng minh Định lý Giả sử

aijxi⊗ yj = 0

Khi đó

xi⊗ (aijyj) = 0theo trên ta có với mỗi i, aijyj = 0 Vì (yj)là cơ sở nên aij = 0với

2.3 Tính kết hợp và giao hoán của tích ten xơ

Giả thiết V1, V2, , Vplà các không gian véc tơ Khi đó sử dụngcác ánh xạ đa tuyến tính trên V1× V2× × Vpta cũng định nghĩađược tích ten xơ của các không gian này Nhận xét rằng với bakhông gian V1, V2, V3 ta có ba cách để định nghĩa tích ten xơ củachúng:

Từ tính chất phổ dụng của V1 ⊗ V2 ⊗ V3, ánh xạ a cảm sinh ánh

xạ α1,2,3 thỏa mãn điều kiện ở trên Ánh xạ β1,2,3 cũng được xây

dựng tương tự Sử dụng các ánh xạ chính tắc này ta sẽ đồng nhất

ba tích ten xơ ở trên

Mặt khác, xét ánh xạ s : V1×V2 −→ V2×V1, (v1, v2) 7−→ (v2, v1).Khi đó ta có sơ đồ

tính đối xứng Tuy nhiên, ta sẽ không đồng nhất hai không gian

V1 ⊗ V2 với V2 ⊗ V1 nhờ ánh xạ σ1,2 Lý do rất đơn giản: trongtrường hợp V1 = V2, ánh xạ σ1,2 không là ánh xạ đồng nhất Tuy

nhiên trong mọi trường hợp ta có đẳng thức:

σ1,2◦ σ2,1 =id

Trong trường hợp tổng quát, khi có nhiều không gian véc tơ

V1, V2, , Vp ta sẽ có nhiều phép đẳng cấu giữa các tích ten xơcủa các không gian này khi được thực hiện theo các thứ tự khácnhau Ta sẽ nghiên cứu các đẳng cấu này ở chương sau

2.4 Tích ten xơ của ánh xạ, của tổng trực tiếp, tính khớp

Giả thiết f : V1 −→ V , G : W1 −→ W là các ánh xạ tuyến tính

f ⊗ g : V1 ⊗ W1 −→ V ⊗ W, v ⊗ w 7−→ f (v) ⊗ g(w)Ánh xạ f ⊗ g được gọi là tích ten xơ của hai ánh xạ f và g

Sử dụng tính chất trên của f ⊗ g ta có thể mô tả được ma trậncủa ánh xạ này theo cơ sở (x1

Cách thứ nhất: x1⊗y1, x1⊗y2, , x1⊗ym, , xn⊗ym (nghĩa

là sắp xếp theo thứ tự từ điển) Với cách sắp xếp này ma trận của

Với cách thứ hai: x1⊗ y1, x2⊗ y2, , x1⊗ ym, , xn⊗ ym (nghĩa

là sắp xếp theo thứ tự từ điển ngược), ta có ma trận khối dạng

f ⊗ (g1+ g2) = f ⊗ g1+ f ⊗ g2(f1+ f2) ⊗ g = f1⊗ g + f2⊗ gb) Sơ đồ dưới đây là giao hoán:

ta dễ dàng chứng minh được V ⊗ W là tổng trực tiếp của V1⊗ W

và V2⊗ W với các ánh xạ cấu trúc là j1,2⊗ id và p1,2⊗ id Vậy tích