Bài 5 Khoảng cách A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 115 SGK Toán lớp 11 Hình học Cho điểm O và đường thẳng a Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với[.]
Bài 5: Khoảng cách A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 115 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho điểm O đường thẳng a Chứng minh khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bé so với khoảng cách từ O đến điểm đường thẳng a Lời giải: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a OH (H hình chiếu vng góc O a) Dựa vào quan hệ đường xiên đường vng góc suy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bé so với khoảng cách từ O đến điểm đường thẳng a Hoạt động trang 115 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho điểm O mặt phẳng (α) Chứng minh khoảng cách từ điểm O mặt phẳng (α) bé so với khoảng cách từ O tới điểm mặt phẳng (α) Lời giải: Gọi H hình chiếu O lên mặt phẳng (α) suy OH khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) M điểm thuộc mặt phẳng (α) Tam giác OMH vuông H nên OH < OM Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) bé so với khoảng cách từ O tới điểm mặt phẳng (α) Hoạt động trang 116 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Chứng minh khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) bé so với khoảng cách từ điểm thuộc a tới điểm thuộc mặt phẳng (α) Lời giải: Lấy điểm A a , A’ hình chiếu A mặt phẳng (α) Suy AA’ khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) Mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) bé so với khoảng cách từ A tới điểm mặt phẳng (α) Vậy khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) bé so với khoảng cách từ điểm thuộc a tới điểm thuộc mặt phẳng (α) Hoạt động trang 116 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hai mặt phẳng (α) (β) Chứng minh khoảng cách hai mặt phẳng song song (α) (β) nhỏ khoảng cách từ điểm mặt phẳng tới điểm mặt phẳng Lời giải: Hai mặt phẳng song song (α) (β) nên có đường thằng a ( ) a // (β) Suy khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (β) bé so với khoảng cách từ điểm thuộc a tới điểm thuộc mặt phẳng (β) Vậy khoảng cách hai mặt phẳng song song (α) (β) nhỏ khoảng cách từ điểm mặt phẳng tới điểm mặt phẳng Hoạt động trang 116 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD Chứng minh rằng: MN ⊥ BC MN ⊥ AD (h.3.42) Lời giải: A N B D M C Tứ diện ABCD nên mặt tứ diện tam giác NB = NC trung tuyến hai tam giác BNC cân N NM đường trung tuyến tam giác cân BNC MN ⊥ BC Lại có: Các tam giác ABD, ACD nên CN ⊥ AD BN ⊥ AD Từ AD ⊥ ( BNC ) hay AD ⊥ MN Vậy ta có điều phải chứng minh Hoạt động trang 118 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh khoảng cách hai đường thẳng chéo bé so với khoảng cách hai điểm nằm hai đường thẳng Lời giải: Ta có: Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại Mà khoảng cách từ đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) bé so với khoảng cách từ điểm thuộc a đến (α) nên ta có điều phải chứng minh B Bài tập Bài tập trang 119 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? a) Đường thẳng đường thẳng vng góc chung hai đường thẳng a b vuông góc với a vng góc với b; b) Gọi (P) mặt phẳng song song với hai đường thẳng a, b chéo Khi đường vng góc chung a b ln ln vng góc với (P); c) Gọi Δ đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b giao tuyến hai mặt phẳng (a, ) (b, ) ; d) Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng qua điểm M a đồng thời cắt b N vng góc với b đường vng góc chung a b; e) Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b nằm mặt phẳng chứa đường vng góc với đường Lời giải: a) Sai phát biểu “Đường thẳng Δ đường thẳng vng góc chung hai đường thẳng chéo a b Δ cắt a b, đồng thời ⊥ a ⊥ b ” b) Đúng c) Đúng d) Sai thiếu điều kiện đường thẳng phải vng góc với a e) Sai điều xảy a b vng góc giả thiết chưa cho a vng góc b Bài tập trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy b) Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (BHK) HK vng góc với mặt phẳng (SBC) c) Xác định đường vng góc chung BC SA Lời giải: a) Trong (ABC), gọi E = AH BC H trực tâm tam giác ABC nên AE ⊥ BC (1) SA ⊥ ( ABC ) SA ⊥ BC (2) Từ (1) (2) suy BC ⊥ ( SAE ) BC ⊥ SE K trực tâm tam giác SBC suy SE qua K Suy AH, BC, SK đồng quy E b) Trong (ABC) gọi F = BH AC , (SBC) gọi D = BK SC Khi ( BHK ) ( BDF ) Ta có: BF ⊥ AC BF ⊥ ( SAC ) BF ⊥ SC SA ⊥ ABC BF ⊥ SA ( ) SC ⊥ BF SC ⊥ ( BDF ) SC ⊥ ( BHK ) SC ⊥ BD Ta có: SC ⊥ ( BHK ) SC ⊥ HK BC ⊥ ( SAE ) BC ⊥ HK HK ⊥ ( SBC ) Cách khác: Có thể chứng minh HK ⊥ ( SBC ) sau: SC ⊥ ( BHK ) ( SBC ) ⊥ ( BHK ) SC SBC ( ) BC ⊥ ( SAE ) ( SBC ) ⊥ ( SAE ) BC ( SBC ) ( SBC ) ⊥ ( BHK ) HK ⊥ ( SBC ) ( SBC ) ⊥ ( SAE ) ( BHK ) ( SAE ) = HK SA ⊥ ( ABC ) c) Vì AE ⊥ SA AE ABC ( ) AE ⊥ SA Ta có: AE ⊥ BC Suy AE đường vng góc chung BC SA Bài tập trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh khoảng cách từ điểm B, C, D, A’, B’ D’ đến đường chéo AC’ Tính khoảng cách Lời giải: D C A B K C' D' A' B' Gọi K hình chiếu B AC’ Ta có AB ⊥ ( BCC ' B ') AB ⊥ BC ' ABC' vuông B Dễ thấy BC’ đường chéo hình vng cạnh a BC' = a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABC’ có: 1 1 = + = 2+ = 2 2 BK BA BC a (a 2) 2a BK = a Ta có: ABC' = C'CA = ADC' = AA'C' = C'B'A = C'D'A (cạnh – góc – cạnh) Do chiều cao tương ứng tam giác Vậy khoảng cách từ B, C, D, A’, B’, D’ tới AC’ a Bài tập trang 119 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BB’ AC’ Lời giải: a) Trong (ABCD) kẻ BH ⊥ AC ( H AC ) (1) Ta có: CC' ⊥ ( ABCD ) CC' ⊥ BH (2) Từ (1) (2) suy BH ⊥ ( ACC'A' ) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABC ta có: 1 1 a + b2 = + = + = 2 BH AB2 BC2 a b ab ab BH = a + b2 Cách khác: Ta có: AA' ⊥ (ABCD) ( ACC'A') ⊥ (ABCD) AA' ACC'A' ( ) ( ACC'A') (ABCD) = AC BH ⊥ ( ACC'A' ) BH (ABCD) BH ⊥ AC AC = AB2 + BC2 = a + b BH.AC = AB.BC AB BC ab BH = = AC a + b2 b) Ta có: AC ' ( ACC ' A ')∥ BB ' d ( BB',AC') = d ( BB', ( ACC'A') ) = d ( B, ( ACC'A' ) ) = BH d ( BB';AC' ) = ab a +b 2 Bài tập trang 119 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Chứng minh B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’) b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (BA’C’) (ACD’) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Lời giải: D C O B A H G C' D' O' A' B' a) Ta có: BB' ⊥ (A'B'C'D') BB' ⊥ A'C' A 'C' ⊥ B'D' AC ⊥ (BBDD) A'C' ⊥ BB' A'C' ⊥ B'D DC ⊥ (BCC'B') DC ⊥ BC' BC' ⊥ B'C BC' ⊥ (A'B'CD) BC' ⊥ DC BC' ⊥ B'D B'D ⊥ A'C' B'D ⊥ (BA'C') B'D ⊥ BC ' Cách khác: Ta có B’A’ = B’B = B’C’ Suy B’ thuộc trục tam giác A’BC’ (1) DA’ = DB = DC’ (đường chéo hình vng nhau) Suy D thuộc trục tam giác A’BC’ (2) Từ (1) (2) B’D trục (BA’C’) B'D ⊥ (BA'C') b) Ta có: BC'∥ AD' A 'C'∥ AC BC',A 'C' (BA 'C') AD',AC (ACD ') (BA’C’) // (ACD’) Mà B'D ⊥ (BA'C') nên B ' D ⊥ (ACD') Gọi G = B'D (BA'C') ; H = B'D (ACD') d ( ( BA’C’) ; ( ACD’) ) = GH Gọi O, O’ tâm hình vng ABCD, A’B’C’D’ ta có: BO’ // D’O nên O’G // D’H, mà O’ trung điểm B’D’ G trung điểm B’H GB’ = GH (3) BO’ // D’O nên OH // GB, mà O trung điểm BD H trung điểm DG HG = HD (4) Từ (3) (4) suy ra: GB’ = GH = HD GH = B'D Do ABCD.A’B’C’D’ hình lập phương cạnh a nên: B'D = B'B2 + BD = B'B2 + BA + AD = a2 + a2 + a2 =a HG = a Vậy d ( ( BA'C' ) ; ( ACD' ) ) = a 3 c) BC' (BA'C') ; CD ' (ACD') , mà (BA’C’) // (ACD’) BC’ // CD’ BC’ // (ACD’) d ( BC';CD') = d ( BC'; ( ACD' ) ) = d ( ( BA'C' ) ; ( ACD' ) ) = a 3 Vậy d ( BC',CD') = d ( ( BA'C' ) ; ( ACD' ) ) = a Bài tập trang 119 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Chứng minh đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vuông góc chung AB CD AC = BD AD = BC Lời giải: A F I E B D d J C Gọi I, J trung điểm AB, CD Theo giả thiết IJ ⊥ AB , IJ ⊥ CD Qua I kẻ đường thẳng d // CD, lấy d điểm E, F cho IE = IF = Ta có IJ ⊥ CD (giả thiết) IJ ⊥ EF , lại có IJ ⊥ AB (giả thiết) IJ ⊥ (AEBF) Ta có CDFE hình bình hành có IJ đường trung bình CE ⊥ (AEBF) CE ⊥ BE CE∥ DF∥ IJ DF ⊥ (AEBF) DF ⊥ AF Ta có: AIF = BIE (cạnh – góc – cạnh) suy ra: AF = BE Xét DFA CEB có: E = F (= 90o) AF = BE DF = CE DFA = CEB (cạnh – góc - cạnh) Suy AD = BC Chứng minh tương tự ta BD = AC CD Bài tập trang 120 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC) Lời giải: S A C H M N B Gọi H tâm tam giác ABC ta có SH ⊥ (ABC) d (S, ( ABC ) ) = SH Gọi N trung điểm BC 3a BN = NC = Tam giác ABN vuông N nên: 3a 3a AN = AB − BN = (3a) − = 2 H trọng tâm tam giác ABC AH = AN = a 3 Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vng SAH ta có: 2 SH = SA − AH = 4a − (a 3) = a Vậy d (S; ( ABC ) ) = SH = a Bài tập trang 120 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính khoảng cách hai cạnh đối diện tứ diện Lời giải: Gọi K, I trung điểm AD BC Ta có: ABC = DBC (cạnh – cạnh - cạnh) Suy AI = DI (hai đường trung tuyến tương ứng) AID cân I Trung tuyến IK đồng thời đường cao IK ⊥ AD Chứng minh tương tự, KBC cân K KI ⊥ BC Từ (1) (2) suy KI đường vng góc chung BC AD d ( AD;BC ) = KI Tam giác ABI vuông I nên: a a AI = AB − BI = a − = 2 Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vng AKI ta có: 2 3a a a KI = AI − AK = − = 4 2 Vậy d ( AD;BC ) = a ... trang 118 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh khoảng cách hai đường thẳng chéo bé so với khoảng cách hai điểm nằm hai đường thẳng Lời giải: Ta có: Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách. .. khoảng cách từ điểm thuộc a tới điểm thuộc mặt phẳng (β) Vậy khoảng cách hai mặt phẳng song song (α) (β) nhỏ khoảng cách từ điểm mặt phẳng tới điểm mặt phẳng Hoạt động trang 116 SGK Tốn lớp 11. .. với khoảng cách từ A tới điểm mặt phẳng (α) Vậy khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) bé so với khoảng cách từ điểm thuộc a tới điểm thuộc mặt phẳng (α) Hoạt động trang 116 SGK Tốn lớp 11 Hình