Bài 5 Xác suất của biến cố A Các câu hỏi, hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán lớp 11 Đại số Từ một hộp chứa bốn quả cầu ghi chữ a, hai quả cầu ghi chữ b và hai quả cầu ghi chữ c (hình 34[.]
Bài 5: Xác suất biến cố A Các câu hỏi, hoạt động Hoạt động trang 66 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ hộp chứa bốn cầu ghi chữ a, hai cầu ghi chữ b hai cầu ghi chữ c (hình 34), lấy ngẫu nhiên Kí hiệu: A: “Lấy ghi chữ a” B: “Lấy ghi chữ b” C: “Lấy ghi chữ c” Có nhận xét khả xảy biến cố A, B C? Hãy so sánh chúng với Lời giải: Khả xảy biến cố A là: = 0,5 Khả xảy biến cố B là: = 0,25 Khả xảy biến cố C là: = 0,25 Khả xảy biến cố A lớn khả xảy biến cố B C Vậy khả xảy biến cố B khả xảy biến cố C Hoạt động trang 69 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh tính chất a), b) c) Tính chất: a) P ( ) = 0,P ( ) = b) P ( A ) 1, với biến cố A c) Nếu A B xung khắc, P ( A B ) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất) Lời giải: a) P ( ) = 0,P ( ) = Theo định nghĩa xác suất biến cố ta có: P ( ) = n ( ) = =0 n () n () P () = n () = (điều phải chứng minh) n () b) P ( A ) 1, với biến cố A Ta có: n() n(A) n() n() n(A) n() n() n() n() P() P(A) P() P(A) (từ chứng minh câu a) Suy điều phải chứng minh c) Nếu A B xung khắc, P ( A B ) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất) Nếu A B xung khắc, ta có: n ( A B ) = n(A) + n(B) n ( A B ) n(A) n(B) = + n() n() n() P ( A B ) = P(A) + P(B) (điều phải chứng minh) B Bài tập Bài tập trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần a) Hãy mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố: A: “Tổng số chấm xuất hai lần gieo không bé 10”; B: “Mặt chấm xuất lần” c) Tính P(A), P(B) Lời giải: a) Phép thử T: “Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần” = (i, j)∣ i, j = 1,2,3,4, 5, 6 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Số phần tử không gian mẫu n() = 36 b) Xác định biến cố: A: “Tổng số chấm xuất hai lần gieo không bé 10”; A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Suy n(A) = B: “Mặt chấm xuất lần” B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1), (6, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)} Suy n(B) = 11 c) Xác suất biến cố A: P(A) = n (A) = = n ( ) 36 Vậy xác suất biến cố A Xác suất biến cố B: P ( B ) = Vậy xác suất biến cố B n ( B ) 11 = n ( ) 36 11 36 Bài tập trang 74 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Có bốn bìa đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên ba a) Hãy mô tả không gian mẫu b) Xác định biến cố: A: “Tổng số ba bìa 8”; B: “Các số bìa ba số tự nhiên liên tiếp” c) Tính P(A), P(B) Lời giải: a) Phép thử T: “Từ bốn bìa cho, rút ngẫu nhiên ba tấm” = {(1; 2; 3), (1; 2; 4), (1; 3; 4), (2; 3; 4)} Vậy số phần tử không gian mẫu n() = b) Xác định biến cố: A: “Tổng số ba bìa 8”; A = {(1; 3; 4)} Suy n(A) = B: “Các số bìa ba số tự nhiên liên tiếp” B = {(1; 2; 3), (2; 3; 4)} Suy n(B) = c) Xác suất biến cố A: P ( A ) = Vậy xác suất biến cố A Xác suất biến cố B: P ( B ) = Vậy xác suất biến cố B n (A) = n () n ( B) = = n () Bài tập trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một người chọn ngẫu nhiên hai giày từ bốn đôi giày cỡ khác Tính xác suất để hai chọn tạo thành đôi Lời giải: Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên giày từ đôi giày có cỡ khác nhau” Số cách lấy giày n() = C82 = 28 (Do hai đôi phân chia trái phải nên không giống nhau) Gọi A biến cố: “Lấy hai giày tạo thành đơi” Vì có đôi giày nên số cách lấy đôi giày n(A) = Vậy xác suất xảy biến cố P(A) = n(A) = = n() 28 Bài tập trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Gieo súc sắc cân đối đồng chất Giả sử súc sắc xuất mặt b chấm Xét phương trình x2 + bx + = Tính xác suất cho: a) Phương trình có nghiệm; b) Phương trình vơ nghiệm; c) Phương trình có nghiệm ngun Lời giải: Khơng gian mẫu: = 1, 2, 3, 4, 5,6 n () = Phương trình x2 + bx + = (*) có = b − a) Để phương trình (*) có nghiệm = b2 − b 2 Gọi A biến cố: “Con súc sắc xuất mặt b chấm cho phương trình (*) có nghiệm” Ta có: A = {3, 4, 5, 6} n(A) = Vậy xác suất xảy biến cố P(A) = n(A) = = n() b) Gọi B biến cố: “Con súc sắc xuất mặt b chấm cho phương trình (*) vơ nghiệm” suy B = A = {1, 2} ( ) P ( B) = P A = – P ( A ) = − Vậy xác suất xảy biến cố = 3 c) Gọi C biến cố: “ Xuất mặt b chấm cho phương trình (*) có nghiệm ngun” Phương trình (*) có nghiệm b {3,4,5,6} Thử giá trị b thấy: Khi b = phương trình trở thành x2 + 3x + = x = −1 (thỏa mãn) x = − Do đó: C = {3} suy n(C) = Vậy xác suất xảy biến cố P(C) = n(C) = n() Bài tập trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ cỗ tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên lúc bốn Tính xác suất cho: a) Cả bốn át; b) Được át; c) Được hai át hai K Lời giải: a) Phép thử T: “Từ cỗ tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên lúc bốn con” Mỗi kết tổ hợp chập 52 Do n() = C524 = 270725 Gọi A biến cố: “Rút bốn át” n(A) = C44 = (một cỗ có át) Vậy xác suất xảy biến cố P(A) = n (A) = 0,0000037 n ( ) 270725 b) Gọi B biến cố: “Rút át” Khi biến cố đối biến cố B B : “Rút không át” Mỗi kết thuận lợi cho B tổ hợp chập 48 át ( ) Suy số kết thuận lợi cho B n B = C448 = 194580 ( ) P B = ( ) = 194580 0,7187 n B n ( ) 270725 ( ) Vậy xác suất xảy biến cố P(B) = − P B 0,2813 c) Gọi C biến cố: “Trong bốn rút hai át hai K” Mỗi kết có thuận lợi cho C tổ hợp gồm át K Áp dụng quy tắc nhân: n(C) = C24 C24 = 36 Vậy xác suất xảy biến cố P(C) = n(C) 36 = 0,000133 n() 270725 Bài tập trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hai bạn nam hai bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện Tính xác suất cho: a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau; b) Nữ ngồi đối diện Lời giải: Mỗi cách xếp bạn vào chỗ ngồi hốn vị phần tử, khơng gian mẫu có 4! = 24 phần tử a) Gọi A biến cố: “Nam, nữ ngồi đối diện nhau” Suy A biến cố: “Nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ” Có chỗ bạn nữ thứ chọn Có cách chọn chỗ đối diện cho bạn nữ thứ hai Sau bạn nữ chọn chỗ ngồi (đối diện nhau) cịn lại chỗ (đối diện nhau) để xếp cho bạn nam có 2! cách xếp chỗ cho bạn Vì theo quy tắc nhân có 4.1.2! = cách xếp chỗ cho nam nữ không ngồi đối diện hay nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ ( ) Khi đó: P A = ( )= n A n ( ) 24 = ( ) Vậy xác suất xảy biến cố A P(A) = − P A = b) Vì có người: nam nữ nên nữ ngồi đối diện nam ngồi đối diện Do biến cố biến cố A : “Nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ” ( ) Vậy xác suất xảy biến cố P A = = 24 Bài tập trang 75 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ trắng, đen Hộp thứ hai chứa trắng, đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Kí hiệu: A biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ trắng” B biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng” a) Xét xem A B có độc lập khơng b) Tính xác suất cho hai cầu lấy màu c) Tính xác suất cho hai cầu lấy khác màu Lời giải: a) Phép thử T: “Từ hộp lấy ngẫu nhiên quả” Có 10 cách lấy cầu hộp có 10 cách lấy cầu hộp nên số phần tử không gian mẫu n() = 10.10 = 100 Biến cố A là: “Quả lấy từ hộp thứ trắng” Suy có cách lấy cầu màu trắng hộp A 10 cách lấy cầu hộp B n(A) = 6.10 = 60 P(A) = 60 = 0,6 100 Biến cố B là: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng” Suy có cách lấy cầu màu trắng hộp B 10 cách lấy cầu hộp A n(B) = 4.10 = 40 P(B) = 40 = 0,4 100 Gọi AB biến cố: “Cả hai cầu lấy trắng” Suy có cách lấy cầu màu trắng hộp A cách lấy cầu hộp B n(AB) = 6.4 = 24 P(A B) = 24 = 0,24 100 Ta có: 0,24 = 0,6.0,4 = P(A).P(B) Khi đó: P ( AB ) = P(A).P(B) Vậy A B hai biến độc lập với b) Gọi C biến cố: “Lấy màu” AB biến cố: “Cả hai cầu lấy trắng” AB biến cố: “Cả hai cầu lấy đen” Suy C = AB AB ( ) Do P(A) = 0,6 P A = − 0,6 = 0,4 ( ) P(B) = 0,4 P B = − 0,4 = 0,6 Do AB AB hai biến cố xung khắc A, B hai biến độc lập nên: ( ) P ( C ) = P ( AB ) + P AB ( ) ( ) = P ( A ) P ( B ) + P A P B = 0,6.0,4 + 0,4.0,6 = 0,48 Vậy xác suất để lấy cầu cho hai cầu lấy màu 0,48 c) Gọi C biến cố: “Lấy khác màu” ( ) Suy P C = − P(C) = − 0, 48 = 0,52 Vậy xác suất để lấy cầu cho hai cầu lấy khác màu 0,52 ... (5, 5) , (5, 6), (6, 4), (6, 5) , (6, 6)} Suy n(A) = B: “Mặt chấm xuất lần” B = {(1, 5) , (2, 5) , (3, 5) , (4, 5) , (5, 1), (6, 5) , (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5) , (5, 6)} Suy n(B) = 11 c) Xác suất biến. .. suất biến cố A: P(A) = n (A) = = n ( ) 36 Vậy xác suất biến cố A Xác suất biến cố B: P ( B ) = Vậy xác suất biến cố B n ( B ) 11 = n ( ) 36 11 36 Bài tập trang 74 SGK Tốn lớp 11 Đại số:... biến cố A: P ( A ) = Vậy xác suất biến cố A Xác suất biến cố B: P ( B ) = Vậy xác suất biến cố B n (A) = n () n ( B) = = n () Bài tập trang 74 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một người chọn ngẫu nhiên