Đạo hàm của hàm số lượng giác 1 Lý thuyết a) Giới hạn x 0 sin x lim 1 x b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác 2 Các dạng bài tập Dạng 1 Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác Phương p[.]
Đạo hàm hàm số lượng giác Lý thuyết sin x 1 x b) Công thức đạo hàm hàm số lượng giác a) Giới hạn: lim x 0 Đạo hàm hàm số lượng giác Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (sin x)’ = cos x (sin u)’ = u'.cos u (cos x)’ = – sin x (cos u)’ = – u'.sin u tan x tan u tan x cos x u u.1 tan u cos u u k,k u cot u sin u x k,k cot x 1 cot x sin x x k,k u.1 cot u u k,k Các dạng tập Dạng Tính đạo hàm hàm chứa hàm số lượng giác Phương pháp giải: - Áp dụng công thức đạo hàm hàm số lượng giác - Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số hợp Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = 5sin x – 3cos x b) y = sin(x2 – 3x + 2) c) y 2tan x d) y = tan 3x – cot 3x e) y tan 2x cot 4x sin x Lời giải a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x b) Ta có: y' = (x2 – 3x + 2)’.cos(x2 – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x2 – 3x + 2) cos x c) Ta có: y tan x tan x cos x tan x 1 tan x d) Ta có cách thực sau: Cách 1: Ta có ngay: 3 12 3 2 cos 3x sin 3x sin 3x.cos 3x sin 6x sin 6x Cách 2: Ta biến đổi: y y sin 3x cos3x sin 3x cos 3x 2cos6x 2cot 6x cos3x sin 3x sin 6x cos3x.sin 3x y' 12 sin 6x e) y (tan 2x) (cot 4x) sin x cos x 2 cos 2x 3sin 4x sin x Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y sin 3x b) y cos2 x sin x cos x c) y tan x x 1 d) y (sin x cos x) 3cos x sin x Lời giải cos x ' 2sin 3x.3cos3x 2cos x. cos x ' a) y' 2sin3x. sin3x ' cos x 2cos x.sin x 2sin x 6sin 3x cos3x 3sin 6x cos x cos3 x cos x (1 sin x)(1 cos x) (1 cos x)(1 sin x) (1 cos x) cos x(1 cos x) sin x(1 sin x) cos x sin x (1 cos x)2 (1 cos x) b) y c) y tan x x x x 1 ' cos x x 1 2x x x cos x x x cos x x 2x 1 d) y (sin x cos x) 3cos x sin x (sin x cos x) 3cos x sin x 3 1 (cos x sin x) 3cos x sin x (sin x cos x) 3sin x cos x 3 3cos x 10 10 sin x cos x sin x 3sin x sin x cos x cos x 3 3 8 20 cos x sin x sin x cos x 3 10 cos 2x sin 2x 3 Dạng Chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y2 – = b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y2 + = Lời giải a) Trước tiên, ta có: y Khi đó, ta có: cos x y y2 1 tan x (đpcm) 2 cos x cos x cos x b) Trước tiên, ta có: y sin 2x Khi đó, ta có: y 2y2 2 2cot 2x (đpcm) sin 2x sin 2x sin 2x Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = trường hợp sau: a) y = sin 2x – 2cos x b) y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x Lời giải a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x Khi đó, phương trình có dạng: 2cos2x 2sin x cos 2x sin x cos x 2 x 2k 2x x 2k 2 ,k x 2k 2x x 2k b) Trước tiên, ta có: y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10 Khi đó, phương trình có dạng: 6cos2x 8sin 2x 10 4sin 2x 3cos2x sin 2x cos 2x 5 cosa sin a , ta được: 5 sin 2xcosa cos2x.sina sin(2x a ) Đặt a 2x a 2k x k, k 2 Bài tập tự luyện Câu Hàm số y = cotx có đạo hàm là: 1 A y’ = - tan x B y' C y' 2 cos x sin x cot x Câu Hàm số y sin 7x có đạo hàm là: 21 21 21 cos7x A cos x B cos7x C 2 D y’ = + D 21 cos x Câu Hàm số y sin 3x có đạo hàm là: 6 A 3cos 3x 6 3sin 3x 6 B 3cos 3x 6 C cos 3x 6 D Câu Đạo hàm hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là: A y’ = 3cos 2x – sin 3x B y’ = 3cos 2x + sin 3x C y’ = 6cos 2x – 3sin 3x D y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x Câu Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là: A tan 2x B 2x cos x 2x cos 2x C tan 2x 2x cos 2x D tan 2x x cos 2x Câu Đạo hàm hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức sau đây? A 30cos3x.sin5x B – 8cos8x + 2cos2x C 8cos8x – 2cos2x D – 30cos3x + 30sin5x sin x có đạo hàm là: x x sin x cos x A y' x2 x cos x sin x y' x2 x cos x sin x C y' x2 x sin x cos x y' x2 Câu Hàm số y cot x có đạo hàm là: x x x A B C sin x 2sin x sin x Câu Hàm số y B D D x sin x Câu Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là: A y sin 2x B y cos 2x Câu 10 Đạo hàm hàm số y C y sin 2x D y cos 2x sin x cos x có biểu thức dạng sin x cos x a (sin x cos x)2 Vậy giá trị a là: B a = – A a = C a = Câu 11 Cho hàm số y sin x Đạo hàm y' hàm số A 2x B 2x cos x x x2 cos x D a = x C D x2 (x 1) 2x cos x cos x 2 x Câu 12 Đạo hàm hàm số y sin 2x.cos x A y 2sin 2x.cos x sin x.sin 2x x B y 2sin 2x.cos x sin x.sin 2x x C y 2sin 4x.cos x sin x.sin 2x D y 2sin 4x.cos x sin x.sin 2x x x x x Câu 13 Cho hàm số y f x sin 5x.cos A B x Giá trị f 2 C D Câu 14 Cho hàm số y = cos2x + sin x Phương trình y' = có nghiệm thuộc khoảng (0; ) A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm Câu 15 Cho hàm số y = sin 2x + x Số sau nghiệm phương trình y’ = khoảng (; ) A 6 B 3 C 7 12 D BẢNG ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 C B B C C B B D C B C D A C B ... Hàm số y cot x có đạo hàm là: x x x A B C sin x 2sin x sin x Câu Hàm số y B D D x sin x Câu Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là: A y sin 2x B y cos 2x Câu 10 Đạo hàm hàm... 2k x k, k 2 Bài tập tự luyện Câu Hàm số y = cotx có đạo hàm là: 1 A y’ = - tan x B y'' C y'' 2 cos x sin x cot x Câu Hàm số y sin 7x có đạo hàm là: 21 21 21 cos7x A ... D tan 2x x cos 2x Câu Đạo hàm hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức sau đây? A 30cos3x.sin5x B – 8cos8x + 2cos2x C 8cos8x – 2cos2x D – 30cos3x + 30sin5x sin x có đạo hàm là: x x sin x cos