50 bài tập về cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay (có đáp án 2022)– toán 11

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa 1 Lý thuyết a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và  0 x a;b Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số    0 0 f x f x x x   khi 0[.]

Cách tính đạo hàm định nghĩa Lý thuyết a) Định nghĩa đạo hàm - Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x   a;b  Giới hạn hữu f  x   f  x0  x  x gọi đạo hàm hàm số x  x0 hạn (nếu có) tỉ số cho x0 - Kí hiệu f’(x0) hay y’(x0) Như ta có: f '  x   lim x x f  x   f  x0  x  x0 - Nhận xét: Nếu đặt x  x  x y  f  x  x   f  x  ta có f  x  x   f  x  y  lim x 0 x x 0 x Trong x gọi số gia biến số x0 f '  x   lim y gọi số gia hàm số ứng với số gia x x0 b) Đạo hàm bên - Đạo hàm bên trái hàm số y = f(x) điểm x0, kí hiệu f '  x 0  định nghĩa là: f (x 0 )  lim x 0  y f (x)  f (x )  lim x x x x  x0  x  x 0 hiểu x  x x < x0 - Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0, kí hiệu f '  x 0  định nghĩa là: f (x 0 )  lim x 0 y f (x)  f (x )  lim x x x x  x0  x  x 0 hiểu x  x x > x0 - Định lí: Hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 thuộc tập xác định nó, f '  x 0  f '  x 0  tồn Khi ta có: f '  x   f '  x 0   f '  x 0  c) Đạo hàm khoảng, đoạn - Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) (a; b) có đạo hàm điểm thuộc (a; b) - Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) [a; b] có đạo hàm điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn đạo hàm trái f’(b -) đạo hàm phải f’(a+) d) Quy tắc tính đạo hàm định nghĩa Muốn tính đạo hàm hàm số điểm x0 theo định nghĩa, ta có cách: - Cách 1: Bước 1: Với x số gia đối số x0 ta tính y  f  x  x   f  x  Bước 2: Tính giới hạn lim x 0 x y - Cách 2: Đạo hàm hàm số x0 f '  x   lim x x f  x   f  x0  x  x0 e) Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm x0 f(x) liên tục x0 Chú ý: Định lí điều kiện cần, tức hàm liên tục điểm x0 hàm khơng có đạo hàm x0 Các dạng tập Dạng 1: Tìm số gia hàm số Phương pháp giải: Để tính số gia hàm số y = f(x) điểm x0 tương ứng với số gia x cho trước ta áp dụng công thức: y  f  x  x   f  x  Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm số gia hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 2, biết rằng: a) x  1; x  b) x  1; x  0,1 Lời giải a) Số gia hàm số là: y  f  x o  x   f  x   f    f 1  23  3.22   (13  3.12  2)  2 b) Số gia hàm số là: y  f  x o  x   f  x   f  0,9   f 1  0,93  3.0,92   (13  3.12  2)  0,299 Ví dụ 2: Tìm số gia hàm số: a) y = 2x + b) y = 2x2 – 3x + x0 = Lời giải a) Số gia hàm số là: y  f  x  x   f  x    x  x     2x  3  2x b) Số gia hàm số là: y  f 1  x   f 1  1  x   31  x     2.12  3.1  1   4x   x    3x     x   x Dạng 2: Tính đạo hàm định nghĩa Phương pháp giải: Muốn tính đạo hàm hàm số điểm x0 theo định nghĩa, ta có cách: Cách 1: Bước 1: Với x số gia đối số x0 ta tính y  f  x  x   f  x  Bước 2: Tính giới hạn lim x 0 x y Cách 2: Đạo hàm hàm số x0 f '  x   lim x x f  x   f  x0  x  x0 Chú ý: Nếu không tồn giới hạn hữu hạn x0 hàm số khơng có đạo hàm x0 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) hàm số sau: a) y = 2x2 + x + x0 = b) y  2x  x0 = c) y  2x  x0 = x 1 Lời giải a) Cách 1: Với x số gia đối số x0 = Khi hàm số số gia tương ứng: y  f  x  x   f  x     x     x     2.22   1   8x   x    x   11  9x   x   x   2x  Ta có f '    lim x 0 x   2x  y  lim  lim   2x   x 0 x x x 0 f  x   f  2 2x  x   11  lim Cách 2: lim x 2 x 2 x2 x2  lim x 2 2x  x  10  x   2x  5  lim 2x    lim   x 2 x 2 x2 x2 Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm x  f '    b) Cách 1: Với x số gia đối số x0 = Khi hàm số số gia tương ứng: y  f  x  x   f  x   f 1  x   f 1  2(1  x)    Ta có f ' 1  lim x 0 Cách 2: lim x 1  lim x 1 2x  2x  y  lim x x 0 x  2x  2x    lim x 0   2x  3  x  1 f  x   f 1 2x    lim  lim x 1 x 1 x 1 x 1  x  1 2x     2x   3 Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm x0 = f ' 1  c) Cách 1: Với x số gia đối số x0 = Khi hàm số số gia tương ứng: y  f  x  x   f  x   f   x   f  3  2(3  x)  5  2x 3x      x  4  x 4(4  x) Ta có f '  3  lim x 0 y 3x 3  lim  lim  x x 0 x.4(4  x) x 0 4(4  x) 16 2x   f  x   f  3 x  Cách 2: lim  lim x 3 x 3 x 3 x 3 3 3(x  3)  lim  x 3 (x  3)(x  1)4 x 3 (x  1)4 16  lim Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm x0 = f '  3  Ví dụ 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) hàm số sau: a) y = x3 x0 16  b) y  x x0 Lời giải a) Với x số gia đối số x0 Khi hàm số số gia tương ứng: y  f  x  x   f  x    x  x   x 30  x 30  3x 02 x  3x  x    x   x 30  3x 02 x  3x  x    x  3x 02 x  3x  x    x  y Ta có: f '  x   lim  lim x 0 x x 0 x    lim 3x 02  3x x   x   3x 02 x 0 Vậy đạo hàm hàm số x0 f '  x   3x 02 b) Với x số gia đối số x0 Khi hàm số số gia tương ứng: y  f  x  x   f  x   x  x  x x  x  x y  lim x x 0 x x  x  x Ta có: f '  x   lim x 0  lim x 0  lim x 0  lim x 0 x x   x  x  x x x  x  x   1   x0  x0 x0 x  x  x Dạng 3: Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục hàm số Phương pháp giải: Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm x0 f(x) liên tục x0 Chú ý: Nếu hàm số không liên tục x0 khơng có đạo hàm x0 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) = |x| liên tục x = không tồn đạo hàm x = 0: Lời giải Ta có: lim x  lim x   f   nên hàm số f(x) = |x| liên tục x = x 0 Ta có: lim x 0 x 0 x 0 f (x)  f (0) x  lim  lim  x 0 x 0 x x x   x 0 f (x)  f (0) x  lim  lim  1 x 0 x 0 x 0 x x x f (x)  f (0) f (x)  f (0)  lim Nên lim nên hàm số khơng có đạo hàm x = x 0 x 0 x x lim      Bài tập tự luyện Câu Số gia hàm số f  x   x2 ứng với số gia x đối số x x0 = –  x   x 2 B  x   x  2 C  x   x  2 D  x   x y Câu Tỉ số hàm số f(x) = 2x(x – 1) theo x x x A 4x  2x  A B 4x   x   2 C 4x  2x  D 4xx   x   2x Câu Số gia hàm số f(x) = x3 ứng với x0 = x  bao nhiêu? A – 19 Câu Tính tỷ số B C 19 D –7 y hàm số y  theo x x x x A y  x x  x  x  B y  x x  x  x  y  x x  x y  D x x  x Câu Đạo hàm hàm số f(x) = 2x + x0 = C A B C D Câu Đạo hàm hàm số f(x) = x3 x0 = A B C D Câu Đạo hàm hàm số y = x3 + x – x0 = – A 13 B 12 C 10 D – Câu Đạo hàm hàm số f (x)  x  x  điểm x0 = A B Câu Đạo hàm hàm số y  A C B  x0 = x 1 C  12 Câu 10 Đạo hàm hàm số y  A 15 B – 15 D 41 D 3x  x0 =  5x C – 17 x2  x  Câu 11 Đạo hàm hàm số f (x)  x0 = – x D 17 A B C D Đáp án khác Câu 12 Đạo hàm hàm số f(x) = x2 – x điểm x0 ứng với số gia x là:   A lim  x   2xx  x x 0 B lim  x  2x  1 x 0 C lim  x  2x  1 x 0   D lim  x   2xx  x x 0 Khẳng định đúng: x A Hàm số liên tục R, khơng có đạo hàm R Câu 13 Cho hàm số y  x  x  B Hàm số liên tục R, có đạo hàm R C Hàm số khơng liên tục R, khơng có đạo hàm R D Hàm số không liên tục R, có đạo hàm R Câu 14 Cho hàm số y = |2x – 3| Khẳng định đúng: 3 A Hàm số liên tục x  , khơng có đạo hàm x  2 3 B Hàm số liên tục x  , có đạo hàm x  2 3 C Hàm số không liên tục x  , khơng có đạo hàm x  2 3 D Hàm số không liên tục x  , có đạo hàm x  2 Câu 15 Cho hàm số y = f(x) =x2 - 2|x + 3| Khẳng định đúng: A Hàm số liên tục R, đạo hàm R B Hàm số liên tục R, có đạo hàm R C Hàm số khơng liên tục R, khơng có đạo hàm R D Hàm số khơng liên tục R, có đạo hàm R Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 A C C B A B A B B D D A C A A ... f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) (a; b) có đạo hàm điểm thuộc (a; b) - Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) [a; b] có đạo hàm điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn đạo hàm trái f’(b -) đạo hàm phải... d) Quy tắc tính đạo hàm định nghĩa Muốn tính đạo hàm hàm số điểm x0 theo định nghĩa, ta có cách: - Cách 1: Bước 1: Với x số gia đối số x0 ta tính y  f  x  x   f  x  Bước 2: Tính giới... có đạo hàm R Câu 14 Cho hàm số y = |2x – 3| Khẳng định đúng: 3 A Hàm số liên tục x  , khơng có đạo hàm x  2 3 B Hàm số liên tục x  , có đạo hàm x  2 3 C Hàm số không liên tục x  , đạo hàm