Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác 1 Lý thuyết a) Tính chẵn, lẻ của hàm số * Định nghĩa Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu x D thì x D và f( x) = f([.]
Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hồn hàm số lượng giác Lý thuyết a) Tính chẵn, lẻ hàm số: * Định nghĩa: - Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi hàm số chẵn nếu: x D x D f(-x) = f(x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng - Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi hàm số lẻ nếu: x D x D f(x) = - f(x) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng * Đối với hàm số lượng giác: - Hàm số y = sinx hàm số lẻ D = R - Hàm số y = cosx hàm số chẵn D = R - Hàm số y = tanx hàm số lẻ D \ k;k 2 - Hàm số y = cotx hàm số lẻ D \ k;k b) Tính tuần hồn chu kì hàm số: * Định nghĩa: - Hàm số y = f(x) xác định tập hợp D, gọi hàm số tuần hồn có số T cho với x D ta có (x T) D ; (x T) D f(x + T) = f(x) - Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kì hàm tuần hoàn f * Đối với hàm số lượng giác: Hàm số y = sinx; y = cosx tuần hồn với chu kì 2 Hàm số y = tanx; y = cotx tuần hồn với chu kì Các dạng tập Dạng Xét tính chẵn, lẻ hàm số lượng giác Phương pháp giải: Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số, đó: - Nếu D tập đối xứng (tức x D x D ), ta thực tiếp bước - Nếu D tập đối xứng (tức x D mà x D ), ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ Bước 2: Xác định f(-x), đó: - Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số hàm chẵn - Nếu f(-x) = - f(x) kết luận hàm số hàm lẻ - Ngoài kết luận hàm số khơng chẵn khơng lẻ Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ hàm số: a) y = f(x) = sinx + tan2x b) y = f(x) = cos3x + sin22x c) y = f(x) = cosx + tan2x Lời giải a) Tập xác định: D = R tập đối xứng Do x D x D Ta có: f(-x) = sin(-x) + tan(-2x) = - sinx – tan2x = - (sinx + tan2x) = -f(x) Vậy y = sinx + tan2x hàm số lẻ b) Tập xác định: D = R tập đối xứng Do x D x D Ta có: f(-x) = cos(-3x) + sin2(-2x) = cos3x + (-sin2x)2 = cos3x + sin22x = f(x) Vậy y = cos3x + sin22x hàm số chẵn c) Điều kiện xác định: cos2x 2x Tập xác định: D k k x ;k k \ ;k 4 k ,k , ta có: k k (k 1) x ;k 4 2 x D x Đặt m (k 1),k , đó: x m ;m x D Ta có: f(-x) = cos(-x) + tan(-2x) = cosx – tan2x Nhận thấy: f x f x f x f x Vậy f(x) = cosx + tan2x hàm số chẵn, hàm số lẻ Ví dụ 2: Xét tính chẵn, lẻ hàm số: a) y = f(x) = |x|sinx b) y = f(x) = cos(2x+1) c) y f x sin 2x d) y f x cos x 2 sin x tan 2x 2cot x Lời giải a) Tập xác định: D = R tập đối xứng Do x D x D Ta có: f(-x) = |-x|sin(-x) = x.(-sinx) = -x.sinx = -f(x) Vậy y = |x|sinx hàm số lẻ b) Tập xác định: D = R tập đối xứng Do x D x D Ta có: f(-x) = cos[2(-x)+1] = cos(-2x+1) = cos(2x-1) Nhận thấy f x f x f x f x Vậy hàm số y = cos(2x-1) hàm số chẵn, hàm số lẻ c) Tập xác định: D = R tập đối xứng Do x D x D y f x sin 2x cos3 x sin 2x cos3 x = cos(-2x).cos3x = 2 2 cos2x.cos3x Ta có: f(-x) = cos(-2x) cos3(-x) = cos2xcos3x = f(x) Vậy hàm số y sin 2x .cos x hàm số chẵn 2 d) Điều kiện xác định: k 2x k x cos 2x k x ;k x k sin x x k cot x x k x k 2 Tập xác định: D k \ ;k 4 x D x k k k ; k , x D ,k , ta có: x 4 Ta có: f x sin x tan 2x sin x tan 2x sin x tan 2x f x 2cot x 2cot x cot x Vậy y sin x tan 2x hàm số chẵn 2cot x Dạng 2: Xét tính tuần hồn, tìm chu kỳ hàm số lượng giác Phương pháp giải: - Xét tính tuần hồn chu kì định nghĩa - Sử dụng kết sau: + Hàm số y = sin(ax + b) hàm số tuần hồn với chu kì T 2 a + Hàm số y = cos(ax + b) hàm số tuần hồn với chu kì T 2 a + Hàm số y = tan(ax + b) hàm số tuần hồn với chu kì T a + Hàm số y = cot(ax + b) hàm số tuần hoàn với chu kì T a + Nếu hàm số y = f(x) tuần hồn với chu kì T hàm số y = Af(x) (với A khác 0) tuần hồn với chu kì T + Nếu hàm số y = f(x) tuần hồn với chu kì T hàm số y = f(x) + c (c số) tuần hồn với chu kì T + Nếu hàm số y = f1(x); y = f2(x);… y = fn(x) tuần hồn với chu kì T1; T2; … Tn hàm số y f1 x f x f n x tuần hồn với chu kì T bội chung nhỏ T1; T2; … Tn Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm chu kì (nếu có) hàm số: a) y = sin2x +1 b) y 3tan 4x 3 c) y = cos2x -1 d) y = sin2(2x - 3) + Lời giải a) Hàm số y = sin2x tuần hồn với chu kì 2 Vậy hàm số y = sin2x +1 tuần hồn với chu kì b) Hàm số y 3tan 4x c) Ta có: y cos2 x tuần hồn theo chu kì 3 cos 2x 1 cos 2x 2 Hàm số y = cos2x tuần hồn với chu kì 2 Vậy hàm số y = cos2x - tuần hoàn với chu kì d) Ta có: y sin 2x 3 cos 4x 11 cos 4x 2 Hàm số y = cos(4x+6) tuần hoàn với chu kì 2 Vậy hàm số y = sin2(2x-3) + tuần hoàn với chu kì Ví dụ 2: Tìm chu kì (nếu có) hàm số: a) y sin3x tan 2x b) y cos x – sin 4 x 1 c) y = sin4x.cos2x d) y sin x cos 2x Lời giải a) Hàm số y = sin3x tuần hồn với chu kì Hàm số y tan 2x tuần hồn với chu kì 4 Vậy hàm số y sin3x tan 2x 2 tuần hoàn với chu kì T bội chung nhỏ 4 2 , T 2 b) Hàm số y cos x cos 2x 2 tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số y sin x tuần hồn với chu kì 2 : 4 2 Vậy hàm số y cos x – sin x tuần hoàn với chu kì T bội chung nhỏ 4 , T 4 c) Ta có: y = sin4x.cos2x 1 sin 4x 2x sin 4x 2x sin 6x sin 2x 2 Hàm số y = sin6x tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số y = sin2x tuần hồn với chu kì 2 Vậy hàm số y = sin4x.cos2x tuần hồn với chu kì T bội chung nhỏ , T d) Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số y cos 2 2 2x tuần hoàn với chu kì Giả sử T bội chung nhỏ 2 2 Khi tồn m,n ;m,n cho: T m2 n 2 n 2 (vơ lí m 2 số vơ tỉ, n số hữu tỉ) m Do khơng tồn bội chung nhỏ 2 Vậy hàm số y sin x cos 2 2x khơng tuần hồn Bài tập tự luyện Câu Cho hàm số f(x) = cot2x g(x) = cos5x chọn mệnh đề A f(x) hàm số chẵn, g(x) hàm số chẵn B f(x) hàm số lẻ, g(x) hàm số lẻ C f(x) hàm số lẻ, g(x) hàm số chẵn D f(x) hàm số chẵn, g(x) hàm số lẻ Câu Hàm số sau hàm số chẵn? A y = sinx B y = cos2x C y = cotx D y = tan3x Câu Hàm số sau hàm số chẵn? A y = sin2x + cosx sinx.cos2x B y = sinx – sin2x Câu Cho hàm số y sin x Khẳng định sau cos 2x C y = cot2x.cosx D y = A Hàm số hàm số lẻ B Hàm số hàm số chẵn D Hàm số có tập xác định D = R\{3} C Hàm số không chẵn không lẻ Câu Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua trục tung? A sinx.cos3x B cot x cos3 x C cos x cosx + sin2x D sin x cos 2x 2 Câu Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? A sin 3x cos x B sin x x cos 2x 2 C tan 2x D cot 4x Câu Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? A y sin x 4 C y 3cos 2x B sin3x D 3 y 3sin 2x 2 Câu Hàm số y cos3x sin A 6 x tuần hoàn với chu kì? B C 3 D Câu Hàm số y = sin2x tuần hồn với chu kì? A 2 B 4 C D Câu 10 Hàm số y = tanx + cot4x tuần hồn với chu kì? A B 4 C D Câu 11 Hàm số y sin x sin 2x sin 3x tuần hồn với chu kì? A 4 B C 2 D 6 Câu 12 Hàm số y 2cos x tuần hồn với chu kì? A B C D Câu 13 Hàm số y = 3sinx.cos3x + tuần hồn với chu kì: A B 2 C D Câu 14 Trong hàm số sau, hàm số nào không tuần hoàn: A y = tan22x + B y = sin5x – 4cos7x C y sin x sin(x 2) D y 3sin 2x Câu 15 Trong hàm số sau, hàm số hàm số tuần hoàn? A y = sin x – x B y = -2cos3x + C y = xsin2x D y = x4 + x2 + Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 C B A A D B B A D D C A D C B ... chu kì T 2 a + Hàm số y = cos(ax + b) hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 a + Hàm số y = tan(ax + b) hàm số tuần hồn với chu kì T a + Hàm số y = cot(ax + b) hàm số tuần hồn với chu kì. .. Nếu hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì T hàm số y = Af(x) (với A khác 0) tuần hồn với chu kì T + Nếu hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì T hàm số y = f(x) + c (c số) tuần hồn với chu kì T... tan 2x hàm số chẵn 2cot x Dạng 2: Xét tính tuần hồn, tìm chu kỳ hàm số lượng giác Phương pháp giải: - Xét tính tuần hồn chu kì định nghĩa - Sử dụng kết sau: + Hàm số y = sin(ax + b) hàm số tuần