50 bài tập về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – toán 11

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác 1 Lý thuyết Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác   x 2k sin x sin k x 2k              x 2k cosx cos k x[.]

Tất tần tật phương trình bậc hàm số lượng giác Lý thuyết Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác  x    2k sin x  sin    k  x      2k    x    2k cos x  cos    k   x    2k tan x  tan   x    k  k   cot x  cot   x    k  k     Các dạng tập Dạng 1: Phương trình lượng giác sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử đưa phương trình tích Phương pháp giải: Sử dụng biến đổi thích hợp để xuất nhân tử chung công thức nhân đôi, công thức nhân ba - Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a tan 2a  tan a  tan a - Công thức nhân ba: sin3a = 3sina – 4sin3a cos3a = 4cos3a – 3cosa Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) cosx – 2sin2x = b) 6sin4x + 5sin8x = c) cos2x – sin2x = Lời giải a) cosx – 2sin2x =  cos x  2.2.sin xcos x   cos x 1  4sin x     x   k   cos x  cos x     k    x  arcsin  k2   4sin x  sin x      x    arcsin  k2   Vậy họ nghiệm phương trình x  1  k; x  arcsin  k2; x    arcsin  k2;k  4 b) 6sin4x + 5sin8x =  6sin 4x  5.2.sin 4xcos4x   2sin 4x   5cos4x    4x  k sin 4x  sin 4x      3 3 cos 4x   4x   arccos     k2 3  5cos 4x    5  k  x   k    x   arccos     k     5 Vậy họ nghiệm phương trình x  k   k ;x   arccos     ;k  4  5 c) cos2x – sin2x =  cos2 x  2sin x cos x   cos x  cos x  2sin x     x   k  k   cos x     cos x  2sin x   2sin x  cos x * Giải phương trình (*) Trường hợp 1: cosx = Thay vào (*) ta sinx = Ta thấy sin2x + cos2x = 02 + 02 = (Vô lí) (Loại) Trường hợp 2: cos x   x    k;k  Chia hai vế phương trình cho cosx, ta *  sin x 1   tan x   x  arctan  k;k  2 cos x Vậy họ nghiệm phương trình là: x  (Thỏa mãn)   k;x  arctan  k;k  2 Ví dụ 2: Giải phương trình: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – = Lời giải Ta có: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – =  sin x  cos3x  1   cos3x  1    cos3x  1 sin x    cos3x   cos3x  k2   ;k   3x  k2  x  sin x   sin x  2(Loai) Vậy họ nghiệm phương trình là: x  k2 ;k  Dạng 2: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích tích thành tổng Phương pháp giải: - Công thức biến đổi tổng thành tích cosa  cos b  2cos ab a b cos 2 cosa  cos b  2sin ab a b sin 2 sin a  sin b  2sin ab ab cos 2 sin a  sin b  2cos ab ab sin 2 - Cơng thức biến đổi tích thành tổng cosa.cos b  cos  a  b   cos  a  b  sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b  sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b  Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x Lời giải a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x 1  cos  5x  2x   cos  5x  2x   cos  4x  3x   cos  4x  3x  2  cos3x  cos7x  cos x  cos7x  cos3x  cos x  x  k 3x  x  k2  2x  k2 k    k  x   k  x  3x   x  k2  4x  k2  Vậy họ nghiệm phương trình là: x   k ;k  b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x 1  sin  5x  3x   sin  5x  3x   sin  4x  2x   sin  4x  2x  2  sin8x  sin 2x  sin6x  sin 2x  sin8x  sin6x  x  k 8x  6x  k2  2x  k2     k  k  x   8x    6x  k2 14x    k2 14  Vậy họ nghiệm phương trình là: x  k;x  Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) sin3x + sin2x = sinx b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x Lời giải a) sin3x + sin2x = sinx  k  ;k  14   sin3x  sin x  sin 2x   2cos 3x  x 3x  x sin  sin 2x  2  2cos2xsin x  2sin xcos x   2sin x  cos2x  cos x    2sin x.2cos  4sin x.cos 2x  x 2x  x cos 0 2 3x x cos  2    x  k sin x   x  k  x  k     k2  3x  3x   cos      k   x   k    x    k2 2  3   x    x    k2 x     k cos  2  Vậy họ nghiệm phương trình là: x  k;x     k2;k  b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x  2sin x  3x x  3x 2x  4x 2x  4x cos  2cos cos 2 2  2sin 2x cos  x   2cos3x cos  x   sin 2xcos x  cos3xcos x   cos x  sin 2x  cos3x   cos x  cos x    sin 2x  sin    3x  sin 2x  cos3x  2          x   k  x   k  x   k       k2    2x   3x  k2  5x   k2   x      2 10        2x     3x  k2   x   k2  x    k2    2   x   k   k   x    k2  10  Vậy họ nghiệm phương trình là: x    k2  k;x   ;k  10 Dạng 3: Sử dụng công thức hạ bậc Phương pháp giải: Công thức hạ bậc hai: cos a   cos 2a sin a   cos 2a Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sin2x + sin23x = 2sin22x Lời giải Ta có: sin2x + sin23x = 2sin22x   cos 2x  cos6x  cos 4x   2 2   cos2x  cos6x  2cos4x  cos6x  cos2x  2cos4x   2cos 6x  2x 6x  2x cos  2cos 4x  2  2cos4xcos2x  2cos4x   2cos4x  cos2x  1   k    x   4x   k  cos 4x      k    cos 2x   2x  k2  x  k Vậy họ nghiệm phương trình là: x    k  ;x  k;k  Ví dụ 2: Giải phương trình sau: cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = Lời giải Ta có: cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =   cos 2x  cos 4x  cos6x  cos8x    2 2 2  cos2x  cos4x  cos6x  cos8x   cos8x  cos2x  cos6x  cos4x   2cos 8x  2x 8x  2x 6x  4x 6x  4x cos  2cos cos 0 2 2  2cos5xcos3x  2cos5xcos x   2cos5x  cos3x  cos x    2cos5x.2cos 3x  x 3x  x cos 0 2  4cos5xcos2xcos x   k    x   5x   k    10 cos5x     k   cos 2x    2x   k   x   k     2 cos x       x   k  x   k  2  Vậy họ nghiệm phương trình x    k   k  ; x   ; x   k;k  2 10 Bài tập tự luyện Câu Nghiệm phương trình cos2x – cosx = thuộc khoảng  x   là: A x   B x   Câu Giải phương trình cos2x – sin2x = C x   D x       x   k A  k   x  arctan  k    x   k  C  k   x  arctan  k     x   k  B  k   x  arctan  k      x   k  D  k   x  arctan  k   Câu Nghiệm phương trình sin2x – sinx = – 4cosx là:    x    k2 A  k    x   k    x    k   C  k    x   k      x    k2 B  k    x   k2      x    k2  D  k    x   k2   Câu Nghiệm phương trình sin x.cos x.cos2x = là: A x  k B x  k C x  k D x  k Câu Nghiệm phương trình cos3x – cos5x = sinx là:   x  k   A  x   k2  k   24  5 k  x   24   x  k   k C  x   k   24  5 k  x   24     x  k2   k B  x    24  5 k  x   24 k   k  x    k D  x    24  5 k x    24 k   Câu Phương trình cos5x.cos3x = cos 4x.cos2x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình sau đây? A sinx = cos x B cosx = C cos8x = cos6x D sin8x = cos6x Câu Phương trình cosx + 3cos2x + cos3x = có nghiệm là: A x   C x   k  k  16  k  k   B x    D x    k2  k    k2  k    Câu Nghiệm phương trình cos3x – cos4x + cos5x = là:  k  x    ,k  A    x   k2   k  x    ,k  B    x    k2   k  x    ,k  C    x    k2    x   k  ,k  D    x    k2  Câu Phương trình 2sinx + cosx – sin2x – = có nghiệm là:    x   k  5  k  k  A  x    x  k      x   k2  5  k2 , k  B  x    x  k2      x    k2 C  , k   x  k2   x    k2 D  , k   x  k Câu 10 Một họ nghiệm phương trình cos x.sin23x – cosx = : A   k  ;k  B  k  ;k  C k ;k  D k ;k  Câu 11 Các nghiệm phương trình sin2x + sin23x = cos2x + cos23x là: A x     k2;k  B x    k  k  , x   ;k  C x   k  k  , x   ;k  D x   Câu 12 Các nghiệm phương trình cos x cos5x    k  k x  B x  A x  k  k  ;k  cos6x (với k  ) là: C x  k D Câu 13 Họ nghiệm phương trình sin2x + cos24x = là: k  x   13 A  k  k  x   15 k  x   33 k   k  x   35  k  x   23 B  k  k  x   25  k  x   C  k  k  x    D  Câu 14 Họ nghiệm phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x là: k ;k   k  ;k  A B k ;k  C  k  ;k  D Câu 15 Phương trình sin23x – cos24x = sin25x – cos26x có nghiệm là: k   x  12 A  k  k  x   k  x   k    x  k2  k  x  B  k  k  x    k  x  C k    x  k  D  Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 B D B D C C C C B B C D C A B ... nghiệm phương trình x    k   k  ; x   ; x   k;k  2 10 Bài tập tự luyện Câu Nghiệm phương trình cos2x – cosx = thuộc khoảng  x   là: A x   B x   Câu Giải phương trình cos2x –. .. 24 k   Câu Phương trình cos5x.cos3x = cos 4x.cos2x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình sau đây? A sinx = cos x B cosx = C cos8x = cos6x D sin8x = cos6x Câu Phương trình cosx + 3cos2x... Vậy họ nghiệm phương trình là: x  (Thỏa mãn)   k;x  arctan  k;k  2 Ví dụ 2: Giải phương trình: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – = Lời giải Ta có: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – =  sin x 