Các bài toán về phương trình bậc nhất đối với sin và cos 1 Lý thuyết Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng a sinx + b cosx = c (với a; b là các số thực, a; b khác 0) Điều kiện có nghiệm 2 2[.]
Các tốn phương trình bậc sin cos Lý thuyết - Phương trình bậc sin cos có dạng: a.sinx + b.cosx = c (với a; b số thực, a; b khác 0) - Điều kiện có nghiệm: a b c 2 2 Các dạng tập Dạng 1: Giải phương trình bậc sin cos - Phương pháp giải: a b2 , ta được: Chia hai vế phương trình cho a a b2 b sin x * Đặt cos a b2 a a b2 c cos x ; sin a b2 (*) với 0;2 b a b2 Khi phương trình (*) đưa dạng sin x cos cos x sin sin x * Hoặc đặt sin c a b 2 c a b2 Đưa phương trình lượng giác a a b2 b ; cos a b2 với 0;2 Khi phương trình (*) đưa dạng sin x sin cos x cos cos x c a b 2 c a b2 Đưa phương trình lượng giác * Phương trình có nghiệm c a b 2 c a b c2 a b Chú ý: Các công thức đặc biệt sin x cos x sin x cos x 4 4 sin x cos x sin x cos x 4 4 - Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) sin 4x cos4x b) 5sin2x +12cos2x = 13 c) sin2x - 2cosxsinx + = Lời giải a) sin 4x cos4x Đặt cos sin 4x cos 4x (1) 2 ;sin 3 Khi (1) sin 4x cos cos 4x sin 3 sin 4x 3 k 4x k2 x 48 4x 12 k2 (k ) k 4x k2 x 4x k2 48 12 Vậy họ nghiệm phương trình là: x b) 5sin 2x 12cos2x 13 Đặt cos k 5 k ;x ; k 48 48 12 sin 2x cos 2x (2) 13 13 12 ; sin với 0;2 13 13 Khi (2) sin 2xcos cos2xsin sin 2x 2x k2 k 2x x k2 k k k Vậy họ nghiệm phương trình là: x cos k; k với 12 ; sin 13 13 c) sin2x - 2cosxsinx + = cos 2x sin 2x cos2x 2sin 2x cos2x 2sin 2x Ta thấy: 12 + 22 < 32 Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) 3sin3x cos9x 4sin 3x b) cos3x sin5x 3(cos5x sin3x) Lời giải a) 3sin3x cos9x 4sin 3x 3sin3x 4sin 3x cos9x sin9x cos9x 1 sin 9x cos9x 2 sin 9x.cos cos9x.sin 3 sin 9x 3 9x k2 9x k2 9x 7 k2 9x k2 6 k2 x 18 ,k k2 x 54 Vậy họ nghiệm phương trình là: x k2 7 k2 ; x ; k 18 54 b) cos3x sin5x 3(cos5x sin3x) cos3x sin5x cos5x 3sin3x cos3x 3sin3x cos5x sin5x 3 cos3x sin3x cos5x sin5x 2 2 cos3x cos sin 3x sin cos5x cos sin 5x sin 3 6 cos 3x cos 5x 3 6 2x k2 x k 3x 5x k2 12 (k ) 3x 5x k 2 8x k 2 x k 16 Vậy họ nghiệm phương trình là: x k k; x ; k 12 16 Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.sinx + b.cosx = c có chứa tham số m có nghiệm - Phương pháp giải: Điều kiện có nghiệm: a b c 2 - Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm Lời giải Để phương trình có nghiệm: m 1 22 m 3 2 m2 2m m2 6m 8m m Vậy m phương trình (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm Lời giải Để phương trình có nghiệm: m 1 m2 m 1 2 m2 2m m2 m2 2m m2 4m m m 4 m m m m m m m m m m Vậy m m phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm Bài tập tự luyện Câu Họ nghiệm phương trình x k A k x k 3sin 2x cos2x là: x k B k 2 x 2k x 2k C k 2 x 2k x k D k 2 x k Câu Có nghiệm thuộc khoảng 0;2 phương trình cos4x – sin4x = 1? A B C D Câu Họ nghiệm phương trình: sin3x cos3x 2cos5x là: 5 k x 48 A k x k 12 5 k x 48 C k x k 12 5 k x 48 B k x k2 12 5 k x 48 D k x k 12 Câu Tính tổng tất nghiệm phương trình cos x sin 2x sin x 2 khoảng 0;2 A 3 7 B Câu Họ nghiệm phương trình: k2 x A k k2 x k2 x C k x k2 C 21 D 11 3(sin 2x cos5x) sin5x cos 2x là: k2 x B k k x k x D k x k Câu Các nghiệm phương trình 1+ sin2x = cos 2x là: A x k2;x k2;k B x k2;x C x k;x k;k D x k2;k k;x k;k Câu Số nghiệm thuộc khoảng 0; phương trình sinx(sinx + 2cosx) = A B C D Câu Tổng nghiệm thuộc khoảng ; phương trình sin x cos x 2 sin x cos x là: A B 3 C D Câu Họ nghiệm phương trình: sin x cos x 3sin 4x là: k x A k x k 12 k x B k x k 12 k x C k k x 12 k x D k k x 12 Câu 10 Họ nghiệm phương trình: A x cos x 2sin x.cos x là: 2cos x sin x k ,k 18 C x B x k ,k 18 k2 ,k 18 D x k2 ,k 18 Câu 11 Tìm tất giá trị m để phương trình 3sinx – 4cosx = 2m có nghiệm 5 m 2 5 m 2 A B m C m D Câu 12 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình (m+1)sin2x – sin2x + cos2x = có nghiệm? A 12 B 13 C 11 D 10 Câu 13 Phương trình 2sin x cos x cos2x m có nghiệm khi: A 2 m B 2 m C m D 2 m Câu 14 Tìm m để phương trình (2m-1)cos2x + 2msinxcosx = m – vô nghiệm 1 2 C m B m (;0] ; A m D m Câu 15 Gọi M, m giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y 3sin3x cos3x Giá trị M, m là: A M = 4; m = Bảng đáp án B M = 2; m = -2 C M ;m D M = 3; m = 10 11 12 13 14 15 D D D D C C A B D D D A B D A ... Tìm m để phương trình: (m-1 )cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm Lời giải Để phương trình có nghiệm: m 1 22 m 3 2 m2 2m m2 6m 8m m Vậy m phương trình (m-1 )cosx +... m m m m m Vậy m m phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm Bài tập tự luyện Câu Họ nghiệm phương trình x k A k x k 3sin 2x cos2x... 16 Vậy họ nghiệm phương trình là: x k k; x ; k 12 16 Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.sinx + b .cosx = c có chứa tham số m có nghiệm - Phương pháp giải: Điều kiện