50 bài tập về phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx (có đáp án 2022) – toán 11

Các bài toán về phương trình bậc nhất đối với sin và cos 1 Lý thuyết Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng a sinx + b cosx = c (với a; b là các số thực, a; b khác 0) Điều kiện có nghiệm 2 2[.]

Các tốn phương trình bậc sin cos Lý thuyết - Phương trình bậc sin cos có dạng: a.sinx + b.cosx = c (với a; b số thực, a; b khác 0) - Điều kiện có nghiệm: a  b  c 2 2 Các dạng tập Dạng 1: Giải phương trình bậc sin cos - Phương pháp giải: a  b2 , ta được: Chia hai vế phương trình cho a a  b2 b sin x  * Đặt cos   a  b2 a a  b2 c cos x  ; sin   a  b2 (*) với  0;2  b a  b2 Khi phương trình (*) đưa dạng sin x cos   cos x sin    sin  x     * Hoặc đặt sin   c a b 2 c a  b2 Đưa phương trình lượng giác a a  b2 b ; cos   a  b2 với  0;2  Khi phương trình (*) đưa dạng sin x sin   cos x cos    cos  x     c a b 2 c a  b2 Đưa phương trình lượng giác * Phương trình có nghiệm  c a b 2   c  a  b  c2  a  b Chú ý: Các công thức đặc biệt     sin x  cos x  sin  x    cos  x   4 4       sin x  cos x  sin  x     cos  x   4 4   - Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) sin 4x  cos4x  b) 5sin2x +12cos2x = 13 c) sin2x - 2cosxsinx + = Lời giải a) sin 4x  cos4x   Đặt cos sin 4x  cos 4x  (1) 2    ;sin  3 Khi (1)  sin 4x cos    cos 4x sin  3    sin  4x    3     k      4x    k2  x   48   4x   12  k2   (k  )     k    4x      k2 x   4x    k2    48  12 Vậy họ nghiệm phương trình là: x   b) 5sin 2x  12cos2x  13  Đặt cos    k 5 k  ;x  ; k 48 48 12 sin 2x  cos 2x  (2) 13 13 12 ; sin   với  0;2  13 13 Khi (2)  sin 2xcos   cos2xsin    sin  2x      2x      k2  k    2x    x   k2  k      k  k    Vậy họ nghiệm phương trình là: x   cos       k; k  với 12 ; sin   13 13 c) sin2x - 2cosxsinx + =   cos 2x  sin 2x     cos2x  2sin 2x    cos2x  2sin 2x  Ta thấy: 12 + 22 < 32 Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) 3sin3x  cos9x   4sin 3x b) cos3x  sin5x  3(cos5x  sin3x) Lời giải a) 3sin3x  cos9x   4sin 3x  3sin3x  4sin 3x  cos9x   sin9x  cos9x  1  sin 9x  cos9x  2    sin 9x.cos  cos9x.sin  3    sin  9x    3       9x   k2 9x    k2        9x  7  k2 9x      k2   6  k2  x    18  ,k   k2  x    54  Vậy họ nghiệm phương trình là: x   k2 7 k2   ; x ; k  18 54  b) cos3x  sin5x  3(cos5x  sin3x)  cos3x  sin5x  cos5x  3sin3x  cos3x  3sin3x  cos5x  sin5x 3  cos3x  sin3x  cos5x  sin5x 2 2      cos3x cos  sin 3x sin  cos5x cos  sin 5x sin 3 6      cos  3x    cos  5x   3 6           2x   k2  x    k 3x   5x   k2   12    (k  ) 3x    5x    k 2 8x    k 2  x    k    16 Vậy họ nghiệm phương trình là: x     k  k; x   ; k  12 16 Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.sinx + b.cosx = c có chứa tham số m có nghiệm - Phương pháp giải: Điều kiện có nghiệm: a  b  c 2 - Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm Lời giải Để phương trình có nghiệm:  m  1  22   m  3 2  m2  2m    m2  6m   8m  m Vậy m   phương trình (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm Lời giải Để phương trình có nghiệm:  m  1  m2   m  1 2  m2  2m   m2  m2  2m   m2  4m   m  m  4   m   m    m  m   m       m   m  m     m    m  Vậy m  m  phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm Bài tập tự luyện Câu Họ nghiệm phương trình  x  k A  k    x   k  3sin 2x  cos2x   là:  x  k B  k  2 x   2k    x  2k C  k  2 x   2k   x  k D  k  2 x   k     Câu Có nghiệm thuộc khoảng  0;2  phương trình cos4x – sin4x = 1? A B C D Câu Họ nghiệm phương trình: sin3x  cos3x  2cos5x là: 5 k  x    48 A  k    x    k  12 5 k   x  48  C  k    x    k  12  5 k  x    48 B  k    x    k2  12  5 k   x  48  D  k    x    k  12   Câu Tính tổng tất nghiệm phương trình cos x  sin 2x   sin x 2 khoảng  0;2  A 3 7 B Câu Họ nghiệm phương trình:  k2  x    A  k   k2  x      k2  x    C  k   x    k2  C 21 D 11 3(sin 2x  cos5x)  sin5x  cos 2x là:  k2  x    B  k   k  x      k  x    D  k   x    k     Câu Các nghiệm phương trình 1+ sin2x = cos 2x là: A x  k2;x    k2;k  B x  k2;x  C x  k;x     k;k  D x    k2;k     k;x   k;k  Câu Số nghiệm thuộc khoảng  0;  phương trình sinx(sinx + 2cosx) = A B C D Câu Tổng nghiệm thuộc khoảng  ;   phương trình sin x  cos x  2 sin x cos x là: A  B 3 C   D  Câu Họ nghiệm phương trình: sin x  cos x  3sin 4x  là:  k  x    A  k   x     k  12   k  x    B  k   x     k  12    k  x   C  k   k  x     12  k  x   D  k   k  x     12  Câu 10 Họ nghiệm phương trình: A x  cos x  2sin x.cos x  là: 2cos x  sin x   k  ,k  18 C x    B x   k  ,k  18  k2  ,k  18 D x    k2  ,k  18 Câu 11 Tìm tất giá trị m để phương trình 3sinx – 4cosx = 2m có nghiệm 5 m 2 5  m 2 A  B m   C m  D Câu 12 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình (m+1)sin2x – sin2x + cos2x = có nghiệm? A 12 B 13 C 11 D 10 Câu 13 Phương trình 2sin x cos x  cos2x  m  có nghiệm khi: A 2  m  B 2  m  C m  D 2  m  Câu 14 Tìm m để phương trình (2m-1)cos2x + 2msinxcosx = m – vô nghiệm 1 2 C  m    B m  (;0]   ;   A m D  m  Câu 15 Gọi M, m giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y  3sin3x  cos3x  Giá trị M, m là: A M = 4; m = Bảng đáp án B M = 2; m = -2 C M  ;m  D M = 3; m = 10 11 12 13 14 15 D D D D C C A B D D D A B D A ... Tìm m để phương trình: (m-1 )cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm Lời giải Để phương trình có nghiệm:  m  1  22   m  3 2  m2  2m    m2  6m   8m  m Vậy m   phương trình (m-1 )cosx +... m   m  m     m    m  Vậy m  m  phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm Bài tập tự luyện Câu Họ nghiệm phương trình  x  k A  k    x   k  3sin 2x  cos2x...    16 Vậy họ nghiệm phương trình là: x     k  k; x   ; k  12 16 Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.sinx + b .cosx = c có chứa tham số m có nghiệm - Phương pháp giải: Điều kiện