50 bài tập về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – toán lớp 11

Các bài toán về phương trình bậc hai của hàm số lượng giác 1 Lý thuyết Một số dạng phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác 2a sin x b sin x c 0,(a 0)    2a cos x b cosx c 0,(a 0)    2a[.]

Các tốn phương trình bậc hai hàm số lượng giác Lý thuyết Một số dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác a.sin x  b.sin x  c  0,(a  0) a.cos2 x  b.cos x  c  0,(a  0) a.tan x  b.tan x  c  0,(a  0) a.cot x  b.cot x  c  0,(a  0) Phương pháp giải: Phương trình dạng Điều kiện xác định Cách làm phụ (ẩn t) f(sinx) Đặt t = sinx 1  t  f(cosx) Đặt t = cosx 1  t  f(tanx) x f(cotx)   k;k  x  k;k  Đặt t = tanx Đặt t = cotx Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình: a) 2sin2x – 5sinx + = b) 5cos2x – 6cosx + = c) tan2x + 2tanx – = Lời giải a) Đặt t = sinx với 1  t  Ta phương trình: 2t2 – 5t + =  t  2t  4t  t     2t  1 t        t   Loai  Điều kiện ẩn   x   k2  Khi sin x    k   x  5  k2   Vậy họ nghiệm phương trình là: x   5  k2;x   k2;k  6 b) Đặt t = cosx với 1  t  Ta phương trình: 5t2 – 6t + = t    5t  5t  t     5t  1 t  1    (Thỏa mãn) t   cos x   x  k2 Khi  k  1   x   arccos  k2 cos x  5    Vậy họ nghiệm phương trình là: x  k2;x   arccos  k2;k  c) Điều kiện xác định: cos x   x    k;k  Đặt t = tanx Ta phương trình: t2 + 2t – =  t  3t  t     t  3 t  1   t  3  t   x  arctan  3  k  tan x  3 Khi    k   x    k  tan x    (Thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy họ nghiệm phương trình là: x  Ví dụ 2: Giải phương trình: a) sin2x + 2cosx + =   k;x  arctan  3  k;k  b) cos2x – 4sinx = c) cos2x – 3cosx  4cos x 0 Lời giải a) sin2x + 2cosx + =   cos2 x  2cosx     cos2 x  2cosx   Đặt t = cosx với 1  t  Ta phương trình: - t2 + 2t + =    t  1 t  3   t  1   t  (Loai) Khi cos x  1  x    k2  k   Vậy họ nghiệm phương trình là: x    k2;k  b) cos2x – 4sinx =   2sin x  4sin x    2sin x  4sin x   Đặt t = sinx với 1  t  Ta phương trình: -2t2 – 4t – =  2  t  1   t  1 (Thỏa mãn) Khi đó: sin x  1  x     k2  k  Vậy họ nghiệm phương trình là: x   c) cos2x – 3cosx  4cos x 0  2cos x   3cos x   2cos2 x  cos x    cos x 0    k2;k  Đặt t = cosx với 1  t  Ta phương trình: 2t2 – t + = (*) Ta có:    1  4.2.1  7  Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: a) tanx + 5cotx = b)  3cot x   sin x Lời giải  x  k sin x  k   x  ;k  a) Điều kiện xác định:    x   k cos x    Ta có: tanx + 5cotx =  tan x  6 tan x Đặt t = tanx Ta phương trình: t   (Điều kiện: t  ) t  t   6t  t  6t   t   t    x   k  tan x   Khi   k   tan x    x  arctan  k Vậy họ nghiệm phương trình là: x     k;x  arctan  k;k  b) Điều kiện xác định: sin x   x  k;k  Vì 1 2   cot x cot x  1 nên sin x sin x Thay vào phương trình ta có:      1   sin x  sin x  3 1  20 sin x sin x Đặt t  (Vì 1  sin x  1;sin x  nên t  t  1) sin x  t  1 Ta phương trình: 3t + t – =    t   Loai   Khi   1  sin x  1  x    k2  k  sin x Vậy họ nghiệm phương trình là: x      k2;k  Bài tập tự luyện Câu Nghiệm phương trình lượng giác: 2cos2x + 3sinx – = thỏa mãn điều kiện  x  A x   là:  B x   C x   D x  5 Câu Các họ nghiệm phương trình cos2x – sinx = là: A    k2;   k2;k  B 5   k2;   k2;k  C  k2  ;k  D   k2  ;k  Câu Nghiệm dương bé phương trình: 2sin2x + 5sinx – = là: A x   B x  3 C x  5 Câu Nghiệm phương trình 2cos2x  2cos x   A x     k2;k  B x     k;k  C x     k ;k  D x     k;k  Câu Trong  0;2  , phương trình sinx = – cos2x có tập nghiệm là: D x    2   A  ; ;2  B 0;      C 0; ;   D    0; ; ;2   Câu Có nghiệm phương trình cos4x + 3sin2x + = thuộc khoảng  0;2 ? A B Câu Phương trình sin A x  k,k  C D x x  2cos   có nghiệm là: 3 B x  k3,k  C x  k2,k  D x  k6,k  Câu Họ nghiệm phương trình 3cos4x + 2cos2x – = là: A k2;k  B   k2;k  C k;k  D    k2;k  Câu Phương trình tan2x + 5tanx – = có nghiệm là: A x    k; x  arctan(6)  k ;k  B x    k2; x  arctan(6)  k2 ;k  C x     k; x  arctan(6)  k2;k  D x  k;x  arctan(6)  k;k  Câu 10 Một họ nghiệm phương trình 3tan 2x  2cot 2x   A   k  ;k  2 C  arctan k  ;k  B  k  ;k  D k arctan  ;k       Câu 11 Số nghiệm phương trình 2tanx – 2cotx – = khoảng   ;   : A B C D Câu 12 Phương trình cos2x + sin2x + 2cosx + = có nghiệm là:  x  k2 A  k    x   k2   B x     k2;k  C x  D x    k2;k  Câu 13 Các nghiệm phương trình    x   k A  k  x    k     x   k3  C  k    x   k3  tan x  cot x    là:     x   k2 B  k   x    k2     x   k  D  k    x   k  sin x Câu 14 Số nghiệm phương trình  thuộc  cos x A   k;k  B        ;0  là:   C D Câu 15 Họ nghiệm phương trình cos2x + sinx + = là: A x   C x    k2;k  B x  k;k    k2;k  D x    k;k  Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 C C D A C D D C A D D D D B A ...  Đặt t = cosx với 1  t  Ta phương trình: 2t2 – t + = (*) Ta có:    1  4.2.1  7  Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: a) tanx... 1  x    k2  k  sin x Vậy họ nghiệm phương trình là: x      k2;k  Bài tập tự luyện Câu Nghiệm phương trình lượng giác: 2cos2x + 3sinx – = thỏa mãn điều kiện  x  A x   là: ... Đặt t = sinx với 1  t  Ta phương trình: -2t2 – 4t – =  2  t  1   t  1 (Thỏa mãn) Khi đó: sin x  1  x     k2  k  Vậy họ nghiệm phương trình là: x   c) cos2x – 3cosx  4cos