50 bài tập về cách giải phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án 2022) – toán 11

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản 1 Lý thuyết a) Phương trình sin x = m Trường hợp 1 |m| > 1 Phương trình vô nghiệm Trường hợp 2 m 1 Phương trình có nghiệm Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin c[.]

Cách giải phương trình lượng giác Lý thuyết a) Phương trình sin x = m Trường hợp 1: |m| > Phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: m  Phương trình có nghiệm - Nếu m biểu diễn dạng sin góc đặc biệt thì:  x    k2 sin x  m  sin x  sin    k   x      k2  - Nếu m không biểu diễn dạng sin góc đặc biệt thì:  x  arcsin m  k2 sin x  m   k   x    arcsin m  k2  - Các trường hợp đặc biệt: sin x   x  k  k  sin x   x     k2  k    sin x  1  x    k2  k   b) Phương trình cos x = m Trường hợp 1: |m| > Phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: m  Phương trình có nghiệm - Nếu m biểu diễn dạng cos góc đặc biệt thì:  x    k2 cos x  m  cos x  cos    k   x    k2  - Nếu m không biểu diễn dạng cos góc đặc biệt thì:  x  arccos m  k2 cos x  m   k   x   arccos m  k2 - Các trường hợp đặc biệt: cos x   x    k  k  cos x   x  k2  k     cos x  1  x    k2  k   c) Phương trình: tan x = m Điều kiện: x    k  k   - Nếu m biểu diễn dạng tan góc đặc biệt thì: tan x  m  tan x  tan   x    k  k   - Nếu m không biểu diễn dạng tan góc đặc biệt thì: tan x  m  x  arctan m  k  k   d) Phương trình: cot x = m Điều kiện: x  k  k   - Nếu m biểu diễn dạng cot góc đặc biệt thì: cot x  m  cot x  cot   x    k  k   - Nếu m không biểu diễn dạng cot góc đặc biệt thì: cot x  m  x  arccot m  k  k   e) Chú ý: Nếu gặp tốn u cầu tìm số đo độ góc lượng giác cho sin (cos, tan, cot) chúng m Ví dụ: sin  x  20   ta áp dụng công thức nghiệm nêu trên, lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ cơng thức nghiệm  x  20  30  k360 Đối với ví dụ ta viết:  k  x  20   180   30   k360    x  20  30  k2 không viết  k   x  20  180  30  k2   Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác Mở rộng cơng thức nghiệm, với u(x) v(x) hai biểu thức x  u(x)  v(x)  k 2 sin u  x   sin v  x    k   u(x)    v( x)  k 2 cos u  x   cos v  x   u  x    v  x   k 2  k  tan u  x   tan v  x   u  x   v  x   k  k     cot u  x   cot v  x   u  x   v  x   k  k   Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau:   a) sin  x    3 b) 3cos(x+1) = c) tan  3x  15      x  1  3  d) cot  Lời giải a)    x    k2      3  sin  x     sin  x    sin   3 3    x        k2  3 2  x   k2  k     x    k2 Vậy họ nghiệm phương trình là: x  2  k2;x    k2;k  b) 3cos(x+1) =  cos  x  1  1  x    arccos  k2  x  1  arccos  k2  k  3 3 Vậy họ nghiệm phương trình là: x  1  arccos  k2;k  c) Điều kiện xác định: cos  3x  15   3x  15  90  k180  3x  75  k180  x  25  k60  k   Ta có: tan  3x  15    tan  3x  15  tan 60   3x  15  60  k180  3x  45  k180  x  15  k60  k   (Thỏa mãn) Vậy họ nghiệm phương trình là: x  15  k60; k       x     x  k  x   k  k  3 3  d) Điều kiện xác định: sin    cot   x    3     cot   x   3      cot   x   cot 3      x   k x   k  k  12  (Thỏa mãn) Vậy họ nghiệm phương trình là: x    k;k  12 Ví dụ 2: Giải phương trình sau:   a) sin  3x  3      sin   x   6  b) cos5x – sinx =   c) cos  2x    d) cot  x       sin   x   4 3     cot  2x  3 Lời giải   a) sin  3x  3      sin   x   6   3  11 k 11    x   4x   k2  3x    x  k2   48 12    k  3x  3      x  k2  x  19  k  2x  19  k2    12 24 Vậy họ nghiệm phương trình là: x   11 k 19  ;x   k;k  48 24    x 2  b) cos5x – sinx =  cos5x  sin x  cos5x  cos   k      x   5x   x  k2  6x   k2     12 2    k   x     k 5x     x  k2  4x     k2    2 Vậy họ nghiệm phương trình là: x    c) cos  2x    k  k  ;x    ;k  12      sin   x   4 3       cos  2x     sin   x  4  3       cos  2x    sin  x   4 3        cos  2x    cos   x   4 3  2    13 k2 13    2x    x   k2  x   3x   k2     36 12    k     2x       x    k2  x    k2 x  k2    12 12 Vậy họ nghiệm phương trình x   13 k2 7  ;x    k2;k  36 12      x    k    sin x        x   k 3  d) Điều kiện xác định:    k  k  x   sin  2x    2x  k      Ta có: cot  x  x    cot  2x  3   2x  k   3x    k  k  x    k   (Thỏa mãn) Vậy họ nghiệm phương trình là: x    k  ;k  Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = b) (cotx + 1)sin3x = c) sin 3x 0 cos3x  d) tanx.tan2x = Lời giải a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) =  cos x   1  2cos x  2   x    k2  k  0    3 – cos x  cos x   Loai  Vậy họ nghiệm phương trình x    2  k2;k  b) Điều kiện xác định: sin x   x  k  k   Ta có: (cotx + 1)sin3x =   x    k  cot x   cot x  1    k  k  sin 3x  3x  k    x    Kết hợp với điều kiện xác định ta họ nghiệm phương trình là:   x    k; x    k;k  c) Điều xác kiện cos3x    cos3x   3x  k2  x  Ta có: k2 k  định:  sin 3x k   sin3x   3x  k  x   k  cos3x   Kết hợp với điều kiện xác định ta họ nghiệm phương trình là: x  k2  k  3     x   k   x  cos x      d) Điều kiện xác định:   cos 2x   2x   k x      k k   k  tanx.tan2x = (*) Trường hợp 1: tanx = Thay vào (*) (vơ lí) Trường hợp 2: tan x   x  k  k  (*)  tan 2x   tan x  tan 2x  cot x    tan 2x  tan   x  2   2x    x  k  3x    k x  k  k   Kết hợp với điều kiện xác định ta họ nghiệm phương trình  x    k;k  Bài tập tự luyện   Câu Họ nghiệm phương trình tan  x      5  A 8  k;k  15 B  8  k;k  15 C  8  k2;k  15 D 8  k2;k  15   cos  x    với  x  2 : 3  Câu Số nghiệm phương trình: A B C   Câu Các nghiệm phương trình sin  2x  D    là: 3   x    k  ,k  A   x   k  12   x   k  ,k  B   x   k  12   x   k  ,k  C   x     k  12  k  x     ,k  D   x    k  12 Câu Các nghiệm phương trình cos  3x  15    x  25  k.120 là:  x  5  k.120 ,k  A   x  15  k.120 ,k  B   x  15  k.120  x  25  k.120  x  5  k.120 ,k  C   x  15  k.120 ,k  D   x  15  k.120 Câu Nghiệm phương trình 2sinx.cosx = là: A x  k2;k  B x    k;k  C x  k ;k  D x  k;k  Câu Phương trình tan x  tan A x  k2;k  x   k;k  x có họ nghiệm là: B x  k;k  C x    k2;k  D Câu Nghiệm phương trình sin3x = cosx là:  k   ; x   k;k  A x  k; x  k ;k  B x  C x  k; x    k;k  D x  k2; x    k2;k  Câu Nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình sin 4x + cos5x = theo thứ tự là:   ; x 18   x ; x 18 A x   B x      2 ; x 18 Câu Giải phương trình sin  4x  7 k  x    72 A  k   x    k  24 7 k   x  72  C  k  11  x   k  C x     ; x 18 D      sin  2x    4 3   7 k  x    72 B  k   x  11  2k  24  7 k   x  72  D  k  11  x   k  24    Câu 10 Nghiệm phương trình sin x 2cos x   là:  x  k A  k    x    k2    x  k B  k    x    k   x  k2 C  k    x    k2   D x     k2;k    k;k  Câu 11 Nghiệm phương trình tanx = cotx A x   k  ;k  B x   C x    k;k  D x   k  ;k  4   Câu 12 Nghiệm phương trình tan3x.cot2x = A k ,k  B   k  ,k  C k,k  D Vô nghiệm   Câu 13 Phương trình  sin x  1 sin x   có nghiệm là:   k2;k    x    k2 , x    k;k  A x   B   k2;k  C x  D x   Câu 14 Giải phương trình A x    k,  k  C x  3  k2,  k    k2;k  cos 2x 0  sin 2x   B x  3  k,  k  14  D x  3  k,  k     Câu 15 Tìm tổng nghiệm phương trình sin  5x       cos  2x   3 3  [0; ] A 7 18 B 4 18 C 47  D 47  18 Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 B B C D B A B C D A A D A D D ... nghiệm phương trình là: x    k  ;k  Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = b) (cotx + 1)sin3x = c) sin 3x 0 cos3x  d) tanx.tan2x = Lời giải a) (1 + 2cosx)(3 – cosx)... 30  k2 không viết  k   x  20  180  30  k2   Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác Mở rộng cơng thức nghiệm, với u(x) v(x) hai biểu thức x  u(x)  v(x)...  12  (Thỏa mãn) Vậy họ nghiệm phương trình là: x    k;k  12 Ví dụ 2: Giải phương trình sau:   a) sin  3x  3      sin   x   6  b) cos5x – sinx =   c) cos  2x    d)