Cách giải phương trình lượng giác cơ bản 1 Lý thuyết a) Phương trình sin x = m Trường hợp 1 |m| > 1 Phương trình vô nghiệm Trường hợp 2 m 1 Phương trình có nghiệm Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin c[.]
Cách giải phương trình lượng giác Lý thuyết a) Phương trình sin x = m Trường hợp 1: |m| > Phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: m Phương trình có nghiệm - Nếu m biểu diễn dạng sin góc đặc biệt thì: x k2 sin x m sin x sin k x k2 - Nếu m không biểu diễn dạng sin góc đặc biệt thì: x arcsin m k2 sin x m k x arcsin m k2 - Các trường hợp đặc biệt: sin x x k k sin x x k2 k sin x 1 x k2 k b) Phương trình cos x = m Trường hợp 1: |m| > Phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: m Phương trình có nghiệm - Nếu m biểu diễn dạng cos góc đặc biệt thì: x k2 cos x m cos x cos k x k2 - Nếu m không biểu diễn dạng cos góc đặc biệt thì: x arccos m k2 cos x m k x arccos m k2 - Các trường hợp đặc biệt: cos x x k k cos x x k2 k cos x 1 x k2 k c) Phương trình: tan x = m Điều kiện: x k k - Nếu m biểu diễn dạng tan góc đặc biệt thì: tan x m tan x tan x k k - Nếu m không biểu diễn dạng tan góc đặc biệt thì: tan x m x arctan m k k d) Phương trình: cot x = m Điều kiện: x k k - Nếu m biểu diễn dạng cot góc đặc biệt thì: cot x m cot x cot x k k - Nếu m không biểu diễn dạng cot góc đặc biệt thì: cot x m x arccot m k k e) Chú ý: Nếu gặp tốn u cầu tìm số đo độ góc lượng giác cho sin (cos, tan, cot) chúng m Ví dụ: sin x 20 ta áp dụng công thức nghiệm nêu trên, lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ cơng thức nghiệm x 20 30 k360 Đối với ví dụ ta viết: k x 20 180 30 k360 x 20 30 k2 không viết k x 20 180 30 k2 Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác Mở rộng cơng thức nghiệm, với u(x) v(x) hai biểu thức x u(x) v(x) k 2 sin u x sin v x k u(x) v( x) k 2 cos u x cos v x u x v x k 2 k tan u x tan v x u x v x k k cot u x cot v x u x v x k k Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) sin x 3 b) 3cos(x+1) = c) tan 3x 15 x 1 3 d) cot Lời giải a) x k2 3 sin x sin x sin 3 3 x k2 3 2 x k2 k x k2 Vậy họ nghiệm phương trình là: x 2 k2;x k2;k b) 3cos(x+1) = cos x 1 1 x arccos k2 x 1 arccos k2 k 3 3 Vậy họ nghiệm phương trình là: x 1 arccos k2;k c) Điều kiện xác định: cos 3x 15 3x 15 90 k180 3x 75 k180 x 25 k60 k Ta có: tan 3x 15 tan 3x 15 tan 60 3x 15 60 k180 3x 45 k180 x 15 k60 k (Thỏa mãn) Vậy họ nghiệm phương trình là: x 15 k60; k x x k x k k 3 3 d) Điều kiện xác định: sin cot x 3 cot x 3 cot x cot 3 x k x k k 12 (Thỏa mãn) Vậy họ nghiệm phương trình là: x k;k 12 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) sin 3x 3 sin x 6 b) cos5x – sinx = c) cos 2x d) cot x sin x 4 3 cot 2x 3 Lời giải a) sin 3x 3 sin x 6 3 11 k 11 x 4x k2 3x x k2 48 12 k 3x 3 x k2 x 19 k 2x 19 k2 12 24 Vậy họ nghiệm phương trình là: x 11 k 19 ;x k;k 48 24 x 2 b) cos5x – sinx = cos5x sin x cos5x cos k x 5x x k2 6x k2 12 2 k x k 5x x k2 4x k2 2 Vậy họ nghiệm phương trình là: x c) cos 2x k k ;x ;k 12 sin x 4 3 cos 2x sin x 4 3 cos 2x sin x 4 3 cos 2x cos x 4 3 2 13 k2 13 2x x k2 x 3x k2 36 12 k 2x x k2 x k2 x k2 12 12 Vậy họ nghiệm phương trình x 13 k2 7 ;x k2;k 36 12 x k sin x x k 3 d) Điều kiện xác định: k k x sin 2x 2x k Ta có: cot x x cot 2x 3 2x k 3x k k x k (Thỏa mãn) Vậy họ nghiệm phương trình là: x k ;k Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = b) (cotx + 1)sin3x = c) sin 3x 0 cos3x d) tanx.tan2x = Lời giải a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = cos x 1 2cos x 2 x k2 k 0 3 – cos x cos x Loai Vậy họ nghiệm phương trình x 2 k2;k b) Điều kiện xác định: sin x x k k Ta có: (cotx + 1)sin3x = x k cot x cot x 1 k k sin 3x 3x k x Kết hợp với điều kiện xác định ta họ nghiệm phương trình là: x k; x k;k c) Điều xác kiện cos3x cos3x 3x k2 x Ta có: k2 k định: sin 3x k sin3x 3x k x k cos3x Kết hợp với điều kiện xác định ta họ nghiệm phương trình là: x k2 k 3 x k x cos x d) Điều kiện xác định: cos 2x 2x k x k k k tanx.tan2x = (*) Trường hợp 1: tanx = Thay vào (*) (vơ lí) Trường hợp 2: tan x x k k (*) tan 2x tan x tan 2x cot x tan 2x tan x 2 2x x k 3x k x k k Kết hợp với điều kiện xác định ta họ nghiệm phương trình x k;k Bài tập tự luyện Câu Họ nghiệm phương trình tan x 5 A 8 k;k 15 B 8 k;k 15 C 8 k2;k 15 D 8 k2;k 15 cos x với x 2 : 3 Câu Số nghiệm phương trình: A B C Câu Các nghiệm phương trình sin 2x D là: 3 x k ,k A x k 12 x k ,k B x k 12 x k ,k C x k 12 k x ,k D x k 12 Câu Các nghiệm phương trình cos 3x 15 x 25 k.120 là: x 5 k.120 ,k A x 15 k.120 ,k B x 15 k.120 x 25 k.120 x 5 k.120 ,k C x 15 k.120 ,k D x 15 k.120 Câu Nghiệm phương trình 2sinx.cosx = là: A x k2;k B x k;k C x k ;k D x k;k Câu Phương trình tan x tan A x k2;k x k;k x có họ nghiệm là: B x k;k C x k2;k D Câu Nghiệm phương trình sin3x = cosx là: k ; x k;k A x k; x k ;k B x C x k; x k;k D x k2; x k2;k Câu Nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình sin 4x + cos5x = theo thứ tự là: ; x 18 x ; x 18 A x B x 2 ; x 18 Câu Giải phương trình sin 4x 7 k x 72 A k x k 24 7 k x 72 C k 11 x k C x ; x 18 D sin 2x 4 3 7 k x 72 B k x 11 2k 24 7 k x 72 D k 11 x k 24 Câu 10 Nghiệm phương trình sin x 2cos x là: x k A k x k2 x k B k x k x k2 C k x k2 D x k2;k k;k Câu 11 Nghiệm phương trình tanx = cotx A x k ;k B x C x k;k D x k ;k 4 Câu 12 Nghiệm phương trình tan3x.cot2x = A k ,k B k ,k C k,k D Vô nghiệm Câu 13 Phương trình sin x 1 sin x có nghiệm là: k2;k x k2 , x k;k A x B k2;k C x D x Câu 14 Giải phương trình A x k, k C x 3 k2, k k2;k cos 2x 0 sin 2x B x 3 k, k 14 D x 3 k, k Câu 15 Tìm tổng nghiệm phương trình sin 5x cos 2x 3 3 [0; ] A 7 18 B 4 18 C 47 D 47 18 Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 B B C D B A B C D A A D A D D ... nghiệm phương trình là: x k ;k Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = b) (cotx + 1)sin3x = c) sin 3x 0 cos3x d) tanx.tan2x = Lời giải a) (1 + 2cosx)(3 – cosx)... 30 k2 không viết k x 20 180 30 k2 Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác Mở rộng cơng thức nghiệm, với u(x) v(x) hai biểu thức x u(x) v(x)... 12 (Thỏa mãn) Vậy họ nghiệm phương trình là: x k;k 12 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) sin 3x 3 sin x 6 b) cos5x – sinx = c) cos 2x d)