HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 9

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 9 HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 10 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Giảng viên T S Trịnh Thị Hường Bộ môn Toán Email trinhthihuong@tmu edu vn BÀI 1 KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TR[.]

HỌC PHẦN TỐN CAO CẤP CHƯƠNG 10 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn BÀI 1: KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Sai phân Giả sử y (n) hàm số, biến n xác định 𝑍 + Giá trị hàm số n kí hiệu y(n) • Sai phân cấp hàm số y(n) n là: Δ𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 + − 𝑦(𝑛) • Sai phân cấp hai hàm số y(n) n là: Δ2 𝑦 𝑛 = Δ Δ𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 + − 2𝑦 𝑛 + + 𝑦(𝑛) Phương trình sai phân Định nghĩa 1: Giải sử y(n) hàm số đối số nguyên, chưa biết, cần tìm Đẳng thức F n, y n , Δy n , … Δk y n =0 (1) Trong khơng khuyết Δk y n , gọi phương trình sai phân cấp k Ví dụ: • Phương trình sai phân cấp có dạng: F n, y n , Δy n = (2) • Phương trình sai phân cấp viết dạng sau 𝐺 𝑛, 𝑦 𝑛 , 𝑦 𝑛 + = Nghiệm Định nghĩa 2: Nghiệm (1) hàm số mà thay vào phương trình đẳng thức BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Khái niệm a Dạng phương trình Phương trình sai phân tuyến tính (PTSPTT) cấp có dạng: 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛+1 +𝐵 𝑛 𝑦 𝑛 =𝑓 𝑛 (1) 𝐴 𝑛 , 𝐵 𝑛 𝑙à 𝑐á𝑐 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑣à 𝐴 𝑛 𝐵 𝑛 ≠ Phương trình 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + + 𝐵 𝑛 𝑦 𝑛 = gọi PTSPTT cuả PT (1) b Nghiệm Nghiệm tổng quát: Giải phương trình sai phân cấp một, kết đẳng thức dạng 𝑦 𝑛 = 𝜙(𝑛, 𝐶) C số tự Thay giá trị cụ thể 𝐶 = 𝐶0 , ta đẳng thức 𝑦 𝑛 = 𝜙(𝑛, 𝐶0 ) gọi nghiệm riêng phương trình 2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số a Dạng phương trình 𝑎𝑦 𝑛+1 +𝑏𝑦 𝑛 =𝑓 𝑛 (𝑎𝑏 ≠ 0) (1) • Phương trình tương ứng là: 𝑎 𝑦 𝑛 + + 𝑏 𝑦 𝑛 = (2) b Định lý nghiệm Nếu 𝑦 𝑛 nghiệm tổng quát phương trình (2) 𝑦(𝑛) nghiệm riêng phương trình (1) Thì 𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 + 𝑦 𝑛 nghiệm tổng quát phương trình (1) c Giải phương trình Định lý: Nghiệm tổng quát phương trình 𝑏 𝑛 𝑦 𝑛 =𝐶 − , 𝐶 𝑙à ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑡ù𝑦 ý 𝑎 Ví dụ: Giải phương trình 𝑦 𝑛 + + 4𝑦 𝑛 = d Phương pháp chọn nghiệm riêng PT không Trường hợp 1: 𝒇 𝒏 = 𝜶𝒏 𝑷𝒎 (𝒏) (𝑃𝑚 (𝑛) đa thức bậc m n) Định lý: Nếu 𝛼 ≠ − 𝑏 𝑎 nghiệm riêng tìm dạng 𝑦 𝑛 = 𝛼 𝑛 𝑄𝑚 (𝑛) 𝑄𝑚 (𝑛) đa thức bậc m, hệ số chưa biết, tìm phương pháp hệ số bất định Nếu 𝛼 = − 𝑏 𝑎 nghiệm riêng tìm dạng 𝑦 𝑛 = 𝑛𝛼 𝑛 𝑄𝑚 (𝑛) Ví dụ: Giải PTSP a) 𝑦 𝑛 + − 5𝑦 𝑛 = 3𝑛 b) 𝑦 𝑛 + − 2𝑦 𝑛 = 6.2𝑛 Trường hợp 2: 𝒇 𝒏 = 𝜶𝒏 [𝑷𝒎 𝒏 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝓 + 𝑸𝒍 𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝓] (𝑷𝒎 𝒏 , 𝑸𝒍 𝒏 đa thức tương ứng bậc m, bậc l) Định lý: Nghiệm riêng tìm dạng 𝑦 𝑛 = 𝛼 𝑛 [𝑅h 𝑛 cos 𝑛𝜙 + 𝑄ℎ 𝑛 sin 𝑛𝜙] Trong h= max {m, l} Ví dụ: Giải phương trình sai phân sau: 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑦 𝑛 + − 2𝑦 𝑛 = −2 cos − sin 2 b Giải phương trình khơng Thay n 0, 1, 2, …, n-1 CHÚ Ý  Khi sử dụng phương pháp biến thiên số thường dẫn đến phương trình tuyến tính cấp để tìm 𝐶(𝑛) dạng 𝐶 𝑛 + − 𝐶 𝑛 = 𝑔(𝑛) Trường hợp đơn giản ta thường thay giá trị cho 𝑛 cộng theo vế Khi tổng vế phải phức tạp ta để kết cơng thức tính tổng Trong trường hợp 𝑔(𝑛) viết dạng 𝑔 𝑛 = 𝛼 𝑛 𝑃𝑚 (𝑛) 𝑔 𝑛 = 𝛼 𝑛 (𝑃𝑚 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛽 ± 𝑄𝑘 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛𝛽) tìm 𝐶 𝑛 cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số  Ví dụ: Giải phương trình sai phân sau a.𝑥 𝑛 + − 3𝑛 𝑥 b 𝑥 𝑛 + − 3𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑛 𝑛+1 𝑛 = (𝑛2 −2n + 3) 𝑛 𝑛+1 2𝑛 (n + 1) III PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI HỆ SỐ HẰNG ... phương trình sai phân cấp k Ví dụ: • Phương trình sai phân cấp có dạng: F n, y n , Δy n = (2) • Phương trình sai phân cấp viết dạng sau