HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1 CHƯƠNG 7 HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 7 HÀM HAI BIẾN Giảng viên T S Trịnh Thị Hường Bộ môn Toán Email trinhthihuong@tmu edu vn I Hàm 2 biến 1 Định nghĩa (SGT trang 168) Cho t[.]
HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP CHƯƠNG HÀM HAI BIẾN Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn I Hàm biến Định nghĩa (SGT trang 168) Cho tập hợp 𝑋 ⊂ ℝ2 Một hàm biến xác định X quy tắc biến cặp (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 thành giá trị 𝑧 ∈ ℝ 𝑓: 𝑋 → ℝ 𝑥, 𝑦 ↦ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Ví dụ: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑥 + 5𝑦 𝑛ế𝑢 𝑥 = 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑛ế𝑢 𝑥 ≠ 𝑦 Tập xác định hàm biến Định nghĩa: tập hợp điểm (x,y) cho hàm số có nghĩa Ví dụ: Tìm tập xác định biểu diễn hình học TXĐ hàm số sau 𝑥+1 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥𝑦 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + II Đạo hàm riêng hàm biến ĐHR cấp 1: Cho hàm f(x,y) xác định lân cận điểm (x0, y0) ĐHR cấp theo biến x điểm (x0,y0) (nếu có) xác định sau: 𝑓𝑥′ 𝑥 , 𝑦0 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥, 𝑦0 − 𝑓(𝑥0 , 𝑦𝑜 ) = lim Δ𝑥→0 Δ𝑥 Tương tự, ĐHR cấp theo biến y điểm (x0,y0) có: 𝑓𝑦′ 𝑥0 , 𝑦0 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 + Δ𝑦 − 𝑓(𝑥0 , 𝑦𝑜 ) = lim Δ𝑦→0 Δ𝑦 Nhận xét: thực hành, muốn tính ĐHR cấp theo biến x coi y số đạo hàm hàm biến Tương tự, tính ĐHR theo y coi x số Ví dụ: Tính đạo hàm cấp riêng cấp 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 4𝑥𝑦 − 3𝑦 + 2𝑥 − 3𝑦 + ĐHR cấp 2: ′′ 𝑓𝑥𝑥 ′′ 𝑓𝑥𝑦 = (𝑓𝑥′ )′𝑥 ′′ 𝑓𝑦𝑦 = (𝑓𝑦′ )′𝑦 = (𝑓𝑥′ )′𝑦 ′′ 𝑓𝑦𝑥 = (𝑓𝑦′ )′𝑥 Chú ý: Trong chương trình học ′′ ′′ 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm sau 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑥 − 2𝑥𝑦 + III Ứng dụng để tính gần giá trị biểu thức Bài tốn: Giả sử ta cần tính giá trị hàm biến f điểm (x,y) khơng tính Ta lại biết giá trị f điểm (x0,y0) gần (x,y) Khi ta có cơng thức tính gần sau: Định lý: Nếu Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 , Δ𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 đủ bé 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥, 𝑦0 + Δ𝑦 ≈ 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 + 𝑓𝑥′ 𝑥0 , 𝑦0 Δ𝑥 + 𝑓𝑦′ 𝑥0 , 𝑦0 Δ𝑦 IV Ứng dụng để tìm cực trị hàm biến Định nghĩa cực trị tự 2.1 Định nghĩa Ta nói hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực đại (cực tiểu) điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) tồn lân cận M cho 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) (tương ứng 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦)) Cực đại cực tiểu gọi chung cực trị ... tập xác định biểu diễn hình học TXĐ hàm số sau