Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Đạo hàm và vi phân hàm một biến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Đạo hàm và vi phân hàm một biến. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: định nghĩa; các qui tắc tính đạo hàm; bảng công thức tính đạo hàm cơ bản; đạo hàm 1 phía;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chƣơng ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Đạo hàm a Định nghĩa Giả sử hàm số 𝑓(𝑥) xác định lân cận 𝑥 (kể 𝑥), với ∆𝑥 đủ bé trị tuyệt đối ta xét giới hạn sau: 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥) lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 - Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói hàm số có đạo hàm hay khả vi 𝑥 Đạo hàm đƣợc kí hiệu 𝑓 ′ (𝑥) - Nếu giới hạn vơ hạn ta nói hàm số có đạo hàm ∞ 𝑥 nhƣng không khả vi 𝑥 Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số ln⁡ (1 + 𝑥 ) 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≠ 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑥 = b Các qui tắc tính đạo hàm c Bảng cơng thức tính đạo hàm d Đạo hàm phía - Đạo hàm phải 𝑓 ′ 𝑥0+ = 𝑓 𝑥 +∆𝑥 −𝑓(𝑥 ) lim∆𝑥→0+ ∆𝑥 - Đạo hàm trái 𝑓 ′ 𝑥0− 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) = lim− ∆𝑥→0 ∆𝑥 Định lí: Điều kiện cần đủ để hàm 𝑓(𝑥) có đạo hàm hữu hạn (hay khả vi) điểm 𝑥0 tồn đạo hàm phải hữu hạn đạo hàm trái hữu hạn 𝑓(𝑥) 𝑥0 chúng nhau, tức là: 𝑓 ′ 𝑥0+ = 𝑓 ′ 𝑥0− ′ − Khi đó: 𝑓 ′ 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥+ = 𝑓 𝑥 Các khái niệm 1.1 Định nghĩa Cho tập 𝐷 ⊂ ℝ, hàm 𝑓 từ 𝐷 vào ℝ qui tắc đặt tƣơng ứng giá trị 𝑥 ∈ 𝐷 với giá trị 𝑦 ∈ ℝ theo đẳng thức: 𝑦 = 𝑓(𝑥) • D: tập xác định 𝑓 • 𝑓 𝐷 = {𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐷}: Tập giá trị hàm số • Tập cặp điểm {(𝑥, 𝑓 𝑥 ): 𝑥 ∈ 𝐷} hệ tọa độ Oxy gọi đồ thị hàm số 1.2 Các phép tính hàm số a Cộng, trừ, nhân, chia b Hàm hợp Cho hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ 𝑋 TGT 𝑌 Hàm số 𝑧 = 𝑔(𝑦) với TXĐ 𝑌1 TGT 𝑍 Nếu 𝑌 ⊂ 𝑌1 ta xác định hàm số từ 𝑋 vào 𝑍 nhƣ sau 𝑧 = 𝑔 𝑓 𝑥 ≔ 𝑕(𝑥) Hàm số gọi hàm số hợp 𝑔 𝑓 Kí hiệu 𝑕 = 𝑔 ∘ 𝑓 Ví dụ 1: Cho 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 4, 𝑔(𝑦) = tan 𝑦 ta có hàm số hợp 𝑕 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔 𝑓 𝑥 = tan(𝑥 − 2𝑥 + 4) c Hàm ngƣợc Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ 𝐷 tập giá trị 𝑌 Nếu phƣơng trình 𝑦 = 𝑓 𝑥 có nghiệm 𝑥 ∈ 𝐷 ta xác định hàm số 𝑥 = 𝑔 𝑦 ,𝑦 ∈ 𝑌 Thỏa mãn 𝑓 𝑔 𝑦 = 𝑦, ∀𝑦 ∈ 𝑌, hàm g xác định nhƣ gọi hàm số ngƣợc hàm 𝑓, ký hiệu 𝑔 = 𝑓 −1 Lƣu ý: - Ta thƣờng coi 𝑥 biến, 𝑦 hàm số nên hàm số ngƣợc hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 - Nếu vẽ hệ tọa độ hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) hàm ngƣợc 𝑦 = 𝑔 𝑥 đối xứng qua đƣờng phân giác y = x 1.3 Các hàm số sơ cấp a Hàm lũy thừa: 𝑦 = 𝑥 𝛼 b Hàm mũ: 𝑦 = 𝑎 𝑥 , (𝛼 − 𝑕ằ𝑛𝑔 𝑠ố) (0 < 𝑎 ≠ 1) c Hàm lôgarit: 𝑦 = log 𝑎 𝑥 , d Các hàm lƣợng giác sin 𝑥; cos 𝑥; (0 < 𝑎 ≠ 1) tan 𝑥; e Các hàm lƣợng giác ngƣợc: cot 𝑥 1) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝑥 = sin 𝑦 𝜋 𝑦 = arcsin 𝑥 ⇔ −𝜋 ≤𝑦≤ 2 𝑦 tính theo đơn vị rad Ví dụ −1 − − 2 arcsin 𝑥 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 𝑥 -1 𝜋 Tính chất  Tập xác định [-1; 1]  Hàm arcsin 𝑥 đồng biến [-1; 1] −𝜋 𝜋  Tập giá trị [ ; ] 2 2 𝜋 𝜋 𝜋 2) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝑥 = cos 𝑦 𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 𝑦 tính theo đơn vị rad Ví dụ: -1 𝑥 −1 − − 2 2 2 arccos 𝑥 𝜋 5𝜋 3𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 6 Tính chất  Tập xác định [-1; 1]  Hàm arccos 𝑥 nghịch biến [-1; 1]  Tập giá trị [0 ; 𝜋] 3) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝑥 = tan 𝑦 𝜋 𝑦 = arctan 𝑥 ⇔ −𝜋