BÀI TẬP KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần Toán Cao Cấp 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HCM KHOA HỆ THỐNG THÔNG TIN QUẢN LÝ BÀI TẬP KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Toán Cao Cấp Họ tên sinh viên: Đặng Nguyễn Thanh Thảo MSSV: 030237210169 Mã lớp học phần: AMA301_211_D01 STT: 44 Giảng viên hướng dẫn: Phạm Quốc Trung Điểm (số) Điểm (chữ) GV chấm 1 GV chấm TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Mơn thi: TOÁN CAO CẤP 01 Họ tên sinh viên: Đặng Nguyễn Thanh Thảo MSSV: 030237210169 Lớp học phần: AMA301_211_D01 THÔNG TIN BÀI THI Bài thi có: (bằng số): 15 trang (bằng chữ): mười lăm trang YÊU CẦU Câu (4 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B b) Định lý số nghiệm hệ phương trình Mỗi trường hợp cho ví dụ minh họa, ma trận A có dịng c) Xét hệ phương trình sau ax1  x2  x3   a   x1  bx2  x3   b  x  x  cx   c  Trong a ngày sinh, b tháng sinh c năm sinh bạn Hãy giải phương trình cách Câu (3 điểm) a) Trình bày cách tính định thức ma trận vng cấp Mỗi cách cho ví dụ minh họa? b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận? Cho ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)? c) Hãy cho ví dụ để vận dụng tính khả nghịch ma trận việc giải phương trình ma trận sau AX  B, XA  B, AXB  C Câu (3 điểm) Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau a) Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vector Cho ví dụ minh họa? b) Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất? Hãy cho ví dụ minh họa xác định số chiều sở c) Xét khơng gian R4 , cho ví dụ không gian nằm không gian R có số chiều Xác định sở cơng thức biểu diễn tọa độ vector nằm khơng gian với sở trên? BÀI LÀM Câu 1: Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau a) Thuật tốn Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX = B - Trước tìm hiểu thuật tốn Gauss-Jordan dùng để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B, ta phải biết hệ phương trình tuyến tính AX=B  Bài tốn giải hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình bậc theo n ẩn thường có dạng tổng qt sau: Tìm x1, x2,…, xn để thỏa mãn phương trình 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 { 21 … 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 + Trong đó: aij ∈ R hệ số phương trình thứ i ẩn xj , bi ∈ R hệ số tự phương trình thứ i, xj ẩn số (i=1,…,m; j=1, ,n) + Nếu hệ số tự hệ gọi hệ phương trình tuyến tính R Ví dụ: Cho hệ phương trình tuyến tính: { 2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 3𝑥1 + 7𝑥2 + 6𝑥3 = (*) Từ hệ phương trình tuyến tính ta có: 𝑥1 3 A=( ); X = (𝑥2 ); B = ( ) 𝑥3 Ta gọi, A ma trận hệ số, X cột ẩn, biến, B cột hệ số tự hệ phương trình Khi đó, hệ phương trình tuyến tính (*) dạng ma trận AX=B Ta gọi, 3 𝐴̅ = (𝐴 | 𝐵) = ( | ) ma trận mở rộng (ma trận bổ sung) hệ phương trình - Trong đại số tuyến tính, phép khử Gauss thuật tốn sử dụng để tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng (hay rank) ma trận để tính ma trận nghịch đảo ma trận vuông khả nghịch Phép khử Gauss đặt theo tên người phát minh Carl Friedrich Gauss (1777–1855) - nhà toán học nhà khoa học người Đức tài năng, người có nhiều đóng góp lớn cho nhiều lĩnh vực khoa học, lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, tĩnh điện học, thiên văn học quang học - Phương pháp khử Gauss nhà toán học Wilhelm Jordan cải tiến sách năm 1888 đặt tên phương pháp khử Gauss - Jordan - Phương pháp Gauss - Jordan (hoặc phương pháp loại bỏ hoàn toàn liên tiếp ẩn số) phương pháp dùng cách khử dần ẩn để đưa hệ phương trình cho dạng ma trận đường chéo giải hệ phương trình mà khơng phải tính định thức (có thể giải ma trận nào: chưa biết trước, tương thích hay khơng tương thích) Nó cho phép bạn giải hệ thống chung xác minh tính khơng qn hệ thống không quán - Phương pháp Gauss - Jordan cho phép giải hệ phương trình tuyến tính tìm nghịch đảo ma trận khả nghịch Nó sử dụng ba phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận hệ số dạng ma trận bậc thang tối giản theo hàng: Hốn đổi vị trí dịng i dịng j (i ≠ j) Kí hiệu: 𝑑𝑖 ↔ 𝑑𝑗 Nhân tất phần tử dòng i với số α ≠ Kí hiệu: 𝛼𝑑𝑖 Cộng vào dòng i lượng β lần dòng j (β khác 0) (i ≠ j) Kí hiệu: 𝑑𝑖 + 𝛽𝑑𝑗 - Ý tưởng phương pháp khử Gauss - Jordan: Khử dần ẩn phương trình để đưa hệ phương trình cho thành hệ phương trình tương đương có ma trận tương ứng ma trận dạng bậc thang tối giản giải hệ phương trình này, nhiên loại trừ ẩn trước tùy thuộc cách chọn phần tử trội hệ số aij Nếu phép khử Gauss biến hệ số bên cột với phần tử trụ 0, hàng xuống hàng phép khử Gauss Jorrdan cải tiến việc đưa hệ số cột phần tử trụ - Để giảm sai số phép chia thực phép biến đổi sơ cấp, nên thực chọn trội cách hợp lý Trường hợp lý tưởng hệ số trội 1, phép tính thực mà khơng có sai số Các bội số lựa chọn tốt, nhiên hệ số có giá trị khơng phải lúc xuất hiện, cách ổn khác chọn hệ số có giá trị tuyệt đối lớn ma trận hệ số để làm giảm khả phải thực phép chia cho số nhỏ - Thuật toán Gauss - Jordan phương pháp tiếng sử dụng rộng rãi để giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp ma trận phương pháp Cramer có nhược điểm chúng không đưa câu trả lời trường hợp det(A) = 0, xác định nghiệm det(A) ≠ Hơn số lượng phép tính tốn học phương pháp tăng mạnh với gia tăng số lượng phương trình Trên thực tế, phương pháp Gauss - Jordan không mắc phải nhược điểm b) Định lý số nghiệm hệ phương trình Mỗi trường hợp cho ví dụ minh họa, ma trận A có dịng - Nghiệm hệ phương trình tuyến tính có dạng AX = B số (x1, x2,…, xn) = (c1, c2,…, cn) cho thay vào hệ phương trình thỏa mãn - ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT: Cho hệ phương trình AX = B với m phương trình k ẩn Ta có trường hợp số nghiệm hệ phương trình tuyến tính:  Hệ phương trình có nghiệm (x1;x2;…;xk) = (α1, α2,…, αk)  r(𝐴̅) = r(A) = k 𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính {2𝑥1 + 𝑥2 + 14𝑥3 = 𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 1 2 𝑑𝑑2==𝑑𝑑2 −−2𝑑 3 𝑑1 (𝐴|𝐵) = (2 14 | 9) → (0 − 10 | 0 −1 𝑑2= −1𝑑2 2 ) → ( | − −1) 0 −1 𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑥1 = 29 𝑥2 − 2𝑥3 = −1  {𝑥2 = −7 Ta có, hệ phương trình  { −𝑥3 = 𝑥3 = −3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = (29; −7; −3)  Hệ phương trình vơ nghiệm  r(𝐴̅) ≠ r(A) 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính { 3𝑥1 + 7𝑥2 + 2𝑥3 = −𝑥2 − 5𝑥3 = − 𝑑2 = 𝑑2−3𝑑1 − 𝑑3 = 𝑑3+ 𝑑2 − (𝐴|𝐵) = ( | 1) → ( | 1) → ( | 1) −1−5 −1 −5 0 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 𝑥2 + 5𝑥3 = Ta có, hệ phương trình  { = (𝑣ơ 𝑙í) Vậy, hệ phương trình vơ nghiệm  Hệ phương trình có vơ số nghiệm  r(𝐴̅) = r(A) < k Trong trường hợp này, hệ phương trình tuyến tính có m phương trình k ẩn ta có k-m ẩn tự 2𝑥1 − 2𝑥2 + 7𝑥3 = Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính { 𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = −3𝑥1 + 3𝑥2 − 9𝑥3 = −12 𝑑 = 𝑑 −2𝑑 2 −2 −1 −1 𝑑3 =𝑑3 +3𝑑1 𝑑2 ↔𝑑1 (𝐴|𝐵) = ( − | ) → ( −2 | ) → ( 0 |−3) −3 − −12 −3 − −12 0 0 Hệ phương trình  { 𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = 𝑥3 = −3 = (𝑙𝑢ô𝑛 đú𝑛𝑔)  { 𝑥1 − 𝑥2 = −5 𝑥3 = −3 Ta thấy phương trình, ẩn => có 3-2=1 ẩn tự Đặt 𝑥2 = t ∈ R => 𝑥1 = t – Nghiệm tổng quát hệ phương trình (𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = (𝑡 − 5; 𝑡; −3) ∀t ∈ R Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm c) Xét hệ phương trình sau 𝑎𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = + 𝑎 {𝑥1 + 𝑏𝑥2 + 𝑥3 = + 𝑏 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑐𝑥3 = + 𝑐 Trong a ngày sinh, b tháng sinh c năm sinh bạn Hãy giải phương trình cách 6𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = Ta có, hệ phương trình: { 𝑥1 + 𝑥2 + 2003𝑥3 = 2005  Cách 1: Phương pháp Gauss 1 𝑑2 ↔𝑑1 (𝐴|𝐵) = ( | ) → ( 1 2003 2005 ( 𝑑2 ↔𝑑3 ( − 11 − | −16 ) → − 2002 2001 ( −1 2002 | 2001 ) 0 − 22027 −22027 𝑑2 =𝑑2 −6𝑑1 𝑑3 =𝑑3 −𝑑1 1 | ) → 1 2003 2005 −1 − 11 𝑑3 = 𝑑3 −11𝑑2 2002 | 2001 ) → −5 −16 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 𝑥1 = −𝑥 + 2002𝑥 = 2001 𝑥 Ta có, hệ phương trình  {  { 2=1 −22027𝑥3 = −22027 𝑥3 = Vậy hệ phương trình có nghiệm (𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = (1; 1; 1)  Cách 2: Phương pháp thế: rút ẩn từ phương trình thay vào phương trình cịn lại 6𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = (1) 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = (2) { 𝑥1 + 𝑥2 + 2003𝑥3 = 2005 (3) Từ phương trình (2) ta có 𝑥3 = − 𝑥1 − 2𝑥2 𝑥3 = − 𝑥1 − 2𝑥2 𝑥3 = − 𝑥1 − 2𝑥2 6𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5𝑥1 − 𝑥2 = Hệ phương trình  {  { 𝑥1 + 𝑥2 + 2003𝑥3 = 2005 2002𝑥1 + 4005𝑥2 = 6007 𝑥3 = − 𝑥1 − 2𝑥2 𝑥3 = − 𝑥1 − 2𝑥2 𝑥3 = − 𝑥1 − 2𝑥2 𝑥2 = 5𝑥1 − 𝑥2 = 5𝑥1 − 𝑥2 = 5𝑥1 −  {  {  { 22027𝑥1 = 22027 𝑥1 = 2002𝑥1 + 4005𝑥2 = 6007 𝑥1 =  {𝑥2 = 𝑥3 = Vậy hệ phương trình có nghiệm (𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = (1; 1; 1)  Cách 3: Dùng ma trận nghịch đảo 𝐴−1: AX=B  X=𝐴−1.B 1 Ta có: A = ( => |𝐴| = | 5.(-1)1+1 | 1 1 1 ) 2003 𝑥1 𝑥 X = ( 2) B = ( ) 𝑥3 2005 d1 = d1 – d2 | 2003 | −1 | 1 2003 dòng 1 | + (-1) (-1)1+2 | | = (2003.2 - 1) + (2003 – 1) = 22027 ≠ 2003 2003 => ma trận A khả nghịch 1 Mặt khác: AX=B  X=𝐴−1.B = ( −1 ) ( )  X = ( ) 2003 2005 1  Cách 4: Quy tắc Cramer (dùng định thức) ∆= |𝐴| = | 1 1 | = 22027 2003 ∆2 = |𝐴2 | = | 1 1 ∆1 = |𝐴1 | = | | = 22027 2005 2003 | = 22027 2005 2003 ∆3 = |𝐴3 | = | 1 | = 22027 2005 Vì ∆ ≠ nên hệ phương trình có nghiệm là: 𝑥1 = ∆1 ∆ = 1; 𝑥2 = ∆2 ∆ = 1; 𝑥3 = ∆3 ∆ =1 Câu 2: a) Trình bày cách tính định thức ma trận vuông cấp Mỗi cách cho ví dụ minh họa?  Phương pháp 1: Khai triển định thức theo dòng cột - Định nghĩa: Cho A = ( aij ) ∈ Mn (R) Với i, j ∈ 1, 𝑛 ta gọi cij = (−1)i+j | A(i|j) | phần bù đại số hệ số aij -Định lý: Cho A = ( aij ) ∈ Mn (R) Với i, j ∈ 1, 𝑛, gọi cij phần bù đại số aij Ta có cơng thức khai triển |A|  theo dòng i: |A| = ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 𝑐𝑖𝑘 = ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 (−1)i+k | A(i|k) | 𝑛 𝑛  theo cột j: |A| = ∑𝑘=1 𝑎𝑘𝑗 𝑐𝑘𝑗 = ∑𝑘=1 𝑎𝑘𝑗 (−1)k+j | A(k|j) | - Bản chất phương pháp: Đưa định thức dạng tam giác dưới, khai triển định thức theo hàng (cột) có nhiều số (vì định thức ma trận khơng đổi, có nhiều số bớt phép tính tốn đại số) - Nếu định thức có sẵn dịng cột ta khai triển ln Cịn định thức chưa có, ta dùng số tính chất định thức để biến đổi đưa trường hợp o Tính chất 1: Đổi chỗ hàng (hoặc cột) định thức đổi dấu o Tính chất 2: Nhân hàng (hoặc cột) với số K ≠ định thức nhân với 𝐾 o Tính chất 3: Nhân hàng (hoặc cột) với số K ∈ R cộng vào hàng (cột) khác định thức khơng đổi Ví dụ: Tính định thức ma trận A = ( ) |𝐴|= | | dòng d2 = d2 d2 = d2 – d3 | | 2 | − | 2.[-1 (-1)2+2 | | ]= 2.[-1.(3.0 – 2.1)] = 2.2 =  Phương pháp 2: Sử dụng quy tắc Sarrus - Quy tắc Sarrus phép tính phương pháp ghi nhớ để tính định thức ma trận 3×3 Nó đặt theo tên nhà tốn học người Pháp kỷ 19 - Pierre Frederic Sarrus - Quy tắc Sarrus cho phép có tầm nhìn đơn giản nhiều tính tốn đường chéo định thức Nó đơn giản hóa cách thêm hai cột vào mặt sau ma trận Bằng cách này, bạn thấy rõ đường chéo bạn đường chéo để tính tốn - Các bước tính định thức theo phương pháp Sarrus 𝑎11 𝑎12 𝑎13  Bước 1: Cho ma trận vuông cấp 3: A = (𝑎21 𝑎22 𝑎23 ) 𝑎31 𝑎32 𝑎33  Bước 2: Ghép thêm cột thứ cột thứ hai vào bên phải định thức nhân phần tử đường chéo quy tắc thể hình 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎11 𝑎12 |𝑎21 𝑎22 𝑎23 | 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎31 𝑎32 Dấu - Dấu +  Bước 3: Tính định thức: Ta lấy tổng ba đường chéo xanh lam trừ tổng ba đường chéo đỏ Hay ta viết lại dạng công thức là: det(A) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) – (a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12) Ví dụ: Tính định thức ma trận vuông 3x3 sau: A = ( ) 6 Ta có: |𝐴| = | | = | | = (6.3.2 + 1.7.1 + 4.2.3) - (1.3.4 + 3.7.6 + 3 2.2.1) = 67 - 142 = -75 b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận? Cho ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4) - Định nghĩa ma trận khả nghịch: o Cho ma trận A vng cấp n Ta nói A ma trận khả nghịch, tồn ma trận B vuông cấp n cho: A.B = B.A = In (1) Khi đó, B gọi ma trận nghịch đảo ma trận A, ký hiệu A-1 o Như vậy: A.A-1 = A-1.A = In o Nếu A ma trận khả nghịch ma trận B thỏa điều kiện (1) - Phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận: Sử dụng định thức  Nếu det(A) = => ma trận không khả nghịch  Nếu det(A) ≠ => ma trận khả nghịch 2 Ví dụ 1: Xác định tính khả nghịch ma trận sau đây: A = ( ) 2 c1 = c1 – c3 d3 = d3 – d2 cột |𝐴| = | | | 1| | 1| 7 (-1)2+1.| | = -2 (1.3 – 2.2) = ≠ => A ma trận khả nghịch −3 Ví dụ 2: Xác định tính khả nghịch ma trận sau: A = ( 9 7 c2 = c2 + c1 dòng −3 0 −3 0 |𝐴| = | | | | 9 9 1 ) (-3) (-1) | 9| 2+1 −4 dòng | | [−4 (−1)1+2 | | + (−1)1+3 | |] 9 = [4 (8.1 – 9.9) + (8.5 – 2.9)] = (-160) = -480 ≠ Vậy ma trận A khả nghịch d1 = d1 – d3 c) Hãy cho ví dụ để vận dụng tính khả nghịch ma trận việc giải phương trình ma trận sau AX  B, XA  B, AXB  C i Giải phương trình AX = B  A-1.A.X = A-1.B  X = A-1.B 1 Ví dụ: Cho A = ( ) B = ( −1 ) Tìm X để AX = B * Kiểm tra tính khả nghịch A: 1 0 dòng c2 = c2 – c1 |𝐴| = | 9| | −1 | 3 = (-7 – 9.3) = -34 ≠ => ma trận A khả nghịch 1 −1 => ma trận nghịch đảo A A-1 = ( ) 1 Ta có: AX = B => X = A B = ( -1 = 34 −35 ( 34 ii 63 34 17 59 17 −24 17 177 34 −7 17 13 34 17 −65 −8 34 (-1)1+1 | −1 ) ( −1 ) 126 177 = ( 59 10 − 26 ) 34 −35 − 48 − 65 − 16 17 ) Giải phương trình XA = B  X.A.A-1 = B.A-1 => X = B.A-1 −1 Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa: X ( ) = ( −1 * Kiểm tra tính khả nghịch A: c3 = c3 + c1 −1 |𝐴| = | | | −1 −1 3 | −1 ) 3 dòng 3 | = (3.2 + 3.1) = ≠ => ma trận A khả nghịch −1 −1 −1 => ma trận nghịch đảo A A-1 = ( ) −1 1.(-1)1+1 | -1 Ta có: XA = B => X = B.A = ( 1 −1 ).( 3 10 −1 −1 ) −1 −1 | = ( iii 16 −17 10 9 −2 = 1 ( 12 16 − ) −17 10 3) Giải phương trình AXB = C  A-1.A.X.B.B-1 = A-1.C.B-1 => X = A-1.C.B-1 −2 Ví dụ: Cho A = ( ) B = (3 * Kiểm tra tính khả nghịch A: |𝐴| = |1 − 2| = 3.1 + 2.2 = ≠ 1 −2 ) Tìm X để AXB = C 5) C = ( 2 => ma trận A khả nghịch => ma trận nghịch đảo A A-1 = ( − −1 ) * Kiểm tra tính khả nghịch B: c2 = c2 – 2c1 cột |𝐵| = | | | | 1 −1 = (2.5 – 1.3) = ≠ => ma trận B khả nghịch −1 => ma trận nghịch đảo B B-1 = ( ) 1 2 (-1) (-1)3+2 | − −1 −2 -1 -1 Ta có: AXB = C  X = A C.B = ( ) ( ).( 1 38 49 = ( −51 49 −37 49 69 49 −3 ) = 49 ( | −1 5) 38 − 37 98 ) −51 69 − 147 Câu Hãy trình bày theo hiểu biết em nội dung sau a) Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vector Cho ví dụ minh họa - Định nghĩa: Cho tập S = {u1, u2,…, un} họ vecto ⊂ không gian vecto V Xét phương trình: (*) α1 𝑢1 + α2 𝑢2 + ⋯ + α𝑛 𝑢𝑛 =  Nếu (*) có nghiệm α1 = α2 = ⋯ = α𝑛 = u1 , u2 , … , u𝑛 độc lập tuyến tính  Nếu (*) có vơ số nghiệm u1 , u2 , … , u𝑛 phụ thuộc tuyến tính - Trong tập vectơ phụ thuộc tuyến tính, ln có vectơ biểu diễn dạng tuyến tính vectơ cịn lại 11 - Một số tính chất độc lập phụ thuộc tuyến tính o Mệnh đề 1: 1.1 Hệ gồm vectơ α độc lập tuyến tính α ≠ θ 1.2 Mọi hệ vectơ chứa vectơ θ phụ thuộc tuyến tính 1.3 Mọi hệ vectơ chứa hai vectơ tỉ lệ với phụ thuộc tuyến tính 1.4 Một hệ gồm m vectơ (m > 1) phụ thuộc tuyến tính có vectơ biểu thị tuyến tính qua vectơ lại o Mệnh đề 2: Nếu hệ gồm vectơ α1 , α2 , … , α𝑛 độc lập tuyến tính β vectơ khơng biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ cho hệ vectơ α1 , α2 , … , α𝑛 , β độc lập tuyến tính o Mệnh đề 3: 3.1 Nếu ta thêm số vectơ vào hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 3.2 Nếu bớt số vectơ hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ độc lập tuyến tính - Ý nghĩa hình học độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính o Trong không gian vectơ mặt phẳng, hệ gồm hai vectơ độc lập tuyến tính chúng không phương o Trong không gian vectơ hình học chiều, hệ ba vectơ độc lập tuyến tính chúng khơng đồng phẳng - Ngoài cách xác định tập {u1, u2, , um} khơng gian Rn độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính định nghĩa, ta cịn kiểm tra hạng/ định thức:  Bước 1:Lập ma trận A gồm vecto dòng (hoặc cột) r(A) = r(AT)  Bước 2: + r(A) = n (số vectơ)  {u1, u2, , um} độc lập tuyến tính + r(A) < n (số vectơ)  {u1, u2, , um} phụ thuộc tuyến tính  Trường hợp A ma trận vng ta cịn sử dụng định thức để xác định tính khả nghịch ma trận: det(A) = det(AT) + det(A) ≠  {u1, u2, , um} độc lập tuyến tính + det(A) =  {u1, u2, , um} phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 1: Trong khơng gian R4 Xét tính độc lập / phụ thuộc tuyến tính vecto sau u1 = {1; 3; 0; 3) u3 = {3; 8; 2; 4) u2 = {2; 7; 1; 9) u4 = {-1; 1; 3; 2} Xét phương trình α1 𝑢1 + α2 𝑢2 + 𝛼3 𝑢3 + α4 𝑢4 = A=( −1 1 3 𝑑2 =𝑑2 −2𝑑1 ) 𝑑3=𝑑3−3𝑑1 → d4 = d4 + d1 ( −1 12 =𝑑3 +𝑑2 𝑑𝑑3=𝑑 ) 4−4𝑑2 −5 → ( 0 3 𝑑 ↔𝑑 1 ) →3 ( −2 0 −1 −7 α1 + 3α2 + α4 = α + α3 + 3α4 = Ta có: { −α3 − 7α4 = −23α4 =  3 𝑑 =𝑑 +3𝑑 1 ) →4 ( −1 −7 0 −2 3 1 ) −1 −7 0 − 23 α1 = α =0 { α3 = α4 = Do hệ phương trình có nghiệm α1 = α2 = α3 = α4 = nên u1, u2, u3, u4 độc lập tuyến tính Ví dụ 2: Các vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính a) u1 = {-1; 3; 2; 5}; u2 = {3; -7; 2; -9}; u3 = {1; 0; 10; 4} +3𝑑1 −1 𝑑𝑑2=𝑑 −1 𝑑2=1𝑑2 =𝑑3 +𝑑1 A = ( − − 9) → (0 6) → 10 12 −1 (0 12 𝑑3=𝑑3−3𝑑2 −1 ) → ( ) Ta có r(A) = < số vecto => u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính b) u1 = {1; 3; 3}; u2 = {2; 5; 6}; u3 = {2; 0; 1} 3 dòng 3 3 |𝐴| = | | (-1)3+1 | | + (-1)3+3 | | = 2.(3.6 – 3.5) + (5 – ) = ≠ => u1, u2, u3 độc lập tuyến tính b) Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất? Hãy cho ví dụ minh họa xác định số chiều sở - Giả sử cho không gian W = {(x1, x2, x3) ∈ R3| 2x1 + 3x2 − 5x3 = 0; x1 + 2x2 + x3 = 0} W không gian gồm tất nghiệm hệ phương trình tuyến tính AX = 2𝑥 + 3𝑥2 − 5𝑥3 = { 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = Khi đó, W gọi khơng gian nghiệm hệ phương trình - Các bước xác định sở số chiều cho không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính  Bước 1: Giải hệ phương trình phương pháp Gauss (đưa ma trận bậc thang) Đưa nghiệm tổng quát hệ  Bước 2: Số chiều không gian nghiệm W: dim W = số ẩn tự 13 Cơ sở không gian nghiệm W: Cho ẩn tự 1, ẩn tự lại cho vecto sở Ví dụ: Xác định sở số chiều không gian nghiệm W không gian R3 ứng 𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 5𝑥4 = với hệ phương trình: {2𝑥1 − 𝑥2 − 5𝑥3 + 12𝑥4 = 𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 𝑑2 =𝑑2 −2𝑑1 −2 𝑑3 =𝑑3 −𝑑1 A = ( − − 12) → −1 3 −2 𝑑2 ↔𝑑3 ( −7 −1 2) → 1 −2 − 𝑑3=𝑑3+7𝑑2 (0 ) → ( 1 −2 0 −7 −1 −2 𝑑3 = 𝑑3 ) → ( 1 −2 0 − 12 −2 1 −2) −2 𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 5𝑥4 = 𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 = Ta có, hệ phương trình  { 𝑥3 − 2𝑥4 = Đặt x4 = α ∈ R => x3 = 2α => x2 = => x1 = - α Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình (𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ; 𝑥4 ) = (−α; 0; 2α; α) => dim W = => sở W 𝑣1 = {(-1;0;2;1)} c) Xét không gian R4 , cho ví dụ khơng gian nằm khơng gian R có số chiều Xác định sở cơng thức biểu diễn tọa độ vector nằm không gian với sở trên? Ví dụ: Xác định số chiều sở không gian W sau W = = {𝑎 − 𝑏 + 2𝑐; 3𝑎 + 9𝑐; 2𝑎 + 𝑏 + 7𝑐; −𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 ∈ 𝑅3 | 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅} Giải Ta có tập sinh S = {(1; 3; 2; −1); (−1; 0; 1; 4); (2; 9; 7; 1)} =𝑑2 +𝑑1 − 𝑑𝑑2=𝑑 −1 3 −2𝑑1 A = ( −1 ) → ( 3 3) 3 3 −1 → ( 3 ) 0 0 => dim W = r(A) = => sở không gian W B = {𝑢1 = (1; 3; 2; −1); 𝑢2 = (0; 3; 3; 3)} Gọi u = (x;y;z;t) ∈ R4 Xét phương trình: α1 𝑢1 + α2 𝑢2 = u (có nghiệm) 𝑑3 =𝑑3 −𝑑2 14 (𝐴|𝑏 ) = ( −1 𝑥 𝑑2 =𝑑2 −3𝑑1 𝑑 =𝑑 −2𝑑 𝑦 3 | ) → ( 𝑧 d4 = d4 + d1 𝑡 Để hệ phương trình có nghiệm  { 𝑥 𝑑3 =𝑑3 −𝑑2 𝑑 =𝑑 −𝑑 𝑦 − 3𝑥 4 | ) → ( 𝑧 − 2𝑥 𝑡+𝑥 𝑥 𝑦 − 3𝑥 |𝑥−𝑦+𝑧) 0 4𝑥 − 𝑦 + 𝑡 α1 = 𝑥 𝑥−𝑦+𝑧 = (u ∈ W) => {α = −3𝑥 + 𝑦 4x – y + t = 𝑥 => [u]B = (−3𝑥 + 𝑦) Vậy: Cơ sở không gian W B = {𝑢1 = (1; 3; 2; −1); 𝑢2 = (0; 3; 3; 3)} 𝑥 Tọa độ vector u nằm không gian W: [u]B = (−3𝑥 + 𝑦) 15